abada

直观一个有趣的加速度问题

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如果你从停到停, 用了1个单位时间, 开车走了1个单位距离, 那么, 可以肯定, 其中必定有某一时刻, 你开车的加速度(或减速度)不低于4.

这是个有趣的命题. 其中假设了速度是连续的、开始的时候和结束的时候速度都是0。

这个命题的证明可以非常直观。需要用到的微积分定理也可以做直观的视觉表达，即罗尔定理或拉格朗日中值定理。

罗尔定理是说，如果一条水平线与一条连续且导数有限的曲线有两个交点，那么，在这两个交点之间，曲线上至少有一个点，其切线也是一条水平线。如图：

把坐标轴旋转一下,罗尔定理就变为拉格朗日中值定理:如果一直线与一连续且导数有限的曲线有两个交点, 那么,在这两个交点之间, 曲线上至少有一点, 其切线与那条直线平行.

好了,我们可以用画图的方法, 直观证明本文开头的命题.如图:

如图在时间-速度坐标系中画个等腰三角形(两边红色).这个三角形的面积是1个单位,说明可表示1个单位位移.
　　
　　假设有一个时间-速度曲线,从原点出发,在1个单位时间后速度也为0 ,而且这个曲线与t时间轴所夹的面积也是1个单位, 说明这个曲线代表的物体运动, 在这1个单位时间中, 发生的位移是1个单位. 这个曲线若是连续的, 那么, 它就正好符合本文开头所述的车的运动的情况. 曲线与三角形的每个腰, 都至少有一个交点, 一个是原点(0,0), 另一个是(1,0).

　　
　　现在看上图.那条曲线不可能全在那个三角形的内部. 假如是这样的话, 那么曲线与t轴所夹面积就会小于三角形的面积1,就不符合开始的假设了. 　
　　　
　　所以,曲线要么与三角形重合, 要么至少有1点在三角形之外. 这样, 曲线与三角形的除了原点(0,0)或(1,0)之外, 就至少还有另外1个交点. 这时, 根据拉格朗日中值定理, 曲线上至少有一点,其切线与那三角形的某腰相平行, 即有相同的斜率.
　　
　　而那等腰三角形的腰的斜率的绝对值=2/(1/2)=4.
　　
　　于是可知, 那曲线上至少有一点, 其斜率(的绝对值)是4. 而时间-速度曲线上某点的切线的斜率,恰恰就是那点的瞬时加速度. 于是本文开头的命题得证.
　　
　　　　　　

此文于2009年3月31日星期二10:33 am发表于“未分类”分类下。您可以通过RSS 2.0 feed来跟踪此文的所有评论。您可以留言，或者从您自己的网站trackback。