abada

接http://xysblogs.org/abada/archives/4831

十五、四维弯曲时空

上面讲了很多数学，现在开始多讲物理。

广义相对论认为任何观察者在任何物体上都可建立参考系，并以同样的张量方程等效地描述某些基本物理定律。还认为物体质能可导致四维时空的弯曲。

我们的视觉往往只能看到三维空间中的二维曲面的弯曲的图像，看见低维空间的弯曲， 并不能证明高维空间是否弯曲。要直觉地看见三维空间的弯曲，就要建立“空间弯曲”的操作定义。

我们在把欧几里德几何空间对应现实世界的时候，是把真空中的光线作为直线的操作性对应物，或者简单地说光子在真空中是按直线运动的。这时欧几里德几何学体系就成为可以证伪的物理学。例如三条光线所构成的三角形，其性质（比如内角和等于p），是否如同欧几里德体系的定理的断言？如果不是，那么光线就不能当作欧氏几何中的直线而运用欧氏定理断言现实世界的空间关系。

但是，我们暂时并不能找到比光线更好的空间基准。我们日常生活中，检查其他物体的线条是否“直”，也是以光线作为“直”的基准而判断的。如果光线都不直了，那么现实世界空间就已经没有了“直”的基准。我们对现实空间也就不能再套用欧氏几何了。我们必须用新的几何学，而光线在新几何学中有新的数学对应概念。如此我们才能运用新几何学结合光线的现实操作，来预言现实世界的某些时空性质。

显然，在加速参考系，即非惯性系，光子并不按直线运动。设想你站在旋转的地球赤道上，向上、向太空发射一个光脉冲。你作为观察者站在地面参考系不动，你会看到光脉冲在向远处快速行进的同时，还会绕地球转动。它的轨迹显然不是直线，而更接近是螺旋线。

爱因斯坦电梯是一个很好的想象实验。如果我们在太空中的密闭电梯中，远离其他物质，我们会失重。但这时如果有火箭不断地为电梯提供一个稳定的加速度，我们电梯就成为一个加速参考系。如果太空中一个光脉冲从我们电梯真空中通过，我们也会观察到一个光脉冲的路径会发生偏折。这时我们看到了电梯参考系的空间是弯曲的。

等效原理断言：我们的那个电梯到底是处在重力场中，还是正在太空中被火箭加速着，我们作为电梯狭小空间中的观察者，是无法辨别的，做任何实验也无法区分这两种环境。因此，一个光脉冲的路径在重力场中，与在加速参考系中一样会偏折。这样的话，重力场也就等效于弯曲空间。

相反地，还可想象我们的电梯在重力场中自由下落。在一段时间内，我们可观察到我们的电梯空间是平直的，我们作为电梯中的观察者，看到光子的路径是直线。电梯中的失重状态等效于孤立系统的惯性系。

上面说的只是我们感到的空间弯曲，但不要忘了四维时空是一个整体。四维时空的弯曲，我们还是难以直觉地看到。在借助抽象的数学的同时，我们可以想象把低维空间的弯曲的性质做推广。

我们还可以把高维空间做切片，成为低维空间。如下图：

http://static4.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft72fee6932d33&690

图中有个时间参数轴t，和一个空间参数虚数轴xi。这是一个弯曲的四维伪黎曼空间—弯曲的四维时空的二维切片膜图示。弯曲的四维时空，降低为二维的时空曲面，让我们看到了。这个曲面上的一个点，就可表示一个事件发生的空间位置和时间刻度。一个质点，包括光子，其运动路径就可以表示为这个曲面上的一条曲线：它在什么时刻，到达什么空间位置，由一条时空曲线决定了。曲线的切线方向则是一个速度分量的方向，其“斜率”则可能表示一个速度分量值，“斜率”的变化可能意味着加速度的存在。这个“斜率”一词之所以加了引号，是因为我们还是为了直觉方便套用了欧氏几何空间中的概念，而在弯曲时空的几何学中，可能有更准确的概念来使用。

注意这个曲面上并不存在直线。因此，在弯曲时空中，我们完全可能建立非惯性系和引力场中的光子等支点运动的四维曲线方程。

（我们还假设，这个四维弯曲时空中这些曲线是处处可微的和可导的，是平滑的，构成一个黎曼流形。一个光滑的皮球是流形，而针尖不是流形。这些概念的确切定义在微分几何数学中可以给出。）

十六、回顾牛顿惯性定律和狭义相对论光速不变原理

自由质点，也叫自由粒子或孤立物体。太空中距离其他物体足够远的的物体, 在一定时间内都可作为近似的孤立物体。断言所有的孤立物体(自由质点)都两两相互做匀速直线运动(包括静止), 就是牛顿第一定律或惯性定律。

孤立物体组确定了惯性系。牛顿第二定律和第三定律都是在惯性系下成立。

狭义相对论也是讨论惯性系中才成立的物理定律。在任何一个确定的惯性系中，光子仍按直线运动，空间是平直的，此惯性系内各网点的钟表也可以调成保持一致，时空也是平直的。

在狭义相对论中，惯性定律仍然成立。惯性系中，光子和其他孤立物体仍遵守惯性定律，按匀速直线运动，或者说惯性系仍然是四维平直时空，光脉冲和孤立物体在四维时空中的轨迹曲线仍然是四维直线。

根据狭义相对论，ds² =g_ijdxⁱdx^j作为两事件的四维时空间距，是惯性系间坐标变换的不变量。一个孤立物体某时从某地出发是一个事件，这个物体某时到达某地是另一个事件，这两个事件的四维时空间距也总是坐标变换的不变量。

而对于一个光子，“出发”和“达到”两事件的四维时空间距总是为0.

