怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方？
怎样计算“1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方”？
abada
为了能教、教好自己的孩子，我不得不复习一点儿中学数学。 我时常感觉到：有不少初等数学题也是很有意思、很有乐趣、很好玩的！
一般给孩子讲到数学天才高斯的故事的时候，都要讲到高斯上小学的时候，就以很快的速度算出了他数学老师布置的问题：
1+2+3+4+5+…+100=?
小高斯的方法是把上式子变为：（1+100）+（2+99）+（3+98）+…，其中每项都等于101，而一共有100/2项。所以上式等于101×100/2=101×50=5050.
这么快得出结果，使他的老师很惊讶，因为其他同学还在1+2+3+4+..一项一项地算着呢！据说这个故事被晚年的高斯津津乐道。
上面的数学问题和答案，可以总结为：1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2
我突然想到这个问题：
12+22+32+42+…+n2 =?
似乎我中学的时候做过，但已经全忘了用中学方法是怎样做的，只能从头再来。做了半天，试了各种办法，最后终于做出结果了，但中间遇到的挫折，很能说明思维的误区。而最后的解法，又是怎么被偶然地在误区中突然发现的，写个笔记回忆起来也许可以说是意味深长。解题过程似乎说明了，解决问题的时候不要怕失败，在种种的错误、挫折的黑暗的道路上，可能会偶然地、歪打正着发现正确方法的曙光。
误区1：一个自然的办法就是想能否用小高斯的那个方法去计算。试了，不行。相应的头、尾项相加，结果没有那么显明的规律。这是习惯定势思维的误区，把无法推广的方法，硬要推广。（但看官下面会发现，如果方法是可推广的，那么，思维定势，“推广”方法，却恰恰又是很有用的。所以，问题不在于思维定势，而在于某方法在某方面是否通用、有普适性，在某方面、某种程度上是否具备可推广性。）
误区2：我想起了求等比数列前n项和的方法。a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1 = ?
设 S=a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1
则 qS=aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn
上两式相减，得：（1-q)S=a-aqn
于是：S=a(1-qn)/(1-q)
想到这里，我就设了：S2=12+22+32+42+…+n2
并想到随时准备利用这个结果：S1=1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2
还容易想到的方法就是：(S1)2与S2对照：
(S1)2 = (1+2+3+4+…+n)2
= 12+22+32+42+…+n2 +[1（1+2+3+4+…+n）-12]+[2（1+2+3+4+…+n）-22]+[3（1+2+3+4+…+n）-32]+[4（1+2+3+4+…+n）-42]+…+[n（1+2+3+4+…+n）-n2]
结果得到： (S1)2 = S2 + S1xS1 - S2 最后只能是：0=0，什么也得不到。
我反复又试了几种类似的方法，结果还是同样得不到任何结果。我继续试：
S2=12+22+32+42+…+n2
= (2-1)2 + (3-1)2 + (4-1)2 + (5-1)2+…+[(n+1)-1]2
= [S2 -12 + (n+1)2] + n*12 - 2*[2+3+4+5+…+(n+1)]
=[S2-1+(n+1)2]+ n - 2*(S1+n)
=S2+n2+n-2S1
上面的方程，最终结果还是把想得到结果的S2给消去了。 真是郁闷啊！但是，却意外地得到了一个结果：
S1= (n2+n)/2 = n(n+1)/2
这个结果并不是想要的，因为早已经用小高斯的方法，可以很简单地得到这个结果。但我却记住了，这是另外一种得到S1的公式的方法。这也许是一种意外的收获？
事实证明，远远不止如此。 当我在继续试了其他方法还是得到0=0之后，我突然来了灵感：
上面利用S2得到S1的方法，也许是比小高斯的方法更通用的方法，用这个方法，可以试试利用S3而得到S2=? 也许S3是个类似的脚手架，搭上后又被拆掉了，但谁能说脚手架没有用呢？
