2009年4月的存档

从极限不是用趋向或等号来定义的再说芝诺悖论和《几何原本》

2009年4月26日星期日

从极限不是用趋向或等号来定义的再说芝诺悖论和《几何原本》

abada

 我在<芝诺悖论和辨证法>中http://xys3.dxiong.com/xys/ebooks/others/science/misc/bianzhengfa27.txt

自觉已说得很清楚了.  但田野网友不理解, 究其原因, 是他脑子里还在质疑早已废弃的”极限”定义方法.

 田野讨论”芝诺悖论”说

“极限和是通过数学定义从外部强加给无穷序列人
为达到的。这里有两个含义:其一,定义1/2^n →0(n→∞),是指这个过程趋
向0,但永远不等于0。”

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显然上面这个田野给出的定义表达的观念还停留在牛顿时代.  难怪田野仍然觉得芝诺悖论还是个难以理解的”悖论”.

数学极限概念可通过小于号”<”而不是等号”=”定义. 即标准的柯西定义.  田野的定义方法是古老的有问题的方法(难怪与芝诺悖论并行),  现代人早已抛弃.  回到我最初的例子:

0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+…=0.11111111…

按田野的说法, 他可以说这个数”不确定”.  但注意, 它至少小于0.2是可以确定的.

回到兔子追乌龟, 按芝诺的分割法,  兔子可以做到与乌龟的距离, 小于(<)任何给定的正数, 而且做到这一点所需要的总时间,  可以小于(<)一个确定的有限的时间数.

在一个确定的有限时间内, 兔子可以做到与乌龟的距离小于任何一个给定的正数. 

上句前一句话表示并非”永远”, 后一句话表示”追上了”.

 

补充一句, 在欧几里德《几何原本》中, 对极限的处理, 都是用>和<的方式. 比中国古代的极限方法逻辑上要严谨的多.

例如, 欧几里德《几何原本》中,  先证明圆锥的体积”不大于”同底同高的圆柱的体积的1/3, 再证明圆锥的体积”不小于”同底同高的圆柱的体积的1/3.

看来, 用“<”或“>”号来处理有关极限问题, 在欧几里德《几何原本》那里就初见端倪了.

 

再回到芝诺问题:

无穷段时间的和可以是有限的: 无论其值为多少, 无论是否能用确切数字写出. —-但其和可不大于一个确定的有限的数. 这个结论是逻辑上严格的.

所以, 何来”永远”?

水的”味道” 与水的温度的关系

2009年4月25日星期六

水的”味道” 与水的温度的关系

当你觉得某水的味道不好喝的时候, 很可能只是由于水的温度不合适—虽然不是太烫或太冰. 如果是同样的水, 温度非常合适的话, 你可能一口气可以喝很多. 否则, 温度差一点的话, 你就可能喝得少得多.

当然这个结论只是个人经验, 科学家要验证的话, 可以用在客人不知情的情况下, 招待客人饮水的不同的水温来做这个实验(水是同样的水). 如果足够的数据可以显示, 在一定时间内, 水温对客人饮水量有很大影响, 那么就可基本说明问题.

这个结论对肾结石患者可能有帮助. 肾结石患者需要大量饮水排尿, 以助于排石, 或预防肾中的结晶沉淀为结石. 如果有合适的水温, 患者往往可以从”不爱喝水的人”, 转变为”爱喝水的人”.

预言经济危机

2009年4月25日星期六

预言经济危机

abada

我当然不是预言家,而是我相信奥地利学派的分析方法, 将被更多的人逐渐接受. 下面是我2006年的文章, 在”万科经济人俱乐部”等不少论坛贴过.

我强调利率的作用,在经济过热的时候应当加息,提高银行准备金率。 而许多经济学家当时却唱着与我所说的相反的论调。时至今日, 他们终于回到了我所说的观点。

利息是借钱的代价,利率是借单位货币在单位时间的代价。这个代价的真实数据,即自然利率,同样是由借钱的供应和需求关系所决定的。当投资热、借钱多的时候,自然利率会自然上浮,阻止经济过热。但当央行用行政命令规定利率的时候,那么就可能出大问题。

 

 abada (2006-05-19 03:22:14)

http://www.bh2000.net/bbs/all/track.php?cdb=reader&id=2086

金本位、银行储备金率、利率与泡沫经济

abada

银行要发放贷款即向客户借钱的时候,必须自己有那么多钱(即真实信用)才行。但是,因为贷款是以支票的形式,所以,客户就很难知道银行是不是超出了自己的信用而放贷。

银行超出自己的存款信用而放贷,开出多余的贷款支票,等于就是自己印发钞票。如果超过一定的比例,就容易造成通货膨胀,引发金融信用大危机和经济危机。

通货膨胀就是:印发的纸币(包括贷款支票)增长超过了社会实际财富的增长。于是钞票贬值。

怎么保证银行的信用?