也就是说，按狭义相对论，任一惯性系即四维平直时空中，光子走的是四维直线，但时空维度不都是实数（或者说度规分量不都是正数）—因此叫伪欧氏空间，这个时空中一个光脉冲所走的四维直线上的任意两点的四维时空间距，必定是0，而且这一点不以惯性参考坐标系的变换而改变。

十七、弯曲时空中的短程线

在加速参考系或引力场中，一个光脉冲已经不走直线，欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物，四维时空不再是平直的伪欧氏空间，而是弯曲的伪黎曼空间。

因此，惯性定律必须修正。没有了直线，光脉冲和孤立物体，将按什么曲线运动呢？可以推广，它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置，因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。

历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释，但在弯曲时空中已经没有直线路径，作为推广，我们可以合理地假设，在充分小的邻域内，光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条，叫“短程线”。

我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物，不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点，已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如，我们从赤道上一个城市去北极，在地球表面按照那个城市所在的经线行走，也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。

可以设想一个弯曲空间的度规确定了，其几何性质就确定了，其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。

如图：

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft732668b71110&690

在上图中我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q，由于是弯曲空间，它们之间没有直线路径可走，我们要求两点之间的短程线，采用什么方法呢？

我们可以观察短程线有什么独特的性质，根据这些性质，我们可以建立短程线的方程。

我们可观察到，两端固定为P、Q所有曲线中，越短的曲线，在各点受到一个微小的拉伸变形（扰动）之后，这个曲线的总长度变化就越不大；相反，越长的曲线，受到一个微小的拉伸变形之后，曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数，被一个小数来乘，变化越小；越大的数，被一个小数乘，变化就越大。

把这个观察到得性质推广到四维时空，再利用数学上一种叫变分法的技巧，就可以建立短程线的方程。

用数学语言说就是：沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动，则∫ds 的改变量有最小极值。

设此四维曲线上坐标为x^m的各点作微小变动，以使其坐标变为：x^m + dx^m，曲线线元为：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=0~3)

四维速度矢量可以表示为v^m = dx^m/ds.

把线元表达式的两端微分得：

2dsd(ds)= (dg_mn)dx^mdxⁿ + g_mn(ddx^m)dxⁿ + g_mndx^m(ddxⁿ)

          = (g_{mn, l}dx^l)dx^mdxⁿ + 2g_mndx^m(ddx^l)

等式两边除以ds，又根据v^m= dx^m/ds，以及变分法，ddx^l =ddx^l ，

可得：

d(ds)= [(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿdx^l + g_mnv^m( ddx^l/ds)]ds.

把上式两边进行定积分，根据d∫ds= ∫d(ds)，以及对方程右边第二项运用分布积分法，再利用两端点P,Q上dx^l=0这一约束条件，可得到：

d∫ds=∫[(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - d(g_mnv^m)/ds] dx^lds.         

若想保证对任意的dx^l上式都等于0，只有方括号中的式子恒等于0，即方括号中减号所连接的两项必须相等：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ  = d(g_mnv^m)/ds，

上面就是短程线的方程。

因d(g_mnv^m)/ds = g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/ds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mndx^l)/(dx^lds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/dx^l)/(dx^l/ds)

= g_mndv^m/ds + v^mg_{ml, n}vⁿ

                 = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

所以短程线的方程化为：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

即：

g_mndv^m/ds = (1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - g_{ml, n}v^mvⁿ

或        

g_mndv^m/ds+ (1/2) (2g_{ml, n}- g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

再假设：空间有如此的对称性，以至于有：

2g_{ml, n}= g_{lm, n}+ g_{ln, m}

成立，那么有：

g_mndv^m/ds+ (1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

现引进记号：

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，    (17-01)

并令G^s_mn= g^lsG_lmn，

分别称为第一类和第二类克里斯托弗记号。

则短程线方程化为：

g_mndv^m/ds+G_lmnv^mvⁿ= 0，

两边同乘以g^ls，则得：

dv^s/ds+G^s_mnv^mvⁿ= 0，

或写为：

d²x^m/ds² +G^m_ns (dxⁿ/ds) (dx^s/ds) = 0，          (17-02)

这就是短程线的标准方程。

方程第一项为一四维加速度项，说明在弯曲空间，自由质点具有加速度。除非G^m_ns= 0，加速度也为0，这时对应于平直时空的惯性定律。这也说明，G^m_ns与空间弯曲有关，根据它的定义来源，空间弯曲最终由度规所决定。度规若不是常数，就将逐点变化，度规的变化方式决定了空间各点的弯曲状态。

我们现在重新定义自由质点：一旦给孤立物体即自由质点仅仅加入引力场，那么仍然可以把它看做是自由质点。引力场和非惯性系一样，只是改变了时空的度规，使四维时空成为弯曲的。

而在弯曲的四维时空中，自由质点将按照短程线运动。这个断言取代了牛顿第一定律即惯性定律。四维短程线方程(17-02)决定自由质点的加速度，是四维弯曲时空（任何参照系）中自由质点（可处在引力场中）的运动方程。

十八、弯曲时空中的测地线

我们已用变分学的办法给出了弯曲时空中的短程线方程。我们也可以用另一种微分几何的方法得到一个叫测地线的方程，并将看到，测地线与短程线是重合的、一致的。

我们先看平直三维空间中的弯曲的二维曲面图形：

 http://static13.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft73265ba2c59c&690

