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广义相对论导引（之九~十四）

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九、斜交基轴

 

 

 

如上图，设两斜交坐标基轴（单位长度的、分别与各坐标轴同方向的矢量）为e₁和e₂，长度为单位长度1，基轴夹角为q₁₂简称q，它们的标量积e₁e₂定义为基轴e₁在基轴e₂上的投影的长度。

 

由于e₁e₂=cosq，所以标量积e₁e₂可以反映两基轴之间的夹角。

 

标量积e₁e₂可简写为e₁₂，

显然e₁₂=e₂₁

又 e₁₁=e₂₂=1

如果是四维，有四个基轴，各轴的关系（标量积）有16个，写成方阵，为：

 

e₀e₀    e₀e₁     e₀e₂     e₀e₃     

e₁e₀    e₁e₁     e₁e₂     e₁e₃     

e₂e₀    e₂e₁     e₂e₂     e₂e₃     

e₃e₀    e₃e₁     e₃e₂     e₃e₃    

 

此方阵可简写为 e_ij,(i,j=0,1,2,3).

注意e_ij = e_ji

且当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cosq_ij

 

对于直角坐标轴:

当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cos(p/2)=0.

 

所以，直角坐标轴的基本方阵为：

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

这个方阵被称为单位矩阵E, 其元素为d_i^{ j}  ,

当i=j时，d_i ^j =1，当i≠j时，d_i ^j =0

d_i^{ j}  是克罗内克尔符号。

 

十、斜交轴度量系数

再回到斜轴的情况。看图：

 

 

 

 

如上图，有一矢量dS可在各斜轴上有分量dxⁱ，分量按平行四边形法则推广，这构成了仿射坐标。

看dS的长度平方，按三角形余弦定理：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²-2dx¹dx²cos(p-q)

化简为

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx²cosq

由cosq=e₁e₂可得：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx² e₁e₂

由e₁e₁= e₂e₂=1，可得：

(dS)²= e₁e₁dx¹dx¹  + e₁e₂dx¹dx²

+e₂e₁dx²dx¹ + e₂e₂dx² dx²

上式可简写为：

ds² = e_ijdxⁱdx^j , (i, j=1,2)

这是根据爱因斯坦求和约定。

 

先看此式在某一特殊情况下的意义：

在狭义相对论四维时空正交坐标中，这时在四维时空正交坐标中，要么时间坐标x⁰取虚轴、空间坐标取实轴，要么反过来，时间坐标x⁰取实轴、空间坐标取虚轴。按后一种习惯，则四维正交坐标基本方阵为：

 

1    0    0    0

0    -1   0    0

0    0   -1    0

0    0    0    -1

当i=j=0时，元素g_ij=g₀₀=1；

当i=j≠0时，元素g_ij=-1；

当i≠j时，元素g_ij=0.

 

这时，根据狭义相对论，

ds² =g_ijdxⁱdx^j

=(dx⁰)² -(dx¹)²-(dx²)²-(dx³)²

作为两事件的时空间距，是狭义相对论坐标变换的不变量。

作为推广，ds² =g_ijdxⁱdx^j  可作为较普遍的一种距离定义，不限于正交轴甚至不限于直线轴。这时，这里的g_ij 也不一定是常数。这样建立的空间就是黎曼空间，g_ij就是度规张量。为什么说它是张量，后面将会证明。

 

 

十一、球面度规

 

距离微分的平方：

ds² =g_ijdxⁱdx^j

其中xⁱ,x^j已可以自身不是通常的直线距离坐标或时间坐标，而是它们的参数（函数）即可，只要能表示成：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

且是坐标变换下的不变量，即是黎曼几何的度规表达式。

在四维时空中，m, n=0~3

黎曼距离元求和的各项可以排成方阵：

 

g₀₀dx⁰dx⁰   g₀₁dx⁰dx¹   g₀₂dx⁰dx²   g₀₃dx⁰dx³

g₁₀dx¹dx⁰   g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²   g₁₃dx¹dx³

g₂₀dx²dx⁰   g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²   g₂₃dx²dx³

g₃₀dx³dx⁰   g₃₁dx³dx¹   g₃₂dx³dx²   g₃₃dx³dx³

 

四维度规方阵为：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

由于g_mn=g_nm，所以16项中真正独立的量只有10个，（方阵里黑体部分），而其余6个是重复的量。

 

 

例，看二维球面度规的表示：

 

 

 

 

 

由图可知，球半径R一定时：

ds² =R²da²+(R²sin²a)db²

即：ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb        (10.01)

其中a, b是经度和纬度。对照二维空间度规：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=1~1)

g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²

g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²

 

其中参数x¹=a, x²=b，所以度规方阵成为：

 

g₁₁dada   g₁₂dadb

g₂₁dbda   g₂₂dbdb

 

对照(10.01)式可得：

g₁₁=R²    g₂₂= (R²sin²a)  

而其他的g_mn=0,  (m≠n)

因此，此球面二维黎曼度规方阵为：

R²       0

0     R²sin²a

可以看到，其中的 a不是常量，而是变量。

当维数一定时,  若不能通过坐标参数线性变换而将弯曲空间的度规都变为常量，则说明此维数下空间的弯曲是内禀性质的。二维球面就是本质的二维弯曲空间。

 

补充：

 

在R不变的二维球面, 不可能通过线性参数变换而把度规都化为常量.  但在R变化的三维球体空间, 却可以通过线性参数变换把度规都化为常量, 化成为平直笛卡儿三维空间.

