引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念
作者：abada
常见科普书上说，熵，就是混乱程度的量度，一个系统越对称，就越混乱，熵就越大。这无疑给了众多的不求甚解者以艺术般的幻想，以至于跨学科地误用和错用熵概念的现象泛滥。
有个问题，即是很多物理学专业的学生，也常搞错。这个问题就是：一盆脏水，搅浑后封闭(包括隔热)起来作为状态0；在地球上不管它，浑水会自然澄清，分层，这是状态1。问：从状态0到状态1，熵是增加了，还是减少了？
很多人会认为熵减少了。甚至一些物理学家也犯这个错误，在科普作品中说引力是能抵抗熵增的，所谓熵增定律带来混乱，而引力可能抵抗熵增而带来秩序。
果真如此吗？当然不是。热力学第二定律，在引力下一样表现的很明显，引力丝毫不会导致熵减。只是人们头脑中被科普灌输了错误的熵图像而已。
先说一个规范。物理学家在看到自由落体下落的系统的时候，发现落体动能在增加，但这时他绝不会说：由于落体的动能在增大，所以能量不守恒，能量在增大。而是说：自由下落系统的总能量是守恒的，因为势能转化为动能，动能才因此增加。保守力提供了势能，或势场，这是始终要考虑去的能量形式。我们说封闭系统的时候，始终就把势能（势场）封闭进去考虑了。势能场是不能随意中途加入或移除的，除非你额外输入能量—你不能不做功而把地球上的物体送入无引力场的太空中去。
同样，严肃的物理学家，针对脏水澄清现象，决不会说：考虑地球，则熵增；如果不考虑地球，则脏水系统是熵减的。说到熵，一开始就要考虑各种能量分布形式的影响，包括势能。
熵在历史上有两种定义，一种是克劳修斯的热力学宏观定义，一种是波耳兹曼的微观定义。这两种定义是协调的，没有矛盾。微观定义可以为宏观定义提供几率解释。
我们先从宏观热力学上看脏水澄清系统的变化。脏水自然澄清时，比重大的泥沙会下沉，这导致系统的重心下移。系统的总势能是这样计算的：系统重心的高度x 系统的重量：
U（势）=Mgh
系统重心下移，意味着系统的总势能减少了。既然是封闭系统，意味着总能量是守恒的。那么减少的势能到哪里去了呢？ 转化为粒子无规则的热运动，即热能了。这样，根据不可逆过程的热力学熵的定义式：dS>dQ/T，热量增加即dQ>0，所以熵增dS>0，熵增定律成立。
很多人感到奇怪之处就在于：脏水澄清的过程，不是使系统更有序了吗？你看，本来是混乱的浑水，现在分层了，有秩序了，难道不是这样吗？
这是试图从熵的微观概念出发想问题，但可惜的是，这样的直觉式的熵概念是错误的。
微观的熵概念，或波耳兹曼的熵概念，不是单指粒子在三维几何空间中分布的混乱程度；而是指粒子在一定外场势能分布条件下，在粗格化的“相空间”–包括所有粒子的位置维度和动量维度的数学空间–中的分布的混乱程度。简单地说,粒子在相空间中对称(或混乱)与否,不是只看粒子的位置分布,而且还要看粒子的动量、能量分布状态。一个简单的例子是:一些在同一水平面上的空气分子,即使它们在平面空间上的所处位置来看是分布均匀的,但只要它们的动量或能量分布不均匀,那么它们在相空间中的分布就是不均匀的、不对称的或者说是较有序的、较不混乱的。系统的这个“混乱”程度，即波尔兹曼熵，有严格的计算方法，其结果可能完全不同于人们的几何直觉印象。
波尔兹曼熵定义是：S=klnΩ
其中S是封闭系统在某种状态下的熵，k是常数，而Ω是指这种状态下的微观态数目。
我们不要怕麻烦，一定要用图形，找出脏水澄清前后的微观状态数的变化，如果微观状态数变大了，就说明系统的熵增加了，也可说明与热力学宏观定义的理解不矛盾了。
为了简便，我们假设简单的粒子情况，这个模型推广到极多粒子情况也完全适用。
1）假设脏水系统有3个粒子，一个是泥沙类的重粒子，另外两个是水分子。假设重粒子的质量是水分子的2倍，我们把它称为(2a)，重量为2；而把其中一个水分子称为a1，把另一个水分子称为a2. 每个水分子的重量都是1。
