直观圆锥体、球体等的体积算法
我们尽量用彩色图形来直观圆锥体、球体等的体积。
需要几个步骤来解决：
1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。
所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知圆锥体积是同底同高的圆柱体的体积的1/3。
2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )
现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.
证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。
这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。
所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
等底等高的三棱锥，体积都相等：
三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：
知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成证明。
下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：
注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:
1) 金字塔锥的体积也是: (1/3)x底面积x高.
这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:
2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。
由此可知，球体的体积 = （1/3）x 球的表面积 x 球半径.
上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。
3）球体的体积。
先看半球的体积：
这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.
根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR2 - πh2. 而右边的图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2- h2).
可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。
左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.
所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.
可知整个球体的体积公式是：
V=(4/3)πR3.
再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：
S=4πR2.
(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）
