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《资本论》是伪科学著作

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《资本论》就其错误的影响巨大、深远而广泛而言，可以说是最大的伪科学了。

《资本论》的理论基础是建立在客观价值论上的。

由于社会平均必要劳动时间，至少在理论上是可测的、客观的，所以，以社会平均必要劳动时间为“价值”度量的方案，就属于客观价值论的一种。
劳动价值论是各种客观价值论的一种。 《资本论》的其他理论，都是建立在劳动价值论上，例如剩余价值理论。如果劳动价值论是伪科学理论，那么，建立在这个伪科学基础上的《资本论》就是伪科学著作。

1）与任何客观价值论的提议者一样，劳动价值论也无非反映了个人的主观偏好，或者说， 他认为：应该以劳动测量价值的大小。

其他人也可以根据自己的偏好提出自己的价值理论，例如“大脑耗氧量价值论”，认为一个商品的价值，在于生产它所需的平均大脑耗氧量。

2）每个人都可以提出自己的概念和定义。这些概念与实际观察如何对应，能不能联合其他可测概念，断言它们之间的关系，预言新事实，承担预言风险，才是决定其命题是否科学的关键。

《资本论》把之前定义的“劳动价值”概念， 与“市场价格”概念联合起来了。 市场价格的确也是可以观察的客观量。 但它们之间的关系是什么，《资本论》将如何预言呢？

《资本论》说了，价格必然围绕价值做波动。

这个“定律”的风险是很小的，既然说是波动，波动可大可小。如果偏离了，你说将来可以朝相反的方向偏离，总的平均来看，某产品的平均价格，与其平均劳动价值，两数值应成正比，所有的产品都有一个固定的比例系数。

但是，既然检测价格是否围绕价值波动，要看时间过程，而在时间过程中，社会平均必要劳动时间本身也可能变化。如果波动值平均效果不另《资本论》作者满意， 他有种种的开脱方法，例如，说以后的波动会抵消现在的偏离，又如，社会技术进步了，社会必要劳动时间量这个预测前提已经变化了，等等。

所以，这个“价格围绕价值波动”的命题，极大程度上是拒绝承担预言风险的，所以科学意义不大。

3）以上说的还不要紧，最要紧的是，如果价格不围绕价值波动，那么《资本论》的作者居然可以认为：这个价格不能如此定，它不应该如此，只所以如此是因为市场不对。

这样，不但不承担事实判断命题的判断风险，而且还在事实已经违背这个命题的时候，妄图要去改变事实，以符合作者的预言。

走到这一步，作者开头试图装扮的科学理论（事实判断理论），一下子就变为一个应然价值理论了。

如果坚持认为这是科学，那么就是典型的伪科学。

(补:

我说了三条, 前2条只是说它很难证伪, 第3条说的是最要紧的, 就是他彻底拒绝证伪, 当被事实证伪的时候, 它说这个事实和理论的偏差是社会不合理造成的, 是事实的错. 当这包装成科学理论出现的, 就已经属于伪科学了.

“社会必要劳动时间”理论上可以存在. 无论实际是否具有精确可操作测量性. 科学概念是允许如此的. 操作主义是过强的要求.

我们姑且认为社会必要劳动时间, 用直接或某种间接的方法是可测量的. 当然不能用价格的方法去猜度,否则它与价格的关系定律就是逻辑反复、自我证明了.

说价格围绕价值波动, 可上可下, 可大可小, 不但难以定量证伪, 定性也困难. 比如, 如果说: 价格总是高于价值, 这还是具有定性的证伪意义的.

这不要紧, 要紧的是把事实判断和价值判断搅混.

经济学命题, 当作为事实判断的科学的时候, 就不能把价值判断混入. 这样才可能得到客观的科学定律(具有可证伪性但尚未被事实证伪).

当得到科学定律之后, 可以借助之, 从一个价值命题, 推论另一个价值命题, 但单纯依靠科学定理本身不可能推出任何价值命题.

比如, “劳动力价格应当提高”是个价值命题, 与诉求主体有关, 无科学上的对错而言. 但如何能做到呢? 这就有赖于经济学等科学命题到底是如何的. 如果经济学命题本身是错的, 那么, 依照其行动的结果, 与价值愿望就可能背离.

所以, 当建立事实命题的阶段, 就不要混入价值命题, 以期得到客观的定律.

当事实违背马克思的事实判断理论的时候, 他认为这个事实”应当被改变”, 这就渗入了价值判断.

这种研究方法本身就是伪科学的方法.)