在过去这不是问题。那时是那黄金、白银换货的交易。黄金真的假不了,假的真不了,有就是有,无就是无,有多少就是有多少,能借出多少就借出多少,不是想滥造就能滥造的。

但当纸币、银票和期票等开始使用以后,由于信息不对称,银行客户就很难知道商业银行是否在超额发行钞票。

为了防止商业银行滥发钞票、过度放贷,各国普遍采用储备金制度。就是商业银行必须法定地在中央银行储备现钞。而银行发放贷款的数额,不能超出自己储备金一个比例(例如通常是6~7%左右)。

但是,即使发行现钞的央行,也不能保证没有滥发现钞。

只有金本位才相对更可靠。但是黄金的数量,已经不能满足地去对应现代社会的巨大增长的财富。

当真实市场利率被政府央行人为地压低,商业银行超出自己的信用而过量滥发贷款的时候,资本的本性就会驱使自己去寻找过量的投资(投机)渠道,这就是泡沫经济的根本成因。

abada (2006-05-18 15:04:57)

泡沫就是投机造成的,但不是一般的正常投机造成的,正常投机是有益无害的,这个再不需要论证了。所以关键是什么造成了非正常的投机?背后的原因才是重要的。投机没有错,背后的不正常因素才有错,找出那些不正常因素才是问题的根本。

例如,你不能把强奸犯归罪于人类的生殖器,为了世界上不再出现强奸犯,去建议把人生殖器生下来就割除。同样,你不能为了制止泡沫而限制投机。

日本产生泡沫的背后不正常因素,政府人为打压和控制利率,维持低利率是真正的罪魁。

abada (2006-06-06 21:52:32)

担心金融危机的调控方法就是提高利率,其他的根本是 无用功。

abada (2006-06-06 23:59:17)

提高人民币汇率,也必然使外资进入大陆炒房的大减。

提高利率和汇率,不是人为制造扭曲,而是要恢复其自然的市场水平。是因为政府先前人为低估了汇率和利率,才导致泡沫。当然,要实现软着陆,必须逐渐平稳地调整利率和汇率,而不能突然大幅度调整。

abada (2006-06-07 10:04:09)

日本的泡沫也同样是先前的人为的低利率、低汇率造成的。

泡沫就是政府错误先前的金融政策的报应。

用人为控制的低利率造就的虚假繁荣,必然随着早晚向自然的回归,而破灭。

abada (2006-05-18 10:53:05)

日本的泡沫经济,主要原因是日本中央银行的极度扩张的货币政策,政府长期人为地压低利率,使利率没有反映真实的市场信号。贷款资本的成本极低,于是大量闲散资金无处释放。—–所以,实质是政府人为压低利率,导致银行滥发贷款(相当于滥印钞票),造成通货膨胀。

其实要彻底避免通货膨胀、泡沫经济,只有实行利率市场化,或金本位。

利率市场化,就是政府决不打击什么高利贷、低利贷什么的,一切利率由市场借贷双方随行就市自行决定,双方自愿协商,任何利率都可协商,货比三家,形成市场自发的利率浮动,汇率浮动也一样,随时变化,自由定价。

如果担心信任危机、通货膨胀、泡沫经济,只要2招:金本位+自由利率。

金本位防止了政府和银行滥发或变相滥发货币、贷款,自由利率使得利率价格水平能反映真实的市场供求关系信号。

 

——————————–

 

当2006年我这样写的时候, 中国人民大学的金融教授 钟伟 的观点, 与我完全不同(当然他是一位对我很不错的朋友), 他当时的文章<提高住房按揭利率 银行这是高度非理性自暴自弃>
http://home.soufun.com/news/2006-06-13/730756_1.htm

然后,北大经济学教授张维迎又发文《控制通胀不一定提高利率》,说“通货膨胀在正常范围内”,“控制通货膨胀,不一定要靠利率手段”http://www.gsm.pku.edu.cn/article/3/4514.html

今天,张维迎又怎么说呢?