 

所以, 二维球面的弯曲是内禀性质的, 而三维空间中球体的弯曲可以不是内禀性质的.

 

在R有dR变化量的时候，可以类似建立三维空间的球心极坐标度规：

ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb+dR²

度规方阵：

R²         0          0 

0       R²sin²a         0

0       0          1     

虽然含有变量a，R，但实际上空间并不是内禀的三维弯曲空间，因为可以通过线性参数坐标变换变成笛卡儿坐标系：

ds²=dX²+dY²+dZ²

其中X,Y,Z与a，b，R可由线性参数方程变换联系。

化成正交直线坐标后，度规可变为：

1        0        0

0        1        0

0         0        1

是三维单位矩阵，元素为克罗内克尔符号。能建立笛卡儿坐标系，就标志着这是最典型的三维平直欧几里德空间。

 

 

十二、证明克罗内克尔符号是张量

 

由偏微分规则可知：

x^l,_m’ x^m’,_n = x^l,_n = d^l_n ，

当l=n时，d^l_n  =1，

当l≠n时，d^l_n  =0.

d^l_n  是克罗内克尔符号。

按定义，对新坐标中的d^a’_b’同样有：

当a’=b’时，d^a’_b’ =1，

当a’ ≠b’时，d^a’_b’ =0

所以，无论a’=b’或a’ ≠b’时，都有：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = x^l_,m’ x^m’_,n  ，

 

于是：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = d^l_n ，

这就证明了d^l_n是一张量。

 

十三、证明g_mn和g^mn是张量

 

根据狭义相对论，有：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

其中g_mn为度规。

一般的逆变矢量有四个分量A^m，其在坐标变换下与dx^m的变换方式相同。

g_mnA^mAⁿ=|A|²

 

是在坐标变换下的不变量，它是矢量A的长度的平方。

 

设B^m是另一个逆变矢量；则当l为任意数值时，A^m+lB^m仍是逆变矢量。其长度平方为：

|A^m+lB^m|² = g_mn(A^m+lB^m)(Aⁿ+lBⁿ)

=g_mnA^mAⁿ+l(g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m)+l²g_mnB^mBⁿ

对一切值来说，上式都必为一不变量。由此可知，与l无关的一项以及l与l²的系数，必定分别为不变量。l的系数为不变量：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m

其中第二项也可交换m和n而写为g_nmA^mBⁿ，再由g_nm=g_mn 可知l的不变量系数：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m =2g_mnA^mBⁿ

这就证明了g_mnA^mBⁿ为一不变量。它是A^m和Bⁿ的标积不变量。所以，

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnA^mBⁿ

 

由逆变矢量的定义：

A^m=x^m_,a’ A^a’，Bⁿ= xⁿ_,b’ B^b’ ，

所以

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’ A^a’B^b’，

因为上式对A^a’ ，B^b’的一切值成立，所以：

g_a’b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’

 

这就证明了g_mn为一2阶协变张量。同理可证g^mn是一2阶逆变张量。

g_mn和g^mn被称为基本张量。

 

十四、逆变张量和协变张量的关系

 

设有逆变矢量Aⁿ，按下式的缩并积定义一个矢量：

A_m=g_mnAⁿ

现在证明A_m是一协变矢量。

 

由逆变矢量的定义可知：

Aⁿ=xⁿ_,a’ A^a’，

于是

A_m=g_mn(xⁿ_,a’ A^a’)= g_a’b’ x^a’_,n x^b’_,m xⁿ_,a’ A^a’ ，

= x^b’_,mg_a’b’  A^a’ ，

再用缩并积定义A_b’= g_a’b’  A^a’ ，所以可得：

A _m= x^b’_,m A_b’

 

这就证明了，A_m是一协变矢量。

很容易可把上面的证明过程反过来可证明，若A_m是一协变矢量，则必有：A_m=g_mn Aⁿ，其中Aⁿ是一逆变矢量。

 

将A_m=g_mn Aⁿ两边同乘以g^mn ，得：

g^mnA_m=g_mr g^mrAⁿ=d_m^rAⁿ，

另r=m，则d_m^r=1，于是d_m^rAⁿ= Aⁿ，由此得：

g^mnA_m= Aⁿ ，或

Aⁿ= g^mnA_m .

 

此文于2009年5月19日星期二3:38 am发表于“未分类”分类下。您可以通过RSS 2.0 feed来跟踪此文的所有评论。您可以留言，或者从您自己的网站trackback。