此曲面是光滑的二维流形，其上任意一点，都有一个唯一的切面，与切面垂直并过切点的所谓“法线”也是唯一的。

但此点的切线不是唯一的，此点切面上过此点的所有直线都是此点的切线。我们需要指定一个初始的切线，给出一个确定的切矢量。

从这个切矢量出发，可平行于法线方向，做切矢量向曲面的投影。或者说，切线与法线所决定的平面，与曲面会有一个相交的曲线。我们看下图：

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft734a28621260&690

此图就是初始切线和法线确定的平面。

在与初始切点M₀足够邻近的邻域内，我们把切点在曲线上作一个微小移动，移动至 M₁点。虽然我们从参考图形上看到的是二维情景，但我们写公式和方程时要写成四维的，以作为推广。

设曲面上每一点x都由参数t所确定。

切点位移矢量是dx^s，切点初始矢量是dxⁿ/dt. 这类似于与运动路径曲线相切的速度矢量。由于所作的是无穷小的位移，dx^s与dxⁿ/dt在一级近似下，是平行的。

在新的切点M₁点有一个新的切矢量（可以不在图平面中而是伸向图平面内或外），设它与M₀点原初的切矢量，改变量为d(dx^m/dt). 从图中可以观察到，在一级近似上，这个改变量矢量的各分量，与原矢量的各分量的大小成线性正比，与切点位移矢量dx^s的各分量大小也成线性正比关系，即：

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.           (18-01)

这就是由初始切矢量所决定的测地线方程的形式。

式中P^m_ns是比例系数，称为仿射联络系数，可以设想它与曲线在此点的弯曲程度有关，因为曲线弯曲程度的大小也会影响切矢量的改变量。P^m_ns最终是由曲面（弯曲空间）的度规所决定的。可以证明：P^m_ns= G^m_ns，就是克里斯托弗符号。

我们把证明放在后面一个 章节，现在先直接使用这个结果。结果是：

d(dx^m/dt)= - G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s，或：

d(dx^m/dt) + G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s = 0.

各项除都以dt，得：

d²x^m/dt² +G^m_ns (dxⁿ/dt) (dx^s/dt) = 0，          (18-02)

这就是测地线的标准方程。

比较它与方程(17-02)，可见两方程完全是相同的形式，只是参数不同。

方程(17-02)以轨迹弧长s为参数，但因光线的ds总为0，使方程(17-02)不能运用于描述光线。而以沿路线的其他参数t的方程(18-02)则能描述光脉冲的运动，虽然这个方程再次表明光线已不是直线。

十九、求解测地线中的仿射联络系数

这节我们求解方程(18-01)中的仿射联络系数，并看到它就是短程线方程(17-02)中的克里斯托弗记号。

对方程(18-01)

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.    

把其中的dx^m/dt 设为逆变矢量A^m ，于是

dA^m = -P^m_ns Aⁿdx^s.               (19-01)

现假设在黎曼空间中，矢量做无穷小移动，保持矢量的长度不变。

则可证明这个假设保证了两矢量的标量积在无穷小移动下不变，证明如下：

因为， 逆变矢量A^m的长度平方为g_mnA^mAⁿ，必是无穷小移动下不变量，

设B^m是另一逆变矢量；则当k为任意数值时, A^m + kB^m仍为逆变矢量。其长度平方为：

g_mn(A^m + kB^m)(A^m + kB^m) = g_mnA^mAⁿ +k(g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m) + k² g_mnB^mBⁿ

由于对一切k值上式必为不变量。已知右边第一项是逆变矢量A^m的长度平方为不变量，除去k的第二和第三项也分别必为不变量。由此看第二项可知，

g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m = 2 g_mnA^mBⁿ 为不变量。

所以g_mnA^mBⁿ为无穷小移动下的不变量。 即：

d(g_mnA^mBⁿ) = d(g^mnA_mB_n) = d(g_mⁿA^mB_n) = d(g^m_nA_mBⁿ) =0.

即 d(AⁿB_n) = d(A_nBⁿ) =0.                    (19-02)

由d(AⁿB_n) =0得

B_ndAⁿ+ AⁿdB_n=0，

AⁿdB_n= -B_n dAⁿ

由(19-01) 知： dAⁿ = -Pⁿ_ms A^mdx^s，所以：

AⁿdB_n=B_nPⁿ_ms A^mdx^s =B_mP^m_nsAⁿdx^s .

上式对所有的Aⁿ都成立，所以方程左边和右边消去Aⁿ可得：

dB_n= P^m_nsB_mdx^s .                       (19-03)

设P^m_ns= g^mlP_lns，可得：                   

dB_n= P_lnsB^ldx^s .

或记为： 

dA_n= P_mnsA^mdx^s .              (19-04)

由于(g^amg_mn),_s = g^a_n,_s=克罗内克尔符号d的偏导数=0，

而(g^amg_mn),_s = g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_{s ，}所以：

g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_s  =0

上式乘以g^bn得：

g^ab,_s + g^amg^bn g_mn,_s  =0

利用上式可知：

A_aA_bg^ab,_s + A^mAⁿg_mn,_s =0

乘以dx^s 得：

AⁿA^mg_mn,_sdx^s + A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.               (19-05)

另一方面，由于无穷小移动下矢量长度不变，所以：

d(g^mnA_mA_n)=0

故： g^mnA_mdA_n+ g^mnA_ndA_m+ A_mA_ng^mn,_sdx^s =0,

即：AⁿdA_n+ A^mA_m+A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.       (19-06)