他完全回到了我2006年的观点,最近他说:http://zhangweiyingblog.blog.163.com/

“1929—1933年那场世界性的经济大萧条,有人预测到了吗?

有,有两个人,而且只有两个人,尽管他们没有指出准确时间。这两个人一个叫米塞斯,另一个叫哈耶克,他们都是奥地利经济学派的领军人物,哈耶克曾获得过1974年的诺贝尔经济学奖。

他们之所以能预测到1929年的经济危机,是因为有一整套更为科学的商业周期理论。根据他们的理论,20年代美联储实行持续的扩张性货币政策,利率定得非常低,信贷规模膨胀,最后的结果必然导致大危机、大萧条。为什么会这样?因为利率过低会扭曲资源配置信号,企业家就开始投资一些原本不该投资的项目,特别是一些重工业、房地产等资金密集型产业,它们对利率的反应非常敏感。流动性过剩导致的股票市场泡沫会进一步助长固定资产投资热潮,导致投资过度扩张。越来越大的投资需求导致原材料价格和工资的相应上涨,投资成本上升,最后证明原来的投资是无利可图的。当政府没有办法如之前那样继续实行扩张性政策时,股票和地产泡沫破灭,原来的资金沉淀在不可变现的固定资产 (如厂房和地产)中,资金突然不足,投资项目纷纷下马,大萧条由此发生。在米塞斯和哈耶克他们看来,任何一个经济中,人为造成的繁荣一定会伴随一场大衰退。大繁荣和大衰退是一枚硬币的两面。他们的理论也告诉我们,判断经济是否过热,不能只看价格水平是否上涨,而主要应该看利率水平和信贷扩张。因为从信贷扩张到价格水平的上涨有一个时差,当等到通货膨胀发生时,萧条就已经到来!

  与米塞斯和哈耶克不同,凯恩斯认为,大萧条是由有效需求不足导致的,有效需求不足的原因是居民储蓄太多,而企业对未来太悲观,不愿意投资。

  1929—1933年的大危机造就了凯恩斯经济学。在大危机之后的30年代,奥地利学派和凯恩斯主义都有可能成为经济学的主流,但奥地利学派被边缘化了,凯恩斯主义获得了主流地位,统治了经济世界几十年,一直到1980年代才被人们所怀疑。为什么凯恩斯主义能够成为主流?简单的说就是,凯恩斯主义为政府干预经济提供了一个很好的理论依据:需求不足,市场失灵,解决的办法就是政府介入市场,增加需求,从而使经济从萧条中走出来。而奥地利学派认为,萧条是市场自身调整的必然过程,有助于释放经济中已经存在的问题,政府干预只能使问题更糟。事实上,如果不是胡佛政府的干预(包括扩大公共投资、限制工资下调、贸易保护主义法律等),那次危机不会持续那么长时间。所以,政府特别喜欢凯恩斯主义。当然,很多经济学家也喜欢凯恩斯主义,因为,如果凯恩斯主义是对的,政府就会为经济学家创造很多就业机会。如果说奥地利学派是对的,经济学家在政府就没事干了。因为他们主张不干预,市场会自身调整。经济学家也是利益中人,凯恩斯主义能够大行其道,我想这也是一个非常重要的原因。

  有了这个背景,我们看一下格林斯潘在1966年写的 《黄金与经济自由》一书中对1930年代那次经济危机的解释。他说:当商业活动发生轻度震荡时,美联储印制更多的票据储备,以防任何可能出现的银行储备短缺问题。美联储虽然获得了胜利,但在此过程中,它几乎摧毁了整个世界经济,美联储在经济体制中所创造的过量信用被股票市场吸收,从而刺激了投资行为,并产生了一场荒谬的繁荣。美联储曾试图吸收那些多余的储备,希望最终成功地压制投资所带来的繁荣,但太迟了,投机所带来的不平衡极大地抑制了美联储的紧缩尝试,并最终导致商业信心的丧失。结果,美国经济崩溃了。

  格林斯潘四十多年前对大萧条的上述解释与哈耶克八十年前的解释如出一辙。遗憾的是,几十年之后,格林斯潘的行为可能跟他批评的当年美联储的行为并没有多大区别。当政者与在野者,其行为方式和立场观点会是多么的不同啊”

 

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既然提到了米塞斯,看看我的朋友彭定鼎最近翻译的

<经济危机的起因>

米塞斯 著

彭定鼎 译

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ecee0d20100culn.html

“周期性发生的经济危机的出现是不断的用银行政策降低市场上的“自然”利率的必然结果。只要人们没有学会避免这样的人为刺激经济的举措,危机就永远不会消除,因为人为刺激的繁荣必然导致危机和衰退。”

