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直观勾股定理

2009年4月1日星期三

直观勾股定理
  
  abada
  
  
  欧几里德<几何原本>上的图形已经很直观, 其证明也最符合欧氏体系,所以我推崇沿用。其他书上的一些运用面积、长度度量的代数公式的证明,很可能不能与欧氏公理体系的风格协调。
  

1)把红三角形旋转一个直角,得到与之全等的绿三角形,同时假定旋转后形成的蓝色三角形是直角三角形:

2)下面左图中黄正方形的面积是红三角形的2倍(因为同底等高);右图中黄矩形的面积是绿三角形的2倍。
  
  因而,黄正方形与黄矩形的面积是相等的。

 

3)合起来看就是:

 

4)对称地用上面的方法,同理可知,下图中蓝正方形与蓝矩形的面积相等。

 

5)合起来看,这就是勾股定理,或毕达哥拉斯定理了:

 

所以, 此定理的成立依赖于图形在平面空间中的旋转对称性(不变性)等.