自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法
2009年4月13日星期一自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法
abada张宏兵
读欧几里德《几何原本》是训练逻辑严谨的最好方法之一。
以前普通人读到第一卷命题5，就难以理解、难以过关, 甚至历史上一度被人称之为”驴桥定理”。其实，至今命题3对不少人仍然是比较难理解的。
命题3就是：（用圆规和无刻度的直尺）在一较长已知线段上截取一线段，使其等于较短的另一已知线段。 如图：
通常，人们会费解，这不很简单吗？用圆规截取较短的已知线段为半径，然后在较长的线段上一画不就得了吗？欧几里德为何要如此周折，要用两个命题做铺垫，直到第三个命题，才在前两个命题的基础上作出呢？
原来，这是为了逻辑的严密。如果直接用圆规截取，《原本》的定义、公设、公理系统中，没有命题能直接保证：一个圆规离开圆心后，其半径能保持到与另一个不同圆心的圆的半径相等；而只能保证：同一个圆上的各点到这个圆的圆心的距离相等。或者说, 在<原本>中, 给定圆心则圆规可以画圆(画出的各点与圆心的连线相等), 而”圆规可以离开圆心平移线段” 是多余的假设, 是可以用奥卡姆剃刀去掉的.
最少基本预设：
1）圆规画的是元；
2）直尺画的是直线。
而圆的定义，是线上的点，到一定点的连接线段，都全等（合同）。
如图是欧几里德的严谨作法（笔者综合了前3个命题的图样）：
(1、连接BC；
2、以B为圆心过C点作圆，再以C为圆心过B点作圆，
设两圆交于O点。连接OB、OC，则OCB构成等边三角形（命题I-1）;
3、延长OB和OC；
4、以B为圆心，过A点作圆，交OB的延长线于A’点；
5、以O为圆心，过A’点作圆，交OC的延长线于A'’点，
则CA'’=BA（命题I-2）;
6、以C为圆心过A'’点作圆，交CD于A”’；
则CA”’=AB， 为所求线段（命题I-3）。
证明：
因为CA=OA'’-OC
=OA’-OB
=BA’
=AB
所以即得。 )
其实，后来的数学家发现，欧几里德的逻辑严密性，仍然是有一点漏洞的。质疑就是：为何说两圆、或圆与直线必有交点？其充要条件是什么？
在《原本》中没有公理可以逻辑地保证这一点，只是通过作图直观地“看到”这一点。要真正的逻辑保证，还需引入”BC=CB”以及“连续性公理”等。而这是后世数学家直到20世纪才最终完成的。
(我读《几何原本》和《几何基础》， 最大的学习收获是有关逻辑体系的布局方案的。 感觉这比单纯证明一些几何题目更有意思。
推理和下棋一样， 一般应先定好逻辑布局，再考虑逻辑细节；布局往往比细节还重要。
《原本》第一卷的逻辑布局，显示了其脉络主要是为走向这样一个目的地：证明勾股定理。这个目的地，是第一卷的终点站和高潮。
我再读狄拉克的《广义相对论》时，就可类似地，通过其章节题目安排，得知其逻辑布局， 猜测他这样布局的目的， 并评判布局的合理程度。
逻辑目的＜–＞逻辑布局（逻辑方案）＜–＞逻辑细节＜–逻辑起点站， 是环环相扣, 站站相连的。
往往逻辑目的是要证明或得出一个命题，而这个命题是天才的直觉，或经验得到的。 比如勾股定理。
所以往往是先有逻辑目的地，再有逻辑布局、逻辑细节。而逻辑目的地，往往是天才的直觉先猜想到了的。能给出难题的好的逻辑布局、逻辑方案的，也是天才！
就象好的数学导师， 给出好的逻辑方案， 然后把逻辑细节的证明分配给各学生完成。（正如好的老板凭直觉给出好的“目的地”； 好的老总给出好的工作分布总体方案； 再分配给多个工程师、设计师去完成各细节。）
所以，有人云： “天才靠直觉，有才能的人靠逻辑推理”。（《见〈创造的秘密〉一书）)
希尔伯特的主张是, 逻辑要严格程序化，比如, 任何概念的相关推论都要能输入计算机机械在不画图的情况下而得到文字机械程序推演输出–证明，每一个未经文字符号定义的概念，都会使逻辑机械不认、死机， 操作系统的原始概念应减少到最低程度，用操作系统的原始概念来定义其他概念。所有命题要能机械地从公理和定义出发用计算机逻辑机器必然地推出。这为计算机机械证明开辟了道路.