直观多面体欧拉定理及其成立的条件

2009年4月21日星期二

直观多面体欧拉定理及其成立的条件

abada

 

看官,请您看看你所在的房间,很可能就是一个多面体,而您就置身其中。

房间通常是长方体(属于一种六面体):周围4个面,上下2面。

   你数一数,可知这个6面体,有8个顶点数(上下各4个),12条棱(上下各4条,周围还有4条)。看来在面数、顶点数和棱数三个数据中,棱数最多。

算算看,把两个较小的数(面数和顶点数)加起来, 再和较大数(棱数)比较多少, 会得到什么:

(面数+顶点数)-棱数 = ?

不难算出:(面数+顶点数)-棱数 = 6+8-12 =2

    其实,(面数+顶点数)-棱数 = 2 是某种简单多面体的普遍规律,叫做多面体的欧拉定理。这个定理最早是笛卡儿发现的。证明这个定理,书上常用某种拓扑法–把立体图形转化为平面图形,再进行证明。

    我们现在不用把立体图形转化为平面图形的通常证法,直接用立体图形进行证明:
  
  1)

 

 

2)

 

 

在我上述的立体图形证明的过程中, 可以清楚地看到多面体欧拉定理成立的条件(充分但未必是必要的条件):
  
就是这个简单多面体是个凸多面体. 即能在最简单的四面体的基础上, 在形体的外部, 通过逐步增加1个顶点的方法形成新的多面体, 并通过有限重复这样的步骤可以得到.  (显然, 增加的那个新顶点, 可以在或不在原先的多面体的某个面的延伸平面内, 但不能在原先的多面体的某个面的本身之内, 否则就无法如此形成新的多面体).

 

许多书上说欧拉多面体公式成立的条件是”简单多面体”, 即表面经过连续变形可以变为球面的多面体. 但可以发现这是有问题的. 例如,下列图形也是一个简单多面体,它的顶点数为16,棱数为24,面数为11,而(16+11)-24=3 ,看来多面体欧拉定理在此并不成立, 原因就是它不是能通过四面体,逐步在多面体之外增加1个点而形成新的多面体的方法得到的:

自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法

2009年4月13日星期一

自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法

abada张宏兵

读欧几里德《几何原本》是训练逻辑严谨的最好方法之一。

以前普通人读到第一卷命题5,就难以理解、难以过关, 甚至历史上一度被人称之为”驴桥定理”。其实,至今命题3对不少人仍然是比较难理解的。

命题3就是:(用圆规和无刻度的直尺)在一较长已知线段上截取一线段,使其等于较短的另一已知线段。 如图:

 

通常,人们会费解,这不很简单吗?用圆规截取较短的已知线段为半径,然后在较长的线段上一画不就得了吗?欧几里德为何要如此周折,要用两个命题做铺垫,直到第三个命题,才在前两个命题的基础上作出呢?

原来,这是为了逻辑的严密。如果直接用圆规截取,《原本》的定义、公设、公理系统中,没有命题能直接保证:一个圆规离开圆心后,其半径能保持到与另一个不同圆心的圆的半径相等;而只能保证:同一个圆上的各点到这个圆的圆心的距离相等。或者说, 在<原本>中,  给定圆心则圆规可以画圆(画出的各点与圆心的连线相等), 而”圆规可以离开圆心平移线段” 是多余的假设, 是可以用奥卡姆剃刀去掉的.

 

最少基本预设:

 

1)圆规画的是元;

2)直尺画的是直线。

 

而圆的定义,是线上的点,到一定点的连接线段,都全等(合同)。

 

如图是欧几里德的严谨作法(笔者综合了前3个命题的图样):

 

 (1、连接BC;

2、以B为圆心过C点作圆,再以C为圆心过B点作圆,
  设两圆交于O点。连接OB、OC,则OCB构成等边三角形(命题I-1);

3、延长OB和OC;

4、以B为圆心,过A点作圆,交OB的延长线于A’点;

5、以O为圆心,过A’点作圆,交OC的延长线于A'’点,

     则CA'’=BA(命题I-2);

6、以C为圆心过A'’点作圆,交CD于A”’;

则CA”’=AB, 为所求线段(命题I-3)。

证明:

因为CA=OA'’-OC 

             =OA’-OB 

             =BA’  

             =AB

所以即得。 )

其实,后来的数学家发现,欧几里德的逻辑严密性,仍然是有一点漏洞的。质疑就是:为何说两圆、或圆与直线必有交点?其充要条件是什么?

