abada

“驴桥定理:计算机给出的证明最简洁?”有4篇评论

1. guoxj 评论道：
   2009年4月4日于6:00 am

   此证明是由Pappus给出的，Pappus是公元四世纪的人。

2. abada 评论道：
   2009年4月4日于6:17 am

   谢谢. 我把标题后面加上问号得了.

3. abada 评论道：
   2009年4月4日于7:05 am

   搜到一篇有关的讲稿 好象是台湾的 讲的不错

   『虚拟的演讲稿』

   利用『驴桥定理』探讨国中教师之数学教学
   台湾师大数学研究所 吴任哲 任教於宜兰县国华国中 并不是所有的东西都能被证明,否则证明的过程将会永无止境.证明必须从某个地方起步,用以起步的这些东西是能得到认可的,但却不是不可证明的.这些就是所有科学的第一普遍的原理,被人们称之为公理,或常识. ~亚里斯多德~
   首先,请先观看现今『国中数学课本』中的几条基本几何学定理:
   三角形各内角之和等於1800.
   过直线外一点,可做唯一一条直线与原直线平行.
   平行线间等距.
   圆的理论中涉及圆周角和圆心角的部份.
   两平行直线间的诸平行线段皆相等.
   泰利斯定理 (Theorem of Thales):由许多平行线与一直线所形成的诸线段和诸平行线与另一直线所形成的诸线段成比例.
   由泰利斯定理所推演的平面三角学(如正弦,余弦…等等).
   这些基本定理在国中几何学中,显然都有举足轻重的角色.只要缺少了其中一部份,那麼,整个国中几何学就摇晃不已.但这些基本定理却都是由欧几里得公理所推演来的,可见欧几里得公理在几何学中是扮演一个多麼重要的角色.如果我们学校的课本中,不再接受欧几里得公理,那麼所剩下的是多麼微不足道.换句话说,以目前我们国中的数学教育来看,我们数学教师皆是遵循欧几里得《几何原本》的结构来教学,所以身为国中数学教师的我们,能够不对欧几里得的《几何原本》多认识一些吗
   就如同亚里斯多德所指出的一样,欧几里得显示出了伟大的洞察力和判断力,他只选择了五条设准,五条公论 (投影片1, 2),却依然推演出了整个几何学系统的结构(虽然经后人修改才算有较完整的结构,但不并损其地位),并且欧几里得所选择的设准和公论可被人立刻接受,但一点也不肤浅的导出了深刻的推论,而这也是《几何原本》最大的优点.
   精确的定义,清楚明白的设准与公论,以及严谨的证明,在几何学的研究中,其必要性是与日俱增的.事实上,这也是我们身为数学教师所自豪的能力之一.但在数学教学过程中,我们是否犯了证明方法上的逻辑推论重大瑕疵而不自知呢 不管如何,且让我们来看看有名的『驴桥定理』(投影片3).
   这个定理是指欧几里得《几何原本》第一册的第五命题:『等腰三角形两底角相等』.据说中世纪大学利用此一证法来作为大学生数学能力的门槛,这个定理被称做『笨蛋的难关』 (pons asinorum) 或『驴桥定理』(bridge of asses),即「驴桥在此,愚者莫过」之意.当然也有一种说法强调:由於欧基里得的图形像一座支架桥 (trestled bridge),只有步代像驴子一样稳健的学生才走得过去.
   请问各位教师,你(你)是采用哪一种解题方法来教学呢 (约1至3分钟后)
   现在我们来调查看看各位老师的解题方法:(统计人数)
   (1)作顶角平分线.
   (2)顶点与底边中点连线.
   (3)顶点向底边作垂线.
   (4)其底角之两外角相等.
   (5)反身对称.
   (6)其它.
   如前面所谈的,就我们国中的数学教育来看,我们数学教师皆是遵循欧几里得《几何原本》的结构来教学.换句话来说,我们应该要有严谨的逻辑推论,来证明命题.现在,先让我们在欧几里得《几何原本》中,看看和上述解题方法相关的十三个命题 (投影片4, 5).
   由以上的十三个命题中,我们知道「作顶角平分线」的方法 (投影片6),被欧几里得安排在命题9,至於它的证明须利用命题8,而命题8更进而依赖命题7,最后,命题7的证明则奠基於命题5.因此,在《几何原本》的脉胳中,「作顶角平分线」的证法,犯了逻辑上的循环谬误 (circular fallacy).
   若采用「顶点与底边中点连线」的方法 (投影片7),则必须利用命题10,而命题10之证明依赖了命题9,因而也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
   若采用「顶点向底边作垂线」的方法 (投影片8),则须利用命题8和命题10,当然也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
   若采用「其底角之两外角相等」的方法,则显然是用到了命题13 (投影片9),至於它的证明则须利用命题11,而命题11更进而依赖命题8 (投影片10),一样逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
   若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换).其实,欧几里得在证明相关定理时,对於图形的移动与叠合方面,也始终表现得十分挣扎.譬如《几何原本》第一册命题4固然利用到了图形的移动与叠合,来证明SAS全等定理,但对於命题26的ASA全等命题,他却不愿意依样画葫芦.不过,如果我们仍是坚持要用「反身对称」的方法来证明命题5,则不妨采用Pappus所建议的方法,将等腰三角形由正反两面来观察,那麼,欧几里得《几何原本》中所提供的证明之复杂,应该可以完全避免 (投影片11).
   接下来,让我们来看看欧几里得在他的《几何原本》中,对於命题5所提供的的证法 (投影片12).
   虽然前面四种方法,按照《几何原本》逻辑顺序的安排来说,的确都犯上了循环谬误,但如果各位教师能将逻辑结构重新安排 (包括新「设准」的加入),或许可以解此一困境.尽管如此,由於『驴桥定理』是被安排在《几何原本》第一册命题5,逻辑结构重新安排后,是否会带来更多的难题呢 另外,如果我们找不到比《几何原本》更好的逻辑结构安排,那麼,我们是否要对自己的教学方法做一次深刻的反思呢 否则当我们面对这种逻辑严密性方面的窘境时,我们又要如何教导学生时自圆其说呢
   最后,非常感谢各位教师的协助,让我们彼此有机会澄清一些逻辑论证的相关问题.其实,『驴桥定理』的证明,只不过是其中一个例子而已,尚有一大堆相关的问题,等待著大家一起去发掘与讨论,期待我们都能做到数学教育的本质–教导学生学习有趣,有用的数学知识.谢谢大家!
   参考文献:
   Bunt, Luca, N. H., Phillip, S. Jones, and Jack D. Beddient (1988). The Historical Roots of Elementary
   Mathematics. New York: Dover Publications, INC.
   洪万生 (2000).〈贴近《几何原本》与HPM的启示:以『驴桥定理』证明为例〉,刊於台湾师
   大数学系『生活数学馆』网页.
   洪万生 (1999).《从李约瑟出发》,九章出版社.
   李文林主编 (2000).《数学珍宝》,九章出版社.
   Kline, Morris (张祖贵译,1995).《西方文化中的数学》,九章出版社.
   吴定远译 (1985).《非欧几里得几何学》,水牛出版社.

4. abada 评论道：
   2009年4月4日于7:34 am

   按更严密的希尔伯特的公理系统之：

   Ⅲ5  设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．

   将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代， 即可立即证明驴桥定理。

发表评论

http://xysblogs.org/abada/archives/4483

您必须先登录才能发表评论。