2）假设脏水混沌后为封闭系统，总能量守恒，总能量为9个单位。就是说，(2a)，a1和a2三个粒子的总能量是守恒为9的。再假设三粒子除了自身的动能和重力势能，别无其他能量。
3）各粒子的空间高度可以为1m,2m或3m，在这些之间的高度要做四舍五入，有微小的差别可视为全同。这叫把空间或势能粗格化。
4）设各粒子的动能可分别为0，1，2，或3…等，在这些之间的动能取值要做四舍五入，有微小的差别可视为全同。把动能粗格化。
5）粒子位置空间只考虑1维的情况, 即粒子的位置区分只有上下而没有前后左右。
先假设重粒子(2a）在系统的最上层，3m处占据。图中，符号“a1->1”，表示此状态下粒子a1的动能为1。每个系统态图的右边的数字，是每个高度上的能量分布，它等于此层上所有粒子的（动能+势能）的和，每个粒子的势能的计算方法是其重量乘以高度。
我们先看重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统粒子不同能量分布的微观态的几种可能性：
微观态1：
第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
第1m层：a1->0, a2->1—–此层动能=0+1=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3
微观态2：
第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
第1m层：a1->1, a2->0—–此层动能=1+0=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3
微观态3：
第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层：a1->0————此层动能=0，势能=2, 总能量=2
第1m层：a2->0————此层动能=0，势能=1，总能量=1
微观态4：
第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层：a2->0————此层动能=0，势能=2, 总能量=2
第1m层：a1->0————此层动能=0，势能=1，总能量=1
微观态5：
第3m层：(2a)->1———-此层动能=1，势能=2×3=6, 总能量=7
第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
第1m层：a1->0, a2->0—–此层动能=0，势能=1+1=2，总能量=2
可见在重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统不同能量分布的微观态有且只有上面所示的5种可能。 读者可以检验：任何局限在此空间中的、这三粒子的其他的势能或动能分布，都不会使总能量为9。
注意，即使只考虑高度上的1维空间, 一个动能不为0的粒子, 某个确定的动能也可对应两个确定的动量, 这两个动量大小相等、方向相反, 因为动量的方向有朝上和朝下的两种可能。于是，相空间(位置和动量空间)中, 总微观态数目, 比单纯考虑能量分布形式的微观态数目要多。计算方法是: 每1个能量分布态, 若其中3个粒子动能都为0, 则其对应有1种动量分布; 如果3个粒子只有1个动能不为0, 则其对应2种动量分布; 如果动能有2个不为0, 则对应4种动量分布;如果3个粒子动能都不为0, 则对应8种动量分布。
参考各种能量分布状态再计算这种情形下相空间（能描述所有粒子的各种不同位置和不同动量的数学空间）的微观态可知：
一个重粒子在3m处的条件下, 系统微观态数应是Ω=8，即熵S=kln8.