在《原本》中没有公理可以逻辑地保证这一点,只是通过作图直观地“看到”这一点。要真正的逻辑保证,还需引入”BC=CB”以及“连续性公理”等。而这是后世数学家直到20世纪才最终完成的。

 

 

(我读《几何原本》和《几何基础》, 最大的学习收获是有关逻辑体系的布局方案的。 感觉这比单纯证明一些几何题目更有意思。

推理和下棋一样, 一般应先定好逻辑布局,再考虑逻辑细节;布局往往比细节还重要。

《原本》第一卷的逻辑布局,显示了其脉络主要是为走向这样一个目的地:证明勾股定理。这个目的地,是第一卷的终点站和高潮。

我再读狄拉克的《广义相对论》时,就可类似地,通过其章节题目安排,得知其逻辑布局, 猜测他这样布局的目的, 并评判布局的合理程度。

逻辑目的<–>逻辑布局(逻辑方案)<–>逻辑细节<–逻辑起点站, 是环环相扣, 站站相连的。

往往逻辑目的是要证明或得出一个命题,而这个命题是天才的直觉,或经验得到的。 比如勾股定理。

所以往往是先有逻辑目的地,再有逻辑布局、逻辑细节。而逻辑目的地,往往是天才的直觉先猜想到了的。能给出难题的好的逻辑布局、逻辑方案的,也是天才!

就象好的数学导师, 给出好的逻辑方案, 然后把逻辑细节的证明分配给各学生完成。(正如好的老板凭直觉给出好的“目的地”; 好的老总给出好的工作分布总体方案; 再分配给多个工程师、设计师去完成各细节。)

所以,有人云: “天才靠直觉,有才能的人靠逻辑推理”。(《见〈创造的秘密〉一书))

希尔伯特的主张是,  逻辑要严格程序化,比如, 任何概念的相关推论都要能输入计算机机械在不画图的情况下而得到文字机械程序推演输出–证明,每一个未经文字符号定义的概念,都会使逻辑机械不认、死机, 操作系统的原始概念应减少到最低程度,用操作系统的原始概念来定义其他概念。所有命题要能机械地从公理和定义出发用计算机逻辑机器必然地推出。这为计算机机械证明开辟了道路.

直观楼上或卫星上的时钟变慢

2009年4月9日星期四

 

直观楼上或卫星上的时钟变慢

  
  abada
  

我在<直观相对论–用动画方式”看见”相对论时间效应>   
http://xysblogs.org/abada/archives/4412
  
那只是直观狭义相对论时间效应.  
  

下面我们也可以直观一种广义相对论的时间效应: 在地球上, 相对于1楼而言, 2楼的钟表会走得更快, 卫星上的钟更不用说了.
  
广义相对论建立在等效原理的基础上,它说, 我们在地球上受到向下的引力, 可以等效于我们在太空中乘坐电梯, 电梯持续受到一个向上的拉力. 如果我们乘坐的电梯在太空中一直加速上升. 我们也会落在地板上.这与受到地球的引力是等效的.
  
好, 我们假设1楼和2楼在地球的匀引力场中,受到的引力相同. (当然卫星距离地面太远, 情况更复杂了.)  我们用的暂时只是等效原理和狭义相对论的知识,外加中学数学. 
  
这相当于我们这栋楼在太空中一直匀加速上升着.于是我们假设就是如此.  
这样的话, 在太空中一个没有加速运动的惯性系看来, 1楼和2楼的位置-时间坐标,可形成如下的曲线:

 

如果惯性系的原子钟, 每间隔1秒, 用无线电(即电磁波或光)发射一个定时信号穿过1楼和2楼. 在上图中, 黄色直线就是光线的位置-时间图象.
  
那么, 后一个信号到达2楼要走更远的距离. 相对于1楼, 2楼的接收者, 会测得信号的时间间隔, 比1楼测得的时间间隔相对会越来越长.
  
横的蓝色直线表示的是1楼测得的两信号之间的间隔,横的红色直线表示的是2楼测得的这两信号之间的间隔.

(我们假设楼上升的加速度足够大, 但上升的速度相对于光速还很小, 因此狭义相对论的时间效应可暂时忽略, 单考虑加速度的时间效应)
  
由图中可看出,2楼测出的信号间隔要更长一些,而且随着时间的推移, 1楼和2楼测得的间隔差别会越来越大.
  
