广义相对论导引(之一~八)
广义相对论导引(之一~八)
abada
一、数阵
数阵,或叫数组,常用一个字母附加角标来表示。如:
Aij
角标可以有0个或几个,用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义,以决定使角标写在上方或写在下方。
不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。
每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数。
如数阵:Rijklm
(i,j,k,l,m = 0,1,2,3)
共有5个角标i,j,k,l,m,所以此数阵是5阶的数阵;由于每个角标都能取0~3共四个值,所以是4维数阵。
当各角标都分别取了相同或不同的确定的值,就产生了数阵的一个分量,或叫元素,数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应(映射)。
数阵的所有元素总数是:n的N次方个。
例如,5阶4维的数阵,共有45=1024个分量。
小结:
数阵是一种非连续的N元函数,各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n,数阵的阶为N.
当各自变量都分别取一个确定的值后,就确定了数阵的一个分量,此分量与某确定的实数值或函数产生映射。
特别地,0阶数阵就是一个标量, 对应于一个确定的实数或一个确定的函数(标量场)。
例:
1、矢量
对4维1阶的数阵Ai可列出各分量:
(A0, A1, A2, A3)
此1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。
2、方阵
一般地,2阶4维数阵Aij, (i,j=0,1,2,3),就相当于矩阵中的4维方阵(或叫4阶方阵,当这样叫时,要注意数阵的维数是方阵的阶数。)
如果方阵gij=gji,则gij和gji都叫对称方阵。
相对论中黎曼度规gmn是4维2阶数阵,有42=16个分量,这些分量可用方阵列出:
g00 g01 g02 g03
g10 g11 g12 g13
g20 g21 g22 g23
g30 g31 g32 g33
多阶数阵的分量不必一一列出,只要能知道每个分量的对应值即可。
一个4维4阶数阵Tijkl,图形上可以表示为这样的的“超方阵”(每个立体网点都有一个分量,没有全部标出):
二、数阵代数
1、数阵加法的定义
同类数阵(维数相同,阶相同)可加(减),即把两数阵中对应的分量都分别相加(减)。这样可得到一个新数阵。
Rij = Aij+Bij
2、数与数阵的乘法的定义
把一数阵的每个分量分别乘以同一个数(实数或复数),就可以得到一个新数阵,这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如:CRijk.
3、数阵与数阵的乘法的定义
把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数(阶可以不同)的数阵的所有分量,可以构成一个新数阵,这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积,其阶数是两个数阵的阶数之和。
Rijk×Rlm = Rijklm
三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并
我们强调不同的字母的角标,因为如果是相同的字母,常就表示按照爱因斯坦求和约定,对数阵的相应分量求和。
1、爱因斯坦求和约定:
一个数阵,如果每个角标在此数阵中只出现一次,就表示它取一切可能的分量值;
如果某个角标在此数阵中出现两次,那就必须在上、下角标中各出现一次,并表示它取一切可能的分量值,然后把这些分量值相加。例如,4维的数阵Rjij:
Rkijk= R0ij0+R1ij1+R2ij2+R3ij3= Sij
可见相加的结果是得到了一个4维2阶的数阵Sij.
所以数阵Rjij并非是3阶的,而是2阶的。
所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。
2、数阵的缩并
对任一有上下角标的数阵,可另一个上标和一个下标取相同的字母,从而使此数阵有效角标减少2个,成为几个都降低了2阶的数阵的和,即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。
如对四维四阶数阵Rmnrs,可另s=r,就缩并为2阶方阵Rmnrr,有16个分量;也可再另n=m,就缩并为标量Rmmrr,只有1个分量。
由Rmnrr = Smn,或Rmmrr=C,可以看出,等式某一边的上下角标可以相互约去,而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。
四、方阵的缩并乘法
两个同维数的方阵(2阶数阵),如Aia和Baj,把行数写为右上角标,列数写为右下角标,它们的缩并乘法定义为:
AiaBaj=Cij
缩并积Cij仍是一个方阵(2阶数阵),其第i行第j列的元素(分量),等于方阵Aia的第i行的各元素分别乘以方阵Baj的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵,缩并积Cij的元素(分量)之一C12的值为:
C12 =A11B21+ A12B22+ A13B23+ A14B24
方阵的缩并乘法一般不满足交换律,但若两个都是对称方阵,其缩并乘法满足交换律。
方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。
五、矢量与方阵的缩并积
矢量(1阶数阵)Ai与同维数的方阵Bij阵可有缩并积:
AiBij=Cj
四维时,AiBij=A0B0j+A1B1j+A2B2j+A3B3j
这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。
同样,AiBij=Cj.
