直观勾股定理
直观勾股定理
abada
欧几里德<几何原本>上的图形已经很直观, 其证明也最符合欧氏体系,所以我推崇沿用。其他书上的一些运用面积、长度度量的代数公式的证明，很可能不能与欧氏公理体系的风格协调。
1)把红三角形旋转一个直角，得到与之全等的绿三角形，同时假定旋转后形成的蓝色三角形是直角三角形：
2)下面左图中黄正方形的面积是红三角形的2倍(因为同底等高)；右图中黄矩形的面积是绿三角形的2倍。
因而，黄正方形与黄矩形的面积是相等的。
3)合起来看就是：
4)对称地用上面的方法，同理可知，下图中蓝正方形与蓝矩形的面积相等。
5)合起来看，这就是勾股定理，或毕达哥拉斯定理了：
所以, 此定理的成立依赖于图形在平面空间中的旋转对称性(不变性)等.
2009年4月6日于6:42 pm
据说勾股定理的证明方法有400多种，我以为：
作一个边长为a+b的正方形，把讨论的直角三角形放在四周边内，中间露出边长为 c 的正方形，再移动其中同侧的两个三角形，到另一侧，就露出两个边长为 a和b的正方形。
这个方法图示起来最直观。
2009年4月6日于7:12 pm
我觉得还是相似三角形那个证明最简单，当初爱因思坦独立发现的应该也是这一种。
2009年4月6日于8:24 pm
<p>依靠边长度量数值+代数运算的方法, 都可能是有问题的.</p>
<p>在欧氏公理体系, 并没有面积的代数定义. 是根据全等三角形的公理, 证明图形之间的贴补关系. <几何原本>的原证明就是典范.</p>
<p>如果依赖长度度量数值和面积数值 的代数运算, 可能有逻辑不足或循环的危险.</p>
<p>因为长度的度量依赖于度量几何. 在度量几何中, “勾股定理”是定义, 不需要证明. 长度度量值符合勾股定理的, 就是欧氏空间, 否则就不是欧氏空间.</p>
2009年4月6日于9:03 pm
我觉得这些代数运算都可以构造出对应的图形贴补的解释，所以这些证明还是可靠的。