所以, 在1楼的人看来, 2楼的原子钟是越走越快的. 根据等效原理, 在地球上也有同样的时间效应.

 

《资本论》是伪科学著作

2009年4月7日星期二

《资本论》是伪科学著作

abada


《资本论》就其错误的影响巨大、深远而广泛而言,可以说是最大的伪科学了。

《资本论》的理论基础是建立在客观价值论上的。

由于社会平均必要劳动时间,至少在理论上是可测的、客观的,所以,以社会平均必要劳动时间为“价值”度量的方案,就属于客观价值论的一种。
劳动价值论是各种客观价值论的一种。 《资本论》的其他理论,都是建立在劳动价值论上,例如剩余价值理论。如果劳动价值论是伪科学理论,那么,建立在这个伪科学基础上的《资本论》就是伪科学著作。

1)与任何客观价值论的提议者一样,劳动价值论也无非反映了个人的主观偏好,或者说, 他认为:应该以劳动测量价值的大小。

其他人也可以根据自己的偏好提出自己的价值理论,例如“大脑耗氧量价值论”,认为一个商品的价值,在于生产它所需的平均大脑耗氧量。

2)每个人都可以提出自己的概念和定义。这些概念与实际观察如何对应,能不能联合其他可测概念,断言它们之间的关系,预言新事实,承担预言风险,才是决定其命题是否科学的关键。

《资本论》把之前定义的“劳动价值”概念, 与“市场价格”概念联合起来了。 市场价格的确也是可以观察的客观量。 但它们之间的关系是什么,《资本论》将如何预言呢?

《资本论》说了,价格必然围绕价值做波动。

这个“定律”的风险是很小的,既然说是波动,波动可大可小。如果偏离了,你说将来可以朝相反的方向偏离,总的平均来看,某产品的平均价格,与其平均劳动价值,两数值应成正比,所有的产品都有一个固定的比例系数。

但是,既然检测价格是否围绕价值波动,要看时间过程,而在时间过程中,社会平均必要劳动时间本身也可能变化。如果波动值平均效果不另《资本论》作者满意, 他有种种的开脱方法,例如,说以后的波动会抵消现在的偏离,又如,社会技术进步了,社会必要劳动时间量这个预测前提已经变化了,等等。

所以,这个“价格围绕价值波动”的命题,极大程度上是拒绝承担预言风险的,所以科学意义不大。


3)以上说的还不要紧,最要紧的是,如果价格不围绕价值波动,那么《资本论》的作者居然可以认为:这个价格不能如此定,它不应该如此,只所以如此是因为市场不对。

这样,不但不承担事实判断命题的判断风险,而且还在事实已经违背这个命题的时候,妄图要去改变事实,以符合作者的预言。

走到这一步,作者开头试图装扮的科学理论(事实判断理论),一下子就变为一个应然价值理论了。

如果坚持认为这是科学,那么就是典型的伪科学。

 

(补:

我说了三条, 前2条只是说它很难证伪, 第3条说的是最要紧的, 就是他彻底拒绝证伪, 当被事实证伪的时候, 它说这个事实和理论的偏差是社会不合理造成的, 是事实的错. 当这包装成科学理论出现的, 就已经属于伪科学了.

“社会必要劳动时间”理论上可以存在. 无论实际是否具有精确可操作测量性. 科学概念是允许如此的. 操作主义是过强的要求.

我们姑且认为社会必要劳动时间, 用直接或某种间接的方法是可测量的. 当然不能用价格的方法去猜度,否则它与价格的关系定律就是逻辑反复、自我证明了.

说价格围绕价值波动, 可上可下, 可大可小, 不但难以定量证伪, 定性也困难. 比如, 如果说: 价格总是高于价值, 这还是具有定性的证伪意义的.

这不要紧, 要紧的是把事实判断和价值判断搅混.

经济学命题, 当作为事实判断的科学的时候, 就不能把价值判断混入. 这样才可能得到客观的科学定律(具有可证伪性但尚未被事实证伪).

当得到科学定律之后, 可以借助之, 从一个价值命题, 推论另一个价值命题, 但单纯依靠科学定理本身不可能推出任何价值命题.

比如, “劳动力价格应当提高”是个价值命题, 与诉求主体有关, 无科学上的对错而言. 但如何能做到呢? 这就有赖于经济学等科学命题到底是如何的. 如果经济学命题本身是错的, 那么, 依照其行动的结果, 与价值愿望就可能背离.