比较(19-05)和(19-06)，可知：

AⁿdA_n+ A^mA_m= AⁿA^mg_mn,_sdx^s  

代入(19-04)   dA_n= P_mnsA^mdx^s，得：   

AⁿA^mP_mnsdx^s + A^mAⁿP_nmsdx^s = AⁿA^m g_mn,_sdx^s ，

所以：

P_mns + P_nms= g_mn,_s                       (19-07) 

同理，（交换上式的n和s即可），可得：

P_msn + P_smn = g_ms, _n                     (19-08)

同理，（交换上式的n和m 即可）：

P_nsm + P_snm = g_ns,_m                          (19-09)

假设n和s可以互换，

由 (19-07)+(19-08)-(19-09) 可得：

P_mns= (1/2) (g_mn,_s + g_ms,_n - g_ns,_m)      (19-10)

对比(17-01) 所引入的克里斯托弗记号：

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，  

可知：

P_mns= G_lmn 

广义相对论导引（之九~十四）

abada

九、斜交基轴

如上图，设两斜交坐标基轴（单位长度的、分别与各坐标轴同方向的矢量）为e₁和e₂，长度为单位长度1，基轴夹角为q₁₂简称q，它们的标量积e₁e₂定义为基轴e₁在基轴e₂上的投影的长度。

由于e₁e₂=cosq，所以标量积e₁e₂可以反映两基轴之间的夹角。

标量积e₁e₂可简写为e₁₂，

显然e₁₂=e₂₁

又 e₁₁=e₂₂=1

如果是四维，有四个基轴，各轴的关系（标量积）有16个，写成方阵，为：

e₀e₀    e₀e₁     e₀e₂     e₀e₃     

e₁e₀    e₁e₁     e₁e₂     e₁e₃     

e₂e₀    e₂e₁     e₂e₂     e₂e₃     

e₃e₀    e₃e₁     e₃e₂     e₃e₃    

此方阵可简写为 e_ij,(i,j=0,1,2,3).

注意e_ij = e_ji

且当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cosq_ij

对于直角坐标轴:

当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cos(p/2)=0.

所以，直角坐标轴的基本方阵为：

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

这个方阵被称为单位矩阵E, 其元素为d_i^{ j}  ,

当i=j时，d_i ^j =1，当i≠j时，d_i ^j =0

d_i^{ j}  是克罗内克尔符号。

十、斜交轴度量系数

再回到斜轴的情况。看图：

如上图，有一矢量dS可在各斜轴上有分量dxⁱ，分量按平行四边形法则推广，这构成了仿射坐标。

看dS的长度平方，按三角形余弦定理：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²-2dx¹dx²cos(p-q)

化简为

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx²cosq

由cosq=e₁e₂可得：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx² e₁e₂

由e₁e₁= e₂e₂=1，可得：

(dS)²= e₁e₁dx¹dx¹  + e₁e₂dx¹dx²

+e₂e₁dx²dx¹ + e₂e₂dx² dx²

上式可简写为：

ds² = e_ijdxⁱdx^j , (i, j=1,2)

这是根据爱因斯坦求和约定。

先看此式在某一特殊情况下的意义：

在狭义相对论四维时空正交坐标中，这时在四维时空正交坐标中，要么时间坐标x⁰取虚轴、空间坐标取实轴，要么反过来，时间坐标x⁰取实轴、空间坐标取虚轴。按后一种习惯，则四维正交坐标基本方阵为：

1    0    0    0

0    -1   0    0

0    0   -1    0

0    0    0    -1

当i=j=0时，元素g_ij=g₀₀=1；

当i=j≠0时，元素g_ij=-1；

当i≠j时，元素g_ij=0.

这时，根据狭义相对论，

ds² =g_ijdxⁱdx^j

=(dx⁰)² -(dx¹)²-(dx²)²-(dx³)²

作为两事件的时空间距，是狭义相对论坐标变换的不变量。

作为推广，ds² =g_ijdxⁱdx^j  可作为较普遍的一种距离定义，不限于正交轴甚至不限于直线轴。这时，这里的g_ij 也不一定是常数。这样建立的空间就是黎曼空间，g_ij就是度规张量。为什么说它是张量，后面将会证明。

十一、球面度规

距离微分的平方：

ds² =g_ijdxⁱdx^j

其中xⁱ,x^j已可以自身不是通常的直线距离坐标或时间坐标，而是它们的参数（函数）即可，只要能表示成：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

且是坐标变换下的不变量，即是黎曼几何的度规表达式。

在四维时空中，m, n=0~3

黎曼距离元求和的各项可以排成方阵：

g₀₀dx⁰dx⁰   g₀₁dx⁰dx¹   g₀₂dx⁰dx²   g₀₃dx⁰dx³

g₁₀dx¹dx⁰   g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²   g₁₃dx¹dx³

g₂₀dx²dx⁰   g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²   g₂₃dx²dx³

g₃₀dx³dx⁰   g₃₁dx³dx¹   g₃₂dx³dx²   g₃₃dx³dx³

四维度规方阵为：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

由于g_mn=g_nm，所以16项中真正独立的量只有10个，（方阵里黑体部分），而其余6个是重复的量。

例，看二维球面度规的表示：

由图可知，球半径R一定时：

ds² =R²da²+(R²sin²a)db²

即：ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb        (10.01)

其中a, b是经度和纬度。对照二维空间度规：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=1~1)

g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²

g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²

其中参数x¹=a, x²=b，所以度规方阵成为：

g₁₁dada   g₁₂dadb

g₂₁dbda   g₂₂dbdb

对照(10.01)式可得：

g₁₁=R²    g₂₂= (R²sin²a)  

而其他的g_mn=0,  (m≠n)

因此，此球面二维黎曼度规方阵为：

R²       0

0     R²sin²a

可以看到，其中的 a不是常量，而是变量。

当维数一定时,  若不能通过坐标参数线性变换而将弯曲空间的度规都变为常量，则说明此维数下空间的弯曲是内禀性质的。二维球面就是本质的二维弯曲空间。

补充：

在R不变的二维球面, 不可能通过线性参数变换而把度规都化为常量.  但在R变化的三维球体空间, 却可以通过线性参数变换把度规都化为常量, 化成为平直笛卡儿三维空间.