驴桥定理证明的误区

abada

欧几里德<几何原本>第I卷命题5,是证明等腰三角形的两底角相等,后人有称驴桥定理.
　　
根据希尔伯特更完善和严密化的欧氏几何公理体系, 这个命题是很容易证明的.
(按希尔伯特的几何公理系统之公理　　
　　Ⅲ5   设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．

将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代， 即可立即证明驴桥定理。)　　
　　
这个命题的证明, 在<几何原本>里是紧接在命题I4,即判定两三角形全等的”边角边定理”之后. 这个命题4或”边角边定理”, 也就是相当于希尔伯特公理Ⅲ5.

 一些中学教材, 既不按照希尔伯特公理体系教,也不从欧几里德<几何原本>的体系教, 而是任意布局逻辑关系去”证明”. 这样的证明在希氏体系或欧氏体系看来, 就极可能有逻辑循环的问题. 如果我们可以不顾学术传统而随意编造公理逻辑体系, 那么自己造一个公理几步证明出”四色定理”不就是合理的了?
　　
从现代观点看,<几何原本>的命题4,作为公理才是可靠的.欧氏的”证明”依赖图形移动, 但在其体系中并没有相关的公理来源保证.我们暂且把<几何原本>命题I4当作一个新的公理看待.
　　
若按欧氏图形运动的方式,而不是希氏逻辑符号公理体系看待三角形全等,那么, 命题I4中三角形的全等,实际可分3种基本情况:
　　
1)平移全等;2)旋转全等;3)轴对称全等(或绕第三维空间旋转全等).
　

如图:
　　
　　若∠A=∠A’=∠A'’=∠A”’, AB=A’B'=A'’B'’=A”’B”’,  AC=A’C'=A'’C'’=A”’C”’,
　　
　　那么三角形ABC, 三角形A’B'C’, 三角形A'’B'’C'’,和三角形A”’B”’C”’相互都全等.
　　

只有边角边判定命题,适用于以上全部三种情况,欧氏空间才能完全确立, 以后的相关命题的证明才可靠.
　　
网上看到一篇相关的演讲稿, 是针对台湾国立中学的教师的, 其看法大部分是中肯的.我引用一下:

“…且让我们来看看有名的『驴桥定理』(投影片3)….
这个定理是指欧几里得《几何原本》第一册的第五命题:『等腰三角形两底角相等』….请问各位教师,你(你)是采用哪一种解题方法来教学呢
　　
现在我们来调查看看各位老师的解题方法:
　　
(1)作顶角平分线.
(2)顶点与底边中点连线.
(3)顶点向底边作垂线.
(4)其底角之两外角相等.
(5)反身对称.
(6)其它.
　　
如前面所谈的,就我们国中的数学教育来看,我们数学教师皆是遵循欧几里得《几何原本》的结构来教学.换句话来说,我们应该要有严谨的逻辑推论,来证明命题.现在,先让我们在欧几里得《几何原本》中,看看和上述解题方法相关的十三个命题 (投影片4, 5).
　　
由以上的十三个命题中,我们知道「作顶角平分线」的方法 (投影片6),被欧几里得安排在命题9,至於它的证明须利用命题8,而命题8更进而依赖命题7,最后,命题7的证明则奠基於命题5.因此,在《几何原本》的脉胳中,「作顶角平分线」的证法,犯了逻辑上的循环谬误 (circular fallacy).
　　
若采用「顶点与底边中点连线」的方法 (投影片7),则必须利用命题10,而命题10之证明依赖了命题9,因而也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
　　
若采用「顶点向底边作垂线」的方法 (投影片8),则须利用命题8和命题10,当然也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.

若采用「其底角之两外角相等」的方法,则显然是用到了命题13 (投影片9),至於它的证明则须利用命题11,而命题11更进而依赖命题8 (投影片10),一样逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
　　
若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”
　　
　　
他说的这些问题, 在大陆的中学教科书中也一样存在. 　

只是他最后说的

“若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”

此话有问题. 他是指: 欧几里德<几何原本>(至少命题I4)中, 三角形的全等没有包括轴对称全等.
　　
如果是那样的话, 那么, 欧氏自己对命题I5即驴桥定理的证明,也是有问题的.因为欧氏的证明,同样必须依赖”轴对称类型的三角形全等”.
　　
我画个彩图可直观看到欧氏的证法步骤(显然, 欧氏自己的证法中, 隐含了承认”边角边”判定法也适用于轴对称型的三角形全等):

带您到四维空间(不是四维时空)旅行一把

abada

我们现实生活就是在四维时空中旅行(3维空间+1维时间).  注意我说的是要带您到四维空间(不是四维时空)旅行一下.
　　
先看下面的棱锥, 这是四维空间中的一个三维物体的照片（图1）:

好, 闭上一会儿眼睛,让我们穿越第四维空间, 再转身看那个棱锥, 给它拍照, 会看到它这样的形像. “下面就是见证奇迹的时刻”（图2）:

呵呵, 我们似乎已经体验了四维空间中的某种崭新的视觉体验.  注意 这在平坦的三维空间中,是不可能发生的事情.
　　
　　在平坦的三维空间中, 无论您如何移动、翻转那个棱锥，只要不使它自身发生变形，绝无可能从图1的形像，变为图2的样子，除非是从镜子里看其中的一个，或其中一个的照片洗反了。局限在三维空间中，它们一定是两个不同的物体。但在四维空间，它们的确可以是同一个物体。我们只是分别从第四维的背面和正面去看它，看到的同一个物体的不同角度的视觉形像。
　　
　　为了更好地理解这一点，我们看三维空间中的一个二维物体：一个平面三角形。下图中的其中一个三角形，如果限定在2维空间（平面）中，无论如何移动、旋转，也不可能变为另一个三角形：

(图3)

是的，除非我们到三维空间中，穿越第三维，转身看一个三角形，才会知道，上面两个三角形，的确可以是同一个二维物体。或者，在3维空间中，通过在第三维方向的旋转，左边的三角形，才能变为右边的三角形，而不使其自身形变。
　　
同样的道理，我们可以通过在第四维空间的旋转，使图一的棱锥，成为图二的形像，而不使它自身发生形变。我们仿佛亲历了一把在第四维空间穿行的视觉体验。

二维、三维空间中的旋转可以通过实物观察体验，但这个“四维”除了假想外，怎么去观察体验呢？

若你从地球出发做某种星际旅行, 转一圈回来后, 心脏跑到了右边, 身体左右完全颠倒了, 你就体验到了…..

假如我们身处的三维空间是Möbius(梅比乌斯/莫比乌斯/枚比乌斯) 空间(弯曲的三维空间), 就可以做到这一点.

我们可以看到三维空间中的Möbius带(二维)

如果图3的其中一个三角形, 在莫比乌斯二维曲面中运动, 也会翻转成为另一个三角形.

同样,如果我们这个三维空间嵌在四维空间中, 且如果我们这个三维空间弯曲成为Möbius空间, 或许就可以体验到这种翻转旅行.

驴桥定理: 计算机给出的证明最简洁?
　　
　　abada　　
　　
　　
　　欧几里德<几何原本>中第5命题, 是说等腰三角形的两底角必相等. 这个命题及其证明紧接在判定两三角形全等的”边角边”定理之后.
　
　　曾经由于很多人学到这里就觉得困难了,所以这个命题一度被称为”驴桥定理”.
　　
　　听说这个命题的最简洁的证明是计算机给出的(我没有考证),人类以前从未发表过(?). 这个简短的证明只有一句话:
　　
　　根据AB=AC, 角A=角A, 以及”边角边”定理,可知三角形BAC全等于三角形CAB, 因此: 角B等于角C.
　　
　　无论如何, 这个证明出奇地简洁!  而且的确是没问题的.
　　
　　

(按更严密的希尔伯特的公理系统之：

Ⅲ5   设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．

将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代， 即可立即证明驴桥定理。)

直观勾股定理
　　
　　abada
　　
　　
　　欧几里德<几何原本>上的图形已经很直观, 其证明也最符合欧氏体系,所以我推崇沿用。其他书上的一些运用面积、长度度量的代数公式的证明，很可能不能与欧氏公理体系的风格协调。
　　

1)把红三角形旋转一个直角，得到与之全等的绿三角形，同时假定旋转后形成的蓝色三角形是直角三角形：

2)下面左图中黄正方形的面积是红三角形的2倍(因为同底等高)；右图中黄矩形的面积是绿三角形的2倍。
　　
　　因而，黄正方形与黄矩形的面积是相等的。

3)合起来看就是：

4)对称地用上面的方法，同理可知，下图中蓝正方形与蓝矩形的面积相等。

5)合起来看，这就是勾股定理，或毕达哥拉斯定理了：

所以, 此定理的成立依赖于图形在平面空间中的旋转对称性(不变性)等.

直观一个有趣的加速度问题

abada

如果你从停到停, 用了1个单位时间, 开车走了1个单位距离, 那么, 可以肯定, 其中必定有某一时刻, 你开车的加速度(或减速度)不低于4.

这是个有趣的命题. 其中假设了速度是连续的、开始的时候和结束的时候速度都是0。

这个命题的证明可以非常直观。需要用到的微积分定理也可以做直观的视觉表达，即罗尔定理或拉格朗日中值定理。

罗尔定理是说，如果一条水平线与一条连续且导数有限的曲线有两个交点，那么，在这两个交点之间，曲线上至少有一个点，其切线也是一条水平线。如图：

把坐标轴旋转一下,罗尔定理就变为拉格朗日中值定理:如果一直线与一连续且导数有限的曲线有两个交点, 那么,在这两个交点之间, 曲线上至少有一点, 其切线与那条直线平行.

