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直观梯形等的面积算法

2009年3月29日星期日

直观记忆梯形等的面积算法

abada

      爱因斯坦是喜爱并善于用视觉和直觉思维的大科学家。谢天谢地,许多伟大的数学和物理成果,
都可以凭良好的直觉、视觉想象力,直观地把握。从欧几里德的《几何原本》到牛顿的《自然
哲学的数学原理》,甚至到爱因斯坦的相对论,都是如此。
 
当我用直觉和想象直观地“看到”这些人类历史上伟大的成果时,我常常会觉得,语言和文字,
此时是多么的贫乏和无趣,甚至是多余的。
 
是的,是图形,那些伟大的图形,超越了语种,甚至超越了人类的语言,直接了当地,活生生地,
把一些深刻的自然规律,立即呈现在我们眼前。
 
我本人喜爱的科普作品,多是有非常趣味的“图解”版(当然这不是指配上一些意义不大的插画
的的版本)。我也非常喜欢给孩子画这些图形,进行科学启蒙教育。

我们从简单的几何学开始。

比如,现在仍有许多学生如此背公式记忆梯形的面积:

上底加下底乘高除以2。

但死记硬背,不便于理解记忆,时间长了就忘了。

我给孩子们建议的算法,是视觉记忆+推理,如下:

1)梯形是两个三角形。 如图(2个三角形同高但不同底):

 

 

于是, 只要知道三角形的面积算法,就可知道梯形的面积算法.
  
  
  2)三角形是半个平行四边形.如图:

 

于是,只要知道平行四边形的面积算法,就可知道三角形的面积算法,并知道梯形面积算法.
  
  3)平行四边形,与同底同高的矩形面积相同. 如图:

 

 

而矩形面积,按定义就是底乘以高.
  
  
  倒过去说就是:
  
  由于矩形面积为ah, 所以平行四边形的面积也是ah, 于是三角形的面积是ah/2,

     进而梯形面积是两个三角形的面积的和: (ah/2) + (bh/2).