所以, 二维球面的弯曲是内禀性质的, 而三维空间中球体的弯曲可以不是内禀性质的.

在R有dR变化量的时候，可以类似建立三维空间的球心极坐标度规：

ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb+dR²

度规方阵：

R²         0          0 

0       R²sin²a         0

0       0          1     

虽然含有变量a，R，但实际上空间并不是内禀的三维弯曲空间，因为可以通过线性参数坐标变换变成笛卡儿坐标系：

ds²=dX²+dY²+dZ²

其中X,Y,Z与a，b，R可由线性参数方程变换联系。

化成正交直线坐标后，度规可变为：

1        0        0

0        1        0

0         0        1

是三维单位矩阵，元素为克罗内克尔符号。能建立笛卡儿坐标系，就标志着这是最典型的三维平直欧几里德空间。

十二、证明克罗内克尔符号是张量

由偏微分规则可知：

x^l,_m’ x^m’,_n = x^l,_n = d^l_n ，

当l=n时，d^l_n  =1，

当l≠n时，d^l_n  =0.

d^l_n  是克罗内克尔符号。

按定义，对新坐标中的d^a’_b’同样有：

当a’=b’时，d^a’_b’ =1，

当a’ ≠b’时，d^a’_b’ =0

所以，无论a’=b’或a’ ≠b’时，都有：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = x^l_,m’ x^m’_,n  ，

于是：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = d^l_n ，

这就证明了d^l_n是一张量。

十三、证明g_mn和g^mn是张量

根据狭义相对论，有：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

其中g_mn为度规。

一般的逆变矢量有四个分量A^m，其在坐标变换下与dx^m的变换方式相同。

g_mnA^mAⁿ=|A|²

是在坐标变换下的不变量，它是矢量A的长度的平方。

设B^m是另一个逆变矢量；则当l为任意数值时，A^m+lB^m仍是逆变矢量。其长度平方为：

|A^m+lB^m|² = g_mn(A^m+lB^m)(Aⁿ+lBⁿ)

=g_mnA^mAⁿ+l(g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m)+l²g_mnB^mBⁿ

对一切值来说，上式都必为一不变量。由此可知，与l无关的一项以及l与l²的系数，必定分别为不变量。l的系数为不变量：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m

其中第二项也可交换m和n而写为g_nmA^mBⁿ，再由g_nm=g_mn 可知l的不变量系数：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m =2g_mnA^mBⁿ

这就证明了g_mnA^mBⁿ为一不变量。它是A^m和Bⁿ的标积不变量。所以，

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnA^mBⁿ

由逆变矢量的定义：

A^m=x^m_,a’ A^a’，Bⁿ= xⁿ_,b’ B^b’ ，

所以

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’ A^a’B^b’，

因为上式对A^a’ ，B^b’的一切值成立，所以：

g_a’b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’

这就证明了g_mn为一2阶协变张量。同理可证g^mn是一2阶逆变张量。

g_mn和g^mn被称为基本张量。

十四、逆变张量和协变张量的关系

设有逆变矢量Aⁿ，按下式的缩并积定义一个矢量：

A_m=g_mnAⁿ

现在证明A_m是一协变矢量。

由逆变矢量的定义可知：

Aⁿ=xⁿ_,a’ A^a’，

于是

A_m=g_mn(xⁿ_,a’ A^a’)= g_a’b’ x^a’_,n x^b’_,m xⁿ_,a’ A^a’ ，

= x^b’_,mg_a’b’  A^a’ ，

再用缩并积定义A_b’= g_a’b’  A^a’ ，所以可得：

A _m= x^b’_,m A_b’

这就证明了，A_m是一协变矢量。

很容易可把上面的证明过程反过来可证明，若A_m是一协变矢量，则必有：A_m=g_mn Aⁿ，其中Aⁿ是一逆变矢量。

将A_m=g_mn Aⁿ两边同乘以g^mn ，得：

g^mnA_m=g_mr g^mrAⁿ=d_m^rAⁿ，

另r=m，则d_m^r=1，于是d_m^rAⁿ= Aⁿ，由此得：

g^mnA_m= Aⁿ ，或

Aⁿ= g^mnA_m .

广义相对论导引（之一~八）

abada

一、数阵

数阵，或叫数组，常用一个字母附加角标来表示。如:

A^ij

角标可以有0个或几个，用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义，以决定使角标写在上方或写在下方。

不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数。

如数阵：R_ijklm

   （i，j，k，l，m = 0，1，2，3）           

共有5个角标i，j，k，l，m，所以此数阵是5阶的数阵；由于每个角标都能取0~3共四个值，所以是4维数阵。

当各角标都分别取了相同或不同的确定的值，就产生了数阵的一个分量，或叫元素，数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应（映射）。

数阵的所有元素总数是：n的N次方个。

例如，5阶4维的数阵，共有4⁵=1024个分量。

小结：

数阵是一种非连续的N元函数，各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n，数阵的阶为N.

