《怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方？》的评论

由：Fred

Fri, 07 Aug 2009 03:21:37 +0000

看到这篇BLOG,激起兴趣,也来凑热闹

如果就原本的问题而言, 我的思路一开始没有往通用的方向走,
要求S(n)=1^2+2^2+3^2+…+n^2,观察一下:
1^2+2^2+ ? = 2^3
1^2+2^2+3^2+ ? = 3^3
1^2+2^2+3^2+4^2+? = 4^3
…

之所以这样去想, 是把数字想象成一个个立方体组成, 很容易有:

1个方块+4个方块如果再补上 3个方块就是边长为2的大方块(即2^3=8)
1个方块+4个方块+9个方块, 如果再补上 13个方块就是边长为3的大方块(3^3=27)
同理,接下来要补21个方块…

用T(n)表示使S(n)凑够n^3要补上的方块数目, 我们就得到:
S(n) + T(n) = n^3
进一步,我们不难发现T(n)的规律:
T(n) = T(n-1) + (n-1)(2n-1)
即
T(n) = 对(n-1)(2n-1)求和
= 对(2n^2-3n+1)求和

马上就得到:

S(n) = n(n+1)(2n+1)/6

不过,这种方法无法推广,LZ的思路更胜一筹,可惜表达有些累赘,不够简洁

其实只需要注意到一个事实:
对n^3对和与对(n+1)^3求和只相差 (n+1)^3 -1

当然, LZ使用(n-1)^3也可以, 都一样!(这就是关键)

接下来就很简单了:

对(n+1)^3求和 = 对(n^3+3n^2+3n+1)求和
= 对n^3求和 + 3*S(n) + 3*(对n求和) + n

一整理就得到结果.

谢谢LZ的分享,又复习了一遍求和的技巧

由：TC

Wed, 05 Aug 2009 04:24:47 +0000

用数学归纳法证明S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6如下:
n=1时，等式成立
如n=m时，S2(m)=m(m+1)(2m+1)/6成立，
则n=m+1时，
S2(m+1)=S2(m)+(m+1)^2
=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6

所以对n=m+1等式也成立

所以对所有n∈N，S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6 成立

由：TC

Wed, 05 Aug 2009 04:14:03 +0000

求出系数后，可以用递推法直接证明.
记得以前中学数学竞赛的时候就常干这样的事

文中叙述的方法也是很简练的

由：abada

Wed, 05 Aug 2009 04:06:53 +0000

如果用猜测法, 那么就要伴随证明.

本文叙述的是用初等方法直接求解.

由：TC

Wed, 05 Aug 2009 02:23:22 +0000

可以想象Sm一定是m+1次多项式(求和相当于对m次函数做积分),然后待定系数求解,递推法证明

由：abada

Tue, 04 Aug 2009 16:44:14 +0000

还没有S2以上公式的时候, 还无法观察它们呢……

由：Nelson

Tue, 04 Aug 2009 15:46:48 +0000

一个凑系数的思路：根据观察，Sm为最高次数为m+1的n非负整数次数多项式；那么对于特定的n，随便试算m+1个Sm，求解一次方程组就可以得到多项式各项的系数。
基于对简单数学问题有简洁结果的信仰，我们可以相信Sm为最高次数为m+1的n正整数次数多项式，而不会出现其他的次数；相信对于特定的n，只需试算m+1个Sm，而不需要结果对所有的n成立，不需要计算所有的n。如果要严格证明这两点，我感觉也不难。