abada

广义相对论导引（之一~八）

abada

一、数阵

 

数阵，或叫数组，常用一个字母附加角标来表示。如:

A^ij

角标可以有0个或几个，用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义，以决定使角标写在上方或写在下方。

不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数。

 

如数阵：R_ijklm

   （i，j，k，l，m = 0，1，2，3）           

共有5个角标i，j，k，l，m，所以此数阵是5阶的数阵；由于每个角标都能取0~3共四个值，所以是4维数阵。

 

当各角标都分别取了相同或不同的确定的值，就产生了数阵的一个分量，或叫元素，数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应（映射）。

 

数阵的所有元素总数是：n的N次方个。

例如，5阶4维的数阵，共有4⁵=1024个分量。

 

 

小结：

 

数阵是一种非连续的N元函数，各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n，数阵的阶为N.

 

当各自变量都分别取一个确定的值后，就确定了数阵的一个分量，此分量与某确定的实数值或函数产生映射。

 

特别地，0阶数阵就是一个标量， 对应于一个确定的实数或一个确定的函数（标量场）。

 

例:

 

1、矢量

对4维1阶的数阵A_i可列出各分量：

(A_0,  A_1,  A_2,  A₃) 

此1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。

 

2、方阵

一般地，2阶4维数阵A_ij, (i,j=0,1,2,3)，就相当于矩阵中的4维方阵（或叫4阶方阵，当这样叫时，要注意数阵的维数是方阵的阶数。）

 

如果方阵g_ij=g_ji，则g_ij和g_ji都叫对称方阵。

 

相对论中黎曼度规g_mn是4维2阶数阵，有4²=16个分量，这些分量可用方阵列出：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

 

多阶数阵的分量不必一一列出，只要能知道每个分量的对应值即可。

 

一个4维4阶数阵T^ij_kl，图形上可以表示为这样的的“超方阵”（每个立体网点都有一个分量，没有全部标出）：

 

 

二、数阵代数

 

1、数阵加法的定义

 

同类数阵（维数相同，阶相同）可加（减），即把两数阵中对应的分量都分别相加（减）。这样可得到一个新数阵。

R_ij = A_ij+B_ij

 

2、数与数阵的乘法的定义

 

把一数阵的每个分量分别乘以同一个数（实数或复数），就可以得到一个新数阵，这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如：CR_ijk.

 

3、数阵与数阵的乘法的定义

 

把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数（阶可以不同）的数阵的所有分量，可以构成一个新数阵，这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积，其阶数是两个数阵的阶数之和。

 

R_ijk×R_lm = R_ijklm

 

 

三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并

 

我们强调不同的字母的角标，因为如果是相同的字母，常就表示按照爱因斯坦求和约定，对数阵的相应分量求和。

 

1、爱因斯坦求和约定：

 

一个数阵，如果每个角标在此数阵中只出现一次，就表示它取一切可能的分量值；

如果某个角标在此数阵中出现两次，那就必须在上、下角标中各出现一次，并表示它取一切可能的分量值，然后把这些分量值相加。例如，4维的数阵R^j_ij：

R^k_ijk= R⁰_ij0+R¹_ij1+R²_ij2+R³_ij3= S_ij

可见相加的结果是得到了一个4维2阶的数阵S_ij.

 

所以数阵R^j_ij并非是3阶的，而是2阶的。

所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

 

2、数阵的缩并

 

对任一有上下角标的数阵，可另一个上标和一个下标取相同的字母，从而使此数阵有效角标减少2个，成为几个都降低了2阶的数阵的和，即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。

 

如对四维四阶数阵R^m_nr^s，可另s=r，就缩并为2阶方阵R^m_nr^r，有16个分量；也可再另n=m，就缩并为标量R^m_mr^r，只有1个分量。

 

由R^m_nr^r = S^m_n，或R^m_mr^r=C，可以看出，等式某一边的上下角标可以相互约去，而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。

 

 

四、方阵的缩并乘法

 

两个同维数的方阵（2阶数阵），如Aⁱ_a和B^a_j，把行数写为右上角标，列数写为右下角标，它们的缩并乘法定义为：

 

Aⁱ_aB^a_j=Cⁱ_j

 

缩并积Cⁱ_j仍是一个方阵（2阶数阵），其第i行第j列的元素（分量），等于方阵Aⁱ_a的第i行的各元素分别乘以方阵B^a_j的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵，缩并积Cⁱ_j的元素（分量）之一C¹₂的值为：

C¹₂ =A¹₁B₂¹+ A¹₂B₂²+ A¹₃B₂³+ A¹₄B₂⁴

方阵的缩并乘法一般不满足交换律，但若两个都是对称方阵，其缩并乘法满足交换律。

 

方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。

 

 

五、矢量与方阵的缩并积

 

矢量（1阶数阵）Aⁱ与同维数的方阵B_ij阵可有缩并积：

 

AⁱB_ij=C_j

 

四维时，AⁱB_ij=A⁰B_0j+A¹B_1j+A²B_2j+A³B_3j

 

这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。

 

同样，A_iB^ij=C^j.