当各自变量都分别取一个确定的值后，就确定了数阵的一个分量，此分量与某确定的实数值或函数产生映射。

特别地，0阶数阵就是一个标量， 对应于一个确定的实数或一个确定的函数（标量场）。

例:

1、矢量

对4维1阶的数阵A_i可列出各分量：

(A_0,  A_1,  A_2,  A₃) 

此1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。

2、方阵

一般地，2阶4维数阵A_ij, (i,j=0,1,2,3)，就相当于矩阵中的4维方阵（或叫4阶方阵，当这样叫时，要注意数阵的维数是方阵的阶数。）

如果方阵g_ij=g_ji，则g_ij和g_ji都叫对称方阵。

相对论中黎曼度规g_mn是4维2阶数阵，有4²=16个分量，这些分量可用方阵列出：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

多阶数阵的分量不必一一列出，只要能知道每个分量的对应值即可。

一个4维4阶数阵T^ij_kl，图形上可以表示为这样的的“超方阵”（每个立体网点都有一个分量，没有全部标出）：

二、数阵代数

1、数阵加法的定义

同类数阵（维数相同，阶相同）可加（减），即把两数阵中对应的分量都分别相加（减）。这样可得到一个新数阵。

R_ij = A_ij+B_ij

2、数与数阵的乘法的定义

把一数阵的每个分量分别乘以同一个数（实数或复数），就可以得到一个新数阵，这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如：CR_ijk.

3、数阵与数阵的乘法的定义

把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数（阶可以不同）的数阵的所有分量，可以构成一个新数阵，这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积，其阶数是两个数阵的阶数之和。

R_ijk×R_lm = R_ijklm

三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并

我们强调不同的字母的角标，因为如果是相同的字母，常就表示按照爱因斯坦求和约定，对数阵的相应分量求和。

1、爱因斯坦求和约定：

一个数阵，如果每个角标在此数阵中只出现一次，就表示它取一切可能的分量值；

如果某个角标在此数阵中出现两次，那就必须在上、下角标中各出现一次，并表示它取一切可能的分量值，然后把这些分量值相加。例如，4维的数阵R^j_ij：

R^k_ijk= R⁰_ij0+R¹_ij1+R²_ij2+R³_ij3= S_ij

可见相加的结果是得到了一个4维2阶的数阵S_ij.

所以数阵R^j_ij并非是3阶的，而是2阶的。

所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

2、数阵的缩并

对任一有上下角标的数阵，可另一个上标和一个下标取相同的字母，从而使此数阵有效角标减少2个，成为几个都降低了2阶的数阵的和，即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。

如对四维四阶数阵R^m_nr^s，可另s=r，就缩并为2阶方阵R^m_nr^r，有16个分量；也可再另n=m，就缩并为标量R^m_mr^r，只有1个分量。

由R^m_nr^r = S^m_n，或R^m_mr^r=C，可以看出，等式某一边的上下角标可以相互约去，而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。

四、方阵的缩并乘法

两个同维数的方阵（2阶数阵），如Aⁱ_a和B^a_j，把行数写为右上角标，列数写为右下角标，它们的缩并乘法定义为：

Aⁱ_aB^a_j=Cⁱ_j

缩并积Cⁱ_j仍是一个方阵（2阶数阵），其第i行第j列的元素（分量），等于方阵Aⁱ_a的第i行的各元素分别乘以方阵B^a_j的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵，缩并积Cⁱ_j的元素（分量）之一C¹₂的值为：

C¹₂ =A¹₁B₂¹+ A¹₂B₂²+ A¹₃B₂³+ A¹₄B₂⁴

方阵的缩并乘法一般不满足交换律，但若两个都是对称方阵，其缩并乘法满足交换律。

方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。

五、矢量与方阵的缩并积

矢量（1阶数阵）Aⁱ与同维数的方阵B_ij阵可有缩并积：

AⁱB_ij=C_j

四维时，AⁱB_ij=A⁰B_0j+A¹B_1j+A²B_2j+A³B_3j

这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。

同样，A_iB^ij=C^j.

六、四维对称方阵，单位方阵和逆方阵

上面说过，若方阵A_ij=A_ji，则A_ij和A_ji就都叫对称方阵。

特殊对称方阵：

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

被称为四维单位方阵E, 其元素为d_i ^j，

当i=j时，d_i ^j =1，

当i≠j时，d_i ^j =0.

d_i ^j被称为克罗内克尔符号。

任何一个4维方阵Aⁱ_j，与单位方阵E的缩并积，仍为原方阵Aⁱ_j，即：

Aⁱ_jE = EAⁱ_j = Aⁱ_j

方阵A的逆方阵A^-1按下式定义：

AA^-1=E

即若两个方阵的缩并积为单位方阵，则这两个方阵互为逆方阵。

把对称方阵g_ij的逆方阵写为g^ij，我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。

于是：

g_ijg^ij=d_i^j，

当i=j时，d_i^j =1，

当i≠j时，d_i^j =0.

且对称方阵的逆方阵g^ij也必为对称方阵，即：g^ij=g^ji

七、张量

在算术中，如果我们已知乘法的定义，我们用方程：

a=(a/b)×b

表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉，如此就定义了除法(a/b).

我们可以用同样的办法定义张量。

在四维弯曲坐标系x^m（m=0,1,2,3）中，任意函数Q的偏微分记为：

EQ/Ex^m=Q,_m

在坐标变换中产生了新坐标系x’，可把撇号加在角标上x^a’，新坐标对旧坐标的偏微分

Ex^a’/Ex^l同样可记为Ex^a’,_l，而旧坐标对新坐标的偏微分Exⁿ/Ex^g’可记为xⁿ,_g’.