所以, 当建立事实命题的阶段, 就不要混入价值命题, 以期得到客观的定律.

当事实违背马克思的事实判断理论的时候, 他认为这个事实”应当被改变”, 这就渗入了价值判断.

这种研究方法本身就是伪科学的方法.)

驴桥定理证明的误区

2009年4月7日星期二

驴桥定理证明的误区

abada

欧几里德<几何原本>第I卷命题5,是证明等腰三角形的两底角相等,后人有称驴桥定理.
  
根据希尔伯特更完善和严密化的欧氏几何公理体系, 这个命题是很容易证明的.
(按希尔伯特的几何公理系统之公理  
  Ⅲ5   设A、B、C是不在一条直线上的三点,A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点,如果AB≡A′B′,AC≡A′C′,∠BAC≡∠B′A′C′,那么∠ABC≡∠A′B′C′,∠ACB≡∠A′C′B′.

将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代, 即可立即证明驴桥定理。)  
  
这个命题的证明, 在<几何原本>里是紧接在命题I4,即判定两三角形全等的”边角边定理”之后. 这个命题4或”边角边定理”, 也就是相当于希尔伯特公理Ⅲ5.

 一些中学教材, 既不按照希尔伯特公理体系教,也不从欧几里德<几何原本>的体系教, 而是任意布局逻辑关系去”证明”. 这样的证明在希氏体系或欧氏体系看来, 就极可能有逻辑循环的问题. 如果我们可以不顾学术传统而随意编造公理逻辑体系, 那么自己造一个公理几步证明出”四色定理”不就是合理的了?
  
从现代观点看,<几何原本>的命题4,作为公理才是可靠的.欧氏的”证明”依赖图形移动, 但在其体系中并没有相关的公理来源保证.我们暂且把<几何原本>命题I4当作一个新的公理看待.
  
若按欧氏图形运动的方式,而不是希氏逻辑符号公理体系看待三角形全等,那么, 命题I4中三角形的全等,实际可分3种基本情况:
  
1)平移全等;2)旋转全等;3)轴对称全等(或绕第三维空间旋转全等).
 

如图:
  
  若∠A=∠A’=∠A'’=∠A”’, AB=A’B'=A'’B'’=A”’B”’,  AC=A’C'=A'’C'’=A”’C”’,
  
  那么三角形ABC, 三角形A’B'C’, 三角形A'’B'’C'’,和三角形A”’B”’C”’相互都全等.
  

 

 

只有边角边判定命题,适用于以上全部三种情况,欧氏空间才能完全确立, 以后的相关命题的证明才可靠.
  
网上看到一篇相关的演讲稿, 是针对台湾国立中学的教师的, 其看法大部分是中肯的.我引用一下:

“…且让我们来看看有名的『驴桥定理』(投影片3)….
这个定理是指欧几里得《几何原本》第一册的第五命题:『等腰三角形两底角相等』….请问各位教师,你(你)是采用哪一种解题方法来教学呢
  
现在我们来调查看看各位老师的解题方法:
  
(1)作顶角平分线.
(2)顶点与底边中点连线.
(3)顶点向底边作垂线.
(4)其底角之两外角相等.
(5)反身对称.
(6)其它.
  
如前面所谈的,就我们国中的数学教育来看,我们数学教师皆是遵循欧几里得《几何原本》的结构来教学.换句话来说,我们应该要有严谨的逻辑推论,来证明命题.现在,先让我们在欧几里得《几何原本》中,看看和上述解题方法相关的十三个命题 (投影片4, 5).
  
由以上的十三个命题中,我们知道「作顶角平分线」的方法 (投影片6),被欧几里得安排在命题9,至於它的证明须利用命题8,而命题8更进而依赖命题7,最后,命题7的证明则奠基於命题5.因此,在《几何原本》的脉胳中,「作顶角平分线」的证法,犯了逻辑上的循环谬误 (circular fallacy).
  
若采用「顶点与底边中点连线」的方法 (投影片7),则必须利用命题10,而命题10之证明依赖了命题9,因而也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
  
若采用「顶点向底边作垂线」的方法 (投影片8),则须利用命题8和命题10,当然也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.

若采用「其底角之两外角相等」的方法,则显然是用到了命题13 (投影片9),至於它的证明则须利用命题11,而命题11更进而依赖命题8 (投影片10),一样逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
  
若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”
  
  
他说的这些问题, 在大陆的中学教科书中也一样存在.  