好了,我们可以用画图的方法, 直观证明本文开头的命题.如图:

如图在时间-速度坐标系中画个等腰三角形(两边红色).这个三角形的面积是1个单位,说明可表示1个单位位移.
　　
　　假设有一个时间-速度曲线,从原点出发,在1个单位时间后速度也为0 ,而且这个曲线与t时间轴所夹的面积也是1个单位, 说明这个曲线代表的物体运动, 在这1个单位时间中, 发生的位移是1个单位. 这个曲线若是连续的, 那么, 它就正好符合本文开头所述的车的运动的情况. 曲线与三角形的每个腰, 都至少有一个交点, 一个是原点(0,0), 另一个是(1,0).

　　
　　现在看上图.那条曲线不可能全在那个三角形的内部. 假如是这样的话, 那么曲线与t轴所夹面积就会小于三角形的面积1,就不符合开始的假设了. 　
　　　
　　所以,曲线要么与三角形重合, 要么至少有1点在三角形之外. 这样, 曲线与三角形的除了原点(0,0)或(1,0)之外, 就至少还有另外1个交点. 这时, 根据拉格朗日中值定理, 曲线上至少有一点,其切线与那三角形的某腰相平行, 即有相同的斜率.
　　
　　而那等腰三角形的腰的斜率的绝对值=2/(1/2)=4.
　　
　　于是可知, 那曲线上至少有一点, 其斜率(的绝对值)是4. 而时间-速度曲线上某点的切线的斜率,恰恰就是那点的瞬时加速度. 于是本文开头的命题得证.
　　
　　　　　　

直观相对论–用动画方式”看见”相对论时间效应

abada制作动画视频

《直观相对论的时间效应》

试图用动画视频，让人直观地“看到”相对论的时间效应。

<直观相对论2>

–用动画方式”看见”同时性的相对性

用动画看”光速不变”

我们尽量用彩色图形来直观圆锥体、球体等的体积。 

需要几个步骤来解决：
　　

    1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知圆锥体积是同底同高的圆柱体的体积的1/3。
　　

　　2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
　　

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )
　　
　　现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.
　　
　　证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
　　
　　
　　3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。
　　　
　　这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。
　　
　　所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
　　
　　等底等高的三棱锥，体积都相等：
　　

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成证明。

　　
　　下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
　　
　　
　　
　　
　　下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:
　　
　　1) 金字塔锥的体积也是: (1/3)x底面积x高.
　　
　　
　　这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。
　　
　　由此可知，球体的体积 = （1/3）x 球的表面积 x 球半径.

上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。
　　
　　
　　3）球体的体积。
　　
　　先看半球的体积：

　　
　　这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.
　　
　　根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR² - πh².  而右边的图里，被截的圆（绿色）面积是:πr² = π(R²- h²).
　　
　　可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。
　　
　　左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR^3.所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR³.
　　
　 可知整个球体的体积公式是：
　　
　　V=(4/3)πR³.
　　
　　
　　再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：
　　
　　S=4πR².

(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）

直观记忆梯形等的面积算法

abada

      爱因斯坦是喜爱并善于用视觉和直觉思维的大科学家。谢天谢地，许多伟大的数学和物理成果，
都可以凭良好的直觉、视觉想象力，直观地把握。从欧几里德的《几何原本》到牛顿的《自然
哲学的数学原理》，甚至到爱因斯坦的相对论，都是如此。
 
当我用直觉和想象直观地“看到”这些人类历史上伟大的成果时，我常常会觉得，语言和文字，
此时是多么的贫乏和无趣，甚至是多余的。
 
是的，是图形，那些伟大的图形，超越了语种，甚至超越了人类的语言，直接了当地，活生生地，
把一些深刻的自然规律，立即呈现在我们眼前。
 
我本人喜爱的科普作品，多是有非常趣味的“图解”版（当然这不是指配上一些意义不大的插画
的的版本）。我也非常喜欢给孩子画这些图形，进行科学启蒙教育。

我们从简单的几何学开始。

比如，现在仍有许多学生如此背公式记忆梯形的面积：

上底加下底乘高除以2。

但死记硬背，不便于理解记忆，时间长了就忘了。

我给孩子们建议的算法，是视觉记忆+推理，如下：

1）梯形是两个三角形。 如图（2个三角形同高但不同底）：

于是, 只要知道三角形的面积算法,就可知道梯形的面积算法.
　　
　　
　　2)三角形是半个平行四边形.如图:

于是,只要知道平行四边形的面积算法,就可知道三角形的面积算法,并知道梯形面积算法.
　　
　　3)平行四边形,与同底同高的矩形面积相同. 如图:

而矩形面积,按定义就是底乘以高.
　　
　　
　　倒过去说就是:
　　
　　由于矩形面积为ah, 所以平行四边形的面积也是ah, 于是三角形的面积是ah/2,

     进而梯形面积是两个三角形的面积的和: (ah/2) + (bh/2).