设有一数阵T^lm_n，在新坐标下变为数阵T^a’b’_g’ ，如果有：

T^a’b’_g’=  x^a’,_l x^b’,_m  xⁿ,_g’ T^lm_n

成立，则数阵T^lm_n就被定义为张量。

由于在等式右边，包含2个新坐标对旧坐标的偏微分和1个旧坐标对新坐标的偏微分，所以张量T^lm_n叫2阶逆变、1阶协变的张量。

注意张量的定义式，与除法的定义类似，方程右边的上下相同的角标，可以相互约去，而剩下的角标，就是等式左边的全部角标。

也就是说，张量在坐标变换下，也满足某种脚标均衡原则。

定义：

1逆变的1张量，叫做逆变矢量，规定逆变矢量的脚标要写在右上方，如A^m；

1协变的1阶张量叫做协变矢量，规定协变矢量的脚标要写在右下方，如A_m.

0阶张量就是标量。

张量是满足一定的坐标变换条件的特殊的数阵。数阵代数对张量都适用。

八、商定理

设数阵P_lmn满足以下条件：对于任一逆变矢量A^l，都有A^lP_lmn为一张量；则P_lmn必为一张量。

证明：

记A^lP_lmn = Q_mn , 已知它为一张量，故按张量的定义有：

Q_bg = x^m’,_b x^n’,_g Q_m’n’

于是

A^aP_abg = x^m’,_b x^n’,_g  A^l’ _l’m’n’ ,

因为A^l可为任一逆变矢量，则按逆变矢量的定义有：

A^l’  = x ^l’,_a A^a

所以

A^aP_abg = x^m’,_b x ^n’,_{ g}  x^l’,_a A^a P_l’m’n’ ,

此方程必须对逆变矢量A^a的一切只值都成立，所以：

P_abg = x^m’,_bx ^n’,_g x^l’,_a P_l’m’n’ ,

这就证明了P_abg为一张量。

此定理对任意阶的数阵都成立，也无论数阵的脚标在上方或在下方，或上下方都有脚标。在商定理中, 把逆变矢量改为协变矢量, 则商定理也成立。

回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

abada

网友原问题:

请问这个相对论题目:

在惯性参考系中观测,两个事件同地不同时,则在其他参考系中观测,它们(  )

A. 一定同时
B. 可能同时
C. 不可能同地,但可能同时
D. 不可能同地,也不可能同时

我认为是B,可答案是C.我需要你解释一下,谢谢

==========================================

abada解答：

假设在天安门的正上方, 即在地球坐标的同一地点, 在不同时刻, 放了两烟花A和B.

又假设有一个长长的飞船飞过北京天安门的上空. 烟花A刚好碰到飞船的头部, 烟花B刚好碰到飞船的尾部.

所以, 对飞船坐标而言, 这是不同地点发生的两个事件.

对于飞船来说, 可不可能是同时发生的呢? 不可能.

反证法: 按照爱因斯坦”同时性”的定义, A碰到飞船头, 与B碰到飞船尾, 两事件若在飞船看是同时发生的, 那么这两个事件的光信号,将各自走过一段距离(在飞船看就是飞船固有长度的一半), 而在飞船的中点相遇. 若如此, 我们再在地球坐标看来, 将是怎样的. 由于光速是恒定的, 这两个事件的光信号, 将各自走过一段距离, 或花一定的时间而相遇, 这样的事情是不可能的: 同一地点上的两个光信号不可能走一段空间距离, 或花时间去会合(相遇).

这就证明了: 答案应当是D, 即在另一个惯性系(有相对速度)看来, A与B必然是不同地, 不同时的.

当然, 也可以画一个坐标, 横轴是空间距离, 纵轴是虚数时间, 两事件在同一地点不同时间, 就是横坐标相同而纵坐标不同的两事件点. 狭义相对论变换是把坐标轴做小于90度的旋转. 坐标轴旋转的结果是: 在新的坐标系, 这两点不可能具有同样的横坐标, 也不可能有相同的纵坐标. 结论一样, 就是在新的惯性系中, 它们必然是不同地点而又不同时刻的两个事件.

注意一个题外话: 同一个光线, 从A地发出, 到达B地, “发出”和”达到”这两事件的时空间距永远是0(在不同的惯性系看来, 空间间隔和时间间隔都分别不同, 但四维时空间距保持为0), 这是在不同的惯性系来看.  在广义相对论来看, 光线是0短程线. 这在任何参照系看都如此.

熵减错觉的简明心理分析

abada

一个众所周知的常识是, 一个在引力场中封闭且绝热的单摆系统, 开始状态是单摆摆动, 但最终单摆会停止—- 单摆摆动的时候, 重力势能与动能不断转化, 但转化的效率不是100%, 而是一部分动能或势能(机械能)转化为无规则的分子热运动, 热能了. 这就是不存在永动机的热力学第二定律, 或熵增定律.

我们看,假如在引力场中封闭且绝热的单摆系统里, 有许多单摆, 初状态是在摆动, 而后逐渐都趋向于停止摆动了,那么, 同样,这个系统过程是熵增的, 机械能转化为热能了, 单摆最终都停止摆动了.

这个系统实际上与我说的浑浊的脏水孤立系统在引力场中变为澄清分层的系统过程, 完全是一样的. 但奇怪的是, 说单摆逐渐停止运动,很多人就可以理解是熵增, 而浑水澄清分层, 很多人就难以理解是熵增过程.

