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2月 20, 2007 @ 12:00 am

休谟公理的概率表述

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David Hume (1711-1776)


在2005年11月9日《中国青年报·冰点周刊》的题为“科学时代的伪科学(上)”的文章中,方舟子写道,

“要判断证据是否确凿,通常需要具有专业的知识和训练,一般的人并不具有这种能力。但是,如果我们能够掌握科学理性思维的原则,那么,即使缺乏具体分析的能力,也不容易被伪科学迷惑。在正反双方都缺乏证据的时候,理性思维的原则也有助于我们判断哪一方的观点更合理,更有可能,更应该被接受。

18世纪英国哲学家休谟在《人类理解力研究》一书中,提出了理性思维的一条总原则,有时候被叫做休谟公理:

“没有任何证言足以确定一个神迹,除非该证言属于这样的情形,其虚假比它力图确立的事实更为神奇。”

这句话很拗口,不过,通过举例,并不难理解。休谟举了一个例子,如果有人告诉他看到一位死人复活,他会比较以下情形,看看哪一种可能比较大:这个人在骗人或受了别人的蒙骗,还是死人真的复活了?除非前者虚假的可能性低于后者,否则不应该接受他的证言。显然,这实际上是在比较正反两种可能性的大小,并拒绝可能性小的那种。这并不是断然否定可能性小的神秘事件没有发生的可能,而是说,在没有足够的证据时,我们不应该倾向于接受它。死人真正复活、自然规律不成立的可能性,远远小于一个声称看到死人复活的证言是谎言,或证人受欺骗的可能性,因此我们不应相信前者是的确发生过的。同样,人体特异功能是真实的、物理定律不成立的可能性,远远小于“特异功能大师”是在玩骗人的把戏的可能性。”

休谟对该公理的陈述和举例原文如下:
  
“The plain consequence is (and it is a
general maxim worthy of our attention), ‘
That
no testimony is sufficient to establish a miracle, unless the
testimony be of such a kind, that its falsehood would be more
miraculous, than the fact, which it endeavours to establish; and
even in that case there is a mutual destruction of arguments, and
the superior only gives us an assurance suitable to that degree of
force, which remains, after deducting the inferior.
‘ When
anyone tells me, that he saw a dead man restored to life, I
immediately consider with myself, whether it be more probable, that
this person should either deceive or be deceived, or that the fact,
which he relates, should really have happened. I weigh the one
miracle against the other; and according to the superiority, which
I discover, I pronounce my decision, and always reject the greater
miracle. If the falsehood of his testimony would be more
miraculous, than the event which he relates; then, and not till
then, can he pretend to command my belief or
opinion.

方舟子少译了休谟公理的后半段,“and even in that case there is a
mutual destruction of arguments, and the superior only gives us an
assurance suitable to that degree of force, which remains, after
deducting the inferior.”。

我试意译如下:

“即便在证言足以确定一个神迹的情况下,那证言对神迹确定的可信度,是神迹可信度与证言不可信度之差。”

换言之,如果证言不可信度与神迹可信度相近,那么证言基本不能确定神迹。

休谟公理的文字陈述的确很拗口,但如果我们把它形式化表达一下,就好理解多了。

令:T代表证言,M代表神迹;P(T)代表证言可信度,即其正确的概率;P(M)代表神迹可信度。

那么,休谟公理的前半段就是:

   如果(1-P(T))<
P(M),那么T确定M;反之,T不能确定M。

休谟公理的后半段是:

   如果(1-P(T))<
P(M),那么T确定M成立的可信度为(P(M)+P(T)-1)。

代几个数进去算算。

如果P(M)=1%,P(T)=20%,那么 1-P(T)=80% >
P(M),T不能确定M。

如果P(M)=1%,P(T)=99.5%,那么 1-P(T)=0.5% <
P(M),T确定M,但该确定的可信度仅为(P(M)+P(T)-1)=0.5%,很低。

如果P(M)=20%,P(T)=95%,那么 1-P(T)=5% <
P(M),T确定M,该确定的可信度为(P(M)+P(T)-1)=15%,有长进。

如果P(M)=80%,P(T)=70%,那么 1-P(T)=30% <
P(M),T确定M,该确定的可信度为(P(M)+P(T)-1)=50%,手心手背之间。

如果P(M)=90%,P(T)=90%,那么 1-P(T)=10% <
P(M),T确定M,该确定的可信度为(P(M)+P(T)-1)=80%,非常可信。

几个定性推论:

1
如果神迹可信度非常低,且证言可信度也低,那证言无法确定神迹;

2
如果神迹可信度非常低,即使证言可信度非常高,证言也极难令人信服地确定神迹;

3
即使神迹可信度很高,且证言可信度也很高,证言确定神迹仍在模棱两可之间;

4
神迹可信度与证言可信度均极高,证言确定神迹的可信度也非常高,但该确定可信度低于神迹可信度与证言可信度中任何一值。

当然休谟公理的“公理”性,值得理论理论,但经验告诉我们,它的“公理”性很强。



太蔟

发表于 科学与科普

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