六、四维对称方阵,单位方阵和逆方阵
上面说过,若方阵Aij=Aji,则Aij和Aji就都叫对称方阵。
特殊对称方阵:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
被称为四维单位方阵E, 其元素为di j,
当i=j时,di j =1,
当i≠j时,di j =0.
di j被称为克罗内克尔符号。
任何一个4维方阵Aij,与单位方阵E的缩并积,仍为原方阵Aij,即:
AijE = EAij = Aij
方阵A的逆方阵A-1按下式定义:
AA-1=E
即若两个方阵的缩并积为单位方阵,则这两个方阵互为逆方阵。
把对称方阵gij的逆方阵写为gij,我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。
于是:
gijgij=dij,
当i=j时,dij =1,
当i≠j时,dij =0.
且对称方阵的逆方阵gij也必为对称方阵,即:gij=gji
七、张量
在算术中,如果我们已知乘法的定义,我们用方程:
a=(a/b)×b
表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉,如此就定义了除法(a/b).
我们可以用同样的办法定义张量。
在四维弯曲坐标系xm(m=0,1,2,3)中,任意函数Q的偏微分记为:
EQ/Exm=Q,m
在坐标变换中产生了新坐标系x’,可把撇号加在角标上xa’,新坐标对旧坐标的偏微分
Exa’/Exl同样可记为Exa’,l,而旧坐标对新坐标的偏微分Exn/Exg’可记为xn,g’.
设有一数阵Tlmn,在新坐标下变为数阵Ta’b’g’ ,如果有:
Ta’b’g’= xa’,l xb’,m xn,g’ Tlmn
成立,则数阵Tlmn就被定义为张量。
由于在等式右边,包含2个新坐标对旧坐标的偏微分和1个旧坐标对新坐标的偏微分,所以张量Tlmn叫2阶逆变、1阶协变的张量。
注意张量的定义式,与除法的定义类似,方程右边的上下相同的角标,可以相互约去,而剩下的角标,就是等式左边的全部角标。
也就是说,张量在坐标变换下,也满足某种脚标均衡原则。
定义:
1逆变的1张量,叫做逆变矢量,规定逆变矢量的脚标要写在右上方,如Am;
1协变的1阶张量叫做协变矢量,规定协变矢量的脚标要写在右下方,如Am.
0阶张量就是标量。
张量是满足一定的坐标变换条件的特殊的数阵。数阵代数对张量都适用。
八、商定理
设数阵Plmn满足以下条件:对于任一逆变矢量Al,都有AlPlmn为一张量;则Plmn必为一张量。
证明:
记AlPlmn = Qmn , 已知它为一张量,故按张量的定义有:
Qbg = xm’,b xn’,g Qm’n’
于是
AaPabg = xm’,b xn’,g Al’ l’m’n’ ,
因为Al可为任一逆变矢量,则按逆变矢量的定义有:
Al’ = x l’,a Aa
所以
AaPabg = xm’,b x n’, g xl’,a Aa Pl’m’n’ ,
此方程必须对逆变矢量Aa的一切只值都成立,所以:
Pabg = xm’,bx n’,g xl’,a Pl’m’n’ ,
这就证明了Pabg为一张量。
此定理对任意阶的数阵都成立,也无论数阵的脚标在上方或在下方,或上下方都有脚标。在商定理中, 把逆变矢量改为协变矢量, 则商定理也成立。
2009年5月19日于8:57 am
先生这帖子绝对是费力不讨好的,不如写本书出版。
2009年7月20日于5:05 am
贴公式用这个方便点
http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=244428
2009年8月30日于1:36 am
難得有此篇清晰的文章。