(问题:在地球上, 把一个脏水搅浑后封闭隔热后,设为0初始状态. 这个孤立系统在引力场中自发地逐渐澄清分层, 这个状态设为1状态, 问从0状态到1状态, 系统的熵是增加了, 还是减少了?)

完全类似的熵增过程, 一个是单摆垂下不摆了, 另一个是泥沙沉淀不往上窜了, 为什么熵增熵减的心理感觉会不同? 为什么人会有这个错觉?

我想, 这可能人受生物主观需要的影响. 人对分层澄清的水更有需要(人需要喝澄清的水), 但同时人又对单摆的摆动有需要, 比如观看, 定时等.

但科学是严谨的, 要把这些主观感觉去除, 按同样的物理定义和定理, 去理解类似的过程.

康托的超限数理论简介

abada

原始人在数不清部落里现有的苹果和人具体数目的时候, 也有办法说清苹果和人哪个更多. 办法就是一人拿且只拿一个苹果, 如果苹果有剩余, 则苹果多, 如果苹果拿完了, 还有人没有拿到苹果, 则说明人比苹果多.

这种比较多少的办法就是”一一对应”, 如果两个集合, 可以存在一种关系使各自的元素产生一一对应, 那么就说明这两个集合的元素一样多.

1)可以证明所有的正偶数, 与所有的正整数一样多.

正偶数: 2,4,6,8,10, … , 2n, …

正整数: 1,2,3,4, 5… , n, ……

每一个人(自然数)n, 都可以且只能拿一个苹果(正偶数)2n, 所以它们是一样多的.

但偶数不是自然数的一部分吗? 部分怎么可能与全体一样多呢? 当然可以!这正是无穷集合的特点, 可以当作无穷集合的定义.

当某集合的一部分(真子集)的元素, 可以与此集合的全体元素一一对应, 则这个集合是无穷集合, 有无穷多的元素; 否则是有限集合, 有有限个元素.

容易证明所有的奇数, 与自然数也一样多.

2)可以证明所有的有理数与自然数是一样多的.

以下的办法, 可以把所有的有理数(可以表示为分数的数) 逐步写出:

1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1, 2/3, 3/2; 1/4, 4/1, 3/4, 4/3; 1/5, 5/1, 2/5, 5/2, 3/5, 5/3, 4/5, 5/4;…….;…….;…..

分母从1,2,3…到n,逐步增大, 写出这个分母的真分数, 再写出其倒数, 如果得到的分数与前面曾出现过的某分数相等,则删除之. 这种办法继续下去可以写出任何你指定的某个分数(有理数).

既然有理数可以这样按某种顺序排列下来, 自然可以按第1项, 第2项, 第3项….等, 与自然数产生一一对应的关系.

因此, 所有的有理数与自然数是一样多的, 而且, 只要有某种办法列表可以列出某数集, 使数集中任何指定的数, 原则上都可以出现在列表中, 那么这个数集必然就与自然数集可以有一一对应的关系.

所以, 自然数的无穷多也叫可列无穷多, 或可数无穷多.

3)可证明所有的小数, 比所有的自然数更多, 多无穷多个.

反证法: 假如小数与自然数一样多, 即可以存在某种一一对应的关系如下:

1＜—-＞0.a1a2a3a4a5…

2＜—-＞0.b1b2b3b4b5…

3＜—-＞0.c1c2c3c4c5c6c7c8…

4＜—-＞0.d1d2d3d4d5d6…..

5＜—-＞0.e1e2e3e4e5e6….

6＜—-＞0.f1f2f3f4f5f6f7…..
…..

则可证明某指定的小数必不存在于这个对应表中, 与一一对应矛盾.

比如指定小数:

0.(非a1)(非b2)(非c3)(非d4)(非e5)(非f6)……..

这叫”对角线删除法”得到的小数, 这个小数必然不能与上表中的自然数1对应, 因为根据上表, 自然数1所对应的小数, 小数点后第一位数是a1, 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非a1;

这个小数必然不能与上表中的自然数2对应, 因为根据上表, 自然数2所对应的小数, 小数点后第一位数是b2 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非b2;

依次类推, 指定的小数就无法出现在列表中. 即还存在无穷多的小数, 没有自然数能与之对应.

所以, 所有的小数比所有的自然数, 多无穷多个.

所有的小数与所有的实数是一样多的, 叫不可列无穷多, 或不可数无穷多, 它比自然数的无穷多, 属于更多的无穷多类.

4) 可证明平面上的点与数轴上的点一样多.

平面上的点, 可以表示为有序实数对. 假设平面上某点横坐标为: ….a6a5a4a3a2a1.b1b2b3b4b5b6…,

纵坐标为: ….c6c5c4c3c2c1.d1d2d3d4d5d6…,

则这个点如下这样, 能且只能与唯一实数:

…..c6a6c5a5c4a4c3a3c2a2c1a1.d1b1d2b2d3b3d4b4d5b5d6b6….

产生一一对应的关系. 而实数与数轴上的点又有一一对应的关系. 命题得证.

也因此可知所有的复数与所有的实数是一样多的.

康托把自然数的无穷多叫阿列夫0, 而把实数无穷多叫C, 在这两者之间有没有一种无穷多, 比自然数的无穷多要多, 但比实数的无穷多要少呢? 康托认为没有这样的无穷多–这个命题叫连续统假设. 希尔伯特将之列为23个著名难题. 很多数学家试图证明之, 但结果证明: 在现有集合公理下, 这个命题是不可证明的, 即它和它的否命题都与现有的集合公理系统相容. 也说明了现有的集合公理是不完备的.(这与按康托不完备性定理也不矛盾)

 希尔伯特称康托的超限数理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”