结果证明的确如此，天才少年高斯的方法固然简单巧妙，但他的方法不能通用、推广到求S2. 而我在无意中试出来的那种方法，却可以被推广而得到S2的结果，具有解决这类问题时的某种方法意义上的通用性。
整理这个得到S1的新方法，它无非是利用了公式 （n-1)2 = n2 -2n + 1
我们现在推广一下， 利用公式 （n-1)3 = n3-3n2+3n-1
设 S3 = 13+23+33+43+…+n3
及 S2 = 12+22+32+42+…+n2
及 S1 = 1 +2 +3 +4+…+n
知：
S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + … + (n-1)3 = S3 -n3
果然，S3被消去了，但我们可以得到：
3S2 = 3S1+n3-n
把 S1= n(n+1)/2 带入上式， 可得：
S2 = n(n+1)(2n+1)/6
即：
12+22+32+42+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
可以设想，用同样的方法，可以利用S4而得到S3即13+23+33+43+…+n3的公式，依次类推。
2009年8月4日于9:46 am
一个凑系数的思路：根据观察，Sm为最高次数为m+1的n非负整数次数多项式；那么对于特定的n，随便试算m+1个Sm，求解一次方程组就可以得到多项式各项的系数。
基于对简单数学问题有简洁结果的信仰，我们可以相信Sm为最高次数为m+1的n正整数次数多项式，而不会出现其他的次数；相信对于特定的n，只需试算m+1个Sm，而不需要结果对所有的n成立，不需要计算所有的n。如果要严格证明这两点，我感觉也不难。
2009年8月4日于10:44 am
还没有S2以上公式的时候, 还无法观察它们呢……
2009年8月4日于8:23 pm
可以想象Sm一定是m+1次多项式(求和相当于对m次函数做积分),然后待定系数求解,递推法证明
2009年8月4日于10:06 pm
如果用猜测法, 那么就要伴随证明.
本文叙述的是用初等方法直接求解.
2009年8月4日于10:14 pm
求出系数后，可以用递推法直接证明.
记得以前中学数学竞赛的时候就常干这样的事
文中叙述的方法也是很简练的
2009年8月4日于10:24 pm
用数学归纳法证明S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6如下:
n=1时，等式成立
如n=m时，S2(m)=m(m+1)(2m+1)/6成立，
则n=m+1时，
S2(m+1)=S2(m)+(m+1)^2
=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6
所以对n=m+1等式也成立
所以对所有n∈N，S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6 成立
2009年8月6日于9:21 pm
看到这篇BLOG,激起兴趣,也来凑热闹
如果就原本的问题而言, 我的思路一开始没有往通用的方向走,
要求S(n)=1^2+2^2+3^2+…+n^2,观察一下:
1^2+2^2+ ? = 2^3
1^2+2^2+3^2+ ? = 3^3
1^2+2^2+3^2+4^2+? = 4^3
…
之所以这样去想, 是把数字想象成一个个立方体组成, 很容易有:
1个方块+4个方块 如果再补上 3个方块就是 边长为2的大方块(即2^3=8)
1个方块+4个方块+9个方块, 如果再补上 13个方块就是 边长为3的大方块(3^3=27)
同理,接下来要补21个方块…
用T(n)表示使S(n)凑够n^3要补上的方块数目, 我们就得到:
S(n) + T(n) = n^3
进一步,我们不难发现T(n)的规律:
T(n) = T(n-1) + (n-1)(2n-1)
即
T(n) = 对(n-1)(2n-1)求和
= 对(2n^2-3n+1)求和
马上就得到:
S(n) = n(n+1)(2n+1)/6
不过,这种方法无法推广,LZ的思路更胜一筹,可惜表达有些累赘,不够简洁
其实只需要注意到一个事实:
对n^3对和 与 对(n+1)^3求和 只相差 (n+1)^3 -1
当然, LZ使用(n-1)^3也可以, 都一样!(这就是关键)
接下来就很简单了:
对(n+1)^3求和 = 对(n^3+3n^2+3n+1)求和
= 对n^3求和 + 3*S(n) + 3*(对n求和) + n
一整理就得到结果.
谢谢LZ的分享,又复习了一遍求和的技巧