以上相当于重力场中的浑水状态，状态0。
再看类似重粒子下沉，脏水澄清的情况下的熵。只要假设重粒子在最下层即可。实际上，还有此1重粒子伴随1个水分子同时在最下层的情况，我们暂且不考虑。 我们将知道，即使只考虑一个重粒子在最下层的情况时， 这种情形的分布可能性，也要比重粒子在最上层的情况，可能性或几率要大的多。
重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态（粒子系统总能量仍恒为9）:
微观态1：
第3m层：无粒子—————-动能0，势能0
第2m层：a1->0, a2->3——-动能=0+3=3，势能2+2=4，此层总能量=3+4=7
第1m层：(2a)->0————–动能=0，势能=2，此层总能量=2
微观态2：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->3, a2->0
第1m层：(2a)->0
微观态3：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->1, a2->2
第1m层：(2a)->0
微观态4：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->2, a2->1
第1m层：(2a)->0
微观态5：
第3m层：a1->0
第2m层：a2->2
第1m层：(2a)->0
微观态6：
第3m层：a2->0
第2m层：a1->2
第1m层：(2a)->0
微观态7：
第3m层：a1->2
第2m层：a2->0
第1m层：(2a)->0
微观态8：
第3m层：a2->2
第2m层：a1->0
第1m层：(2a)->0
微观态9：
第3m层：a1->1
第2m层：a2->1
第1m层：(2a)->0
微观态10：
第3m层：a2->1
第2m层：a1->1
第1m层：(2a)->0
微观态11：
第3m层：a1->0，a2->1
第2m层：无粒子
第1m层：(2a)->0
微观态12：
第3m层：a1->1，a2->0
第2m层：无粒子
第1m层：(2a)->0
微观态13：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->0，a2->2
第1m层：(2a)->1
微观态14：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->2，a2->0
第1m层：(2a)->1
微观态15：
第3m层：无粒子
第2m层：a1->1，a2->1
第1m层：(2a)->1
微观态16：
第3m层：a1->0
第2m层：a2->1
第1m层：(2a)->1
微观态17：
第3m层：a2->0
第2m层：a1->1
第1m层：(2a)->1
微观态18：
第3m层：a1->1
第2m层：a2->0
第1m层：(2a)->1
微观态19：
第3m层：a2->1
第2m层：a1->0
第1m层：(2a)->1
上面是重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态的所有可能分布。要保证粒子系统的总能量（动能+势能）为9，粒子能量只有这19种分布可能性。
再依照这19种能量分布可能，计算它们在相空间(包括位置和动量)中的所有可能的微观态，可知这时粒子系统微观态数Ω=64，即熵S=kln64.
这个Ω=64远大于重粒子在最上层的可能的微观分布可能数Ω=8. 说明重粒子在引力场中位于下层的分布几率远大于其在上层的系统分布几率.
以上相当于重力场中的浑水澄清后的状态，状态1。显然这种情况下的熵，比重粒子在上的浑水状态的熵要大。
注意，这个微观态解释的直观重点是:
重粒子如果在上方,就会占据更多的能量(势能太大),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量的分配可能性就减少了,微观态就少; 相对地,重粒子如果在下方,就会占据更少的能量(势能占据小),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量分配可能性就增加了,微观态就多。
结论: 重粒子在下,有更大的分布可能性和几率。
所以重力场中浑水澄清的过程是朝微观态数目多、几率大的方向发展的,即熵增的过程。
从熵的微观解释看，熵大就是这种粒子分布状态的概率大。热力学第二定律，即熵增定律，就是预言系统将从概率小的分布状态，朝着概率大、可能性多的分布状态变化，朝着最可几的状态演化。
最后说说为什么很多人以为澄清分层的水更有序，熵更小。 这是一种错觉，或对熵的片面理解，甚至误解导致的。错觉可能来自于无引力场的分布情况：在无引力场，或引力场的水平截面（等势能面）上，熵大常常意味着粒子在位置空间几何排列上的更无序，或更对称。 但这种直觉是不能任意推广的。
最后要说的是: 引力不会导致熵减, 这在霍金的黑洞热力学中也成立. 霍金的公式说黑洞的熵与黑洞的视界面积成正比–而黑洞的视界面积总在增加. 于是热力学第二定律–熵增定律毫无例外地适用于黑洞–有巨大引力的地方。