只是他最后说的

“若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”

此话有问题. 他是指: 欧几里德<几何原本>(至少命题I4)中, 三角形的全等没有包括轴对称全等.
  
如果是那样的话, 那么, 欧氏自己对命题I5即驴桥定理的证明,也是有问题的.因为欧氏的证明,同样必须依赖”轴对称类型的三角形全等”.
  
我画个彩图可直观看到欧氏的证法步骤(显然, 欧氏自己的证法中, 隐含了承认”边角边”判定法也适用于轴对称型的三角形全等):

  
  

 

带您到四维空间(不是四维时空)旅行一下

2009年4月6日星期一

带您到四维空间(不是四维时空)旅行一把

abada

 

我们现实生活就是在四维时空中旅行(3维空间+1维时间).  注意我说的是要带您到四维空间(不是四维时空)旅行一下.
  
先看下面的棱锥, 这是四维空间中的一个三维物体的照片(图1):

 

好, 闭上一会儿眼睛,让我们穿越第四维空间, 再转身看那个棱锥, 给它拍照, 会看到它这样的形像. “下面就是见证奇迹的时刻”(图2):

呵呵, 我们似乎已经体验了四维空间中的某种崭新的视觉体验.  注意 这在平坦的三维空间中,是不可能发生的事情.
  
  在平坦的三维空间中, 无论您如何移动、翻转那个棱锥,只要不使它自身发生变形,绝无可能从图1的形像,变为图2的样子,除非是从镜子里看其中的一个,或其中一个的照片洗反了。局限在三维空间中,它们一定是两个不同的物体。但在四维空间,它们的确可以是同一个物体。我们只是分别从第四维的背面和正面去看它,看到的同一个物体的不同角度的视觉形像。
  
  为了更好地理解这一点,我们看三维空间中的一个二维物体:一个平面三角形。下图中的其中一个三角形,如果限定在2维空间(平面)中,无论如何移动、旋转,也不可能变为另一个三角形:

(图3)

 

是的,除非我们到三维空间中,穿越第三维,转身看一个三角形,才会知道,上面两个三角形,的确可以是同一个二维物体。或者,在3维空间中,通过在第三维方向的旋转,左边的三角形,才能变为右边的三角形,而不使其自身形变。
  
同样的道理,我们可以通过在第四维空间的旋转,使图一的棱锥,成为图二的形像,而不使它自身发生形变。我们仿佛亲历了一把在第四维空间穿行的视觉体验。

   
  
  

二维、三维空间中的旋转可以通过实物观察体验,但这个“四维”除了假想外,怎么去观察体验呢?

若你从地球出发做某种星际旅行, 转一圈回来后, 心脏跑到了右边, 身体左右完全颠倒了, 你就体验到了…..

假如我们身处的三维空间是Möbius(梅比乌斯/莫比乌斯/枚比乌斯) 空间(弯曲的三维空间), 就可以做到这一点.

我们可以看到三维空间中的Möbius带(二维)

 

 

如果图3的其中一个三角形, 在莫比乌斯二维曲面中运动, 也会翻转成为另一个三角形.

同样,如果我们这个三维空间嵌在四维空间中, 且如果我们这个三维空间弯曲成为Möbius空间, 或许就可以体验到这种翻转旅行.

  

 

驴桥定理:计算机给出的证明最简洁?

2009年4月4日星期六

驴桥定理: 计算机给出的证明最简洁?
  
  abada  
  
  
  欧几里德<几何原本>中第5命题, 是说等腰三角形的两底角必相等. 这个命题及其证明紧接在判定两三角形全等的”边角边”定理之后.
 
  曾经由于很多人学到这里就觉得困难了,所以这个命题一度被称为”驴桥定理”.
  
  听说这个命题的最简洁的证明是计算机给出的(我没有考证),人类以前从未发表过(?). 这个简短的证明只有一句话:
  
  根据AB=AC, 角A=角A, 以及”边角边”定理,可知三角形BAC全等于三角形CAB, 因此: 角B等于角C.
  
  无论如何, 这个证明出奇地简洁!  而且的确是没问题的.
  
  

 

(按更严密的希尔伯特的公理系统之:

Ⅲ5   设A、B、C是不在一条直线上的三点,A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点,如果AB≡A′B′,AC≡A′C′,∠BAC≡∠B′A′C′,那么∠ABC≡∠A′B′C′,∠ACB≡∠A′C′B′.

将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代, 即可立即证明驴桥定理。)