 

 

六、四维对称方阵，单位方阵和逆方阵

 

上面说过，若方阵A_ij=A_ji，则A_ij和A_ji就都叫对称方阵。

 

特殊对称方阵：

 

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

 

被称为四维单位方阵E, 其元素为d_i ^j，

当i=j时，d_i ^j =1，

当i≠j时，d_i ^j =0.

d_i ^j被称为克罗内克尔符号。

 

任何一个4维方阵Aⁱ_j，与单位方阵E的缩并积，仍为原方阵Aⁱ_j，即：

 

Aⁱ_jE = EAⁱ_j = Aⁱ_j

 

方阵A的逆方阵A^-1按下式定义：

AA^-1=E

 

即若两个方阵的缩并积为单位方阵，则这两个方阵互为逆方阵。

把对称方阵g_ij的逆方阵写为g^ij，我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。

于是：

g_ijg^ij=d_i^j，

当i=j时，d_i^j =1，

当i≠j时，d_i^j =0.

 

且对称方阵的逆方阵g^ij也必为对称方阵，即：g^ij=g^ji

 

 

七、张量

 

在算术中，如果我们已知乘法的定义，我们用方程：

a=(a/b)×b

表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉，如此就定义了除法(a/b).

 

我们可以用同样的办法定义张量。

 

在四维弯曲坐标系x^m（m=0,1,2,3）中，任意函数Q的偏微分记为：

EQ/Ex^m=Q,_m

在坐标变换中产生了新坐标系x’，可把撇号加在角标上x^a’，新坐标对旧坐标的偏微分

Ex^a’/Ex^l同样可记为Ex^a’,_l，而旧坐标对新坐标的偏微分Exⁿ/Ex^g’可记为xⁿ,_g’.

 

设有一数阵T^lm_n，在新坐标下变为数阵T^a’b’_g’ ，如果有：

 

T^a’b’_g’=  x^a’,_l x^b’,_m  xⁿ,_g’ T^lm_n

 

成立，则数阵T^lm_n就被定义为张量。

 

由于在等式右边，包含2个新坐标对旧坐标的偏微分和1个旧坐标对新坐标的偏微分，所以张量T^lm_n叫2阶逆变、1阶协变的张量。

 

注意张量的定义式，与除法的定义类似，方程右边的上下相同的角标，可以相互约去，而剩下的角标，就是等式左边的全部角标。

 

也就是说，张量在坐标变换下，也满足某种脚标均衡原则。

 

定义：

1逆变的1张量，叫做逆变矢量，规定逆变矢量的脚标要写在右上方，如A^m；

 

1协变的1阶张量叫做协变矢量，规定协变矢量的脚标要写在右下方，如A_m.

 

0阶张量就是标量。

 

张量是满足一定的坐标变换条件的特殊的数阵。数阵代数对张量都适用。

 

 

八、商定理

 

设数阵P_lmn满足以下条件：对于任一逆变矢量A^l，都有A^lP_lmn为一张量；则P_lmn必为一张量。

 

证明：

 

记A^lP_lmn = Q_mn , 已知它为一张量，故按张量的定义有：

Q_bg = x^m’,_b x^n’,_g Q_m’n’

于是

A^aP_abg = x^m’,_b x^n’,_g  A^l’ _l’m’n’ ,

因为A^l可为任一逆变矢量，则按逆变矢量的定义有：

A^l’  = x ^l’,_a A^a

所以

A^aP_abg = x^m’,_b x ^n’,_{ g}  x^l’,_a A^a P_l’m’n’ ,

 

此方程必须对逆变矢量A^a的一切只值都成立，所以：

P_abg = x^m’,_bx ^n’,_g x^l’,_a P_l’m’n’ ,

这就证明了P_abg为一张量。

 

此定理对任意阶的数阵都成立，也无论数阵的脚标在上方或在下方，或上下方都有脚标。在商定理中, 把逆变矢量改为协变矢量, 则商定理也成立。

 

 

此文于2009年5月19日星期二2:47 am发表于“未分类”分类下。您可以通过RSS 2.0 feed来跟踪此文的所有评论。您可以留言，或者从您自己的网站trackback。