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(中小学)数学-拔高题01:让无盖盒子的体积最大(转贴新语丝热帖)

2020年8月4日星期二
(方舟子按:有许多读者来稿解答这个问题,都根据“表面积相等的长方体,正
方体的体积最大”的定理,而得出答案为长4米,体积64立方米。(设正方体的边
长是a,没有盖子,只需要5个面,5*a^2=80, a=4)虽然这很可能是出题者的“标
准答案”,但是却是错误的。“表面积相等的长方体,正方体的体积最大”不能
直接应用于没有盖子的情况。该题解法已超出小学数学的范围。下面为浙大其其
提供的初等数学解法和Yush提供的高等数学解法。又,skywalker00认为可以这么
看:用两份同样的材料,做出两个长方体,合在一起面积最大时是正方体,所以
高是宽的一半。)

对书剑子的一道小学五年级作业题的解答

浙大其其

     书剑子《小学作业越来越让人看不懂》一文(XYS20050811)提到其侄子的
小学暑假作业中有一道数学题难以用初等数学求解,我这里给出一法。书剑子的
题目如下:
  
    来源:兰州大学出版社出版的小学生暑假作业,五年级数学
  题目:生活数学:用一块面积为80平方米的铁皮,制作一个无盖的长方体盒
子,请问怎么做盒子的体积最大?

    这道题属于求有约束的极值问题,这类问题的一般性解法是利用高等数学的
拉格朗日乘子法。但是应该注意到:不少特殊的极值问题倒的确可以利用初等数
学(利用绝对不等式)解决。按照中国的教学大纲,以上这道题难度属于初中数
学竞赛水平,也属于高一数学普通习题水平。出现在小学五年级暑假作业中,并
被冠之“生活数学”,说明这道题属于附加题性质,不属于教学大纲要求,相当
于供尖子生啃啃的趣味题,无学有余力的普通学生姑妄读之、姑妄试之,可做可
不做。

     下面是“能用小学五年级能听懂的方法”所得到的解答:
设无盖盒子的长、宽、高分别是x、y、z,那么其表面积(无盖)是
     80=2zy+2zx+xy,                 (1)
     盒子体积为V=xyz。 利用V=xyz,(1)式可以化为
     80=2V/x+2V/y+V/z                (2)
利用绝对不等式(高一数学)
     a+b+c 》3(abc)^(1/3)           (3)
[说明:(3)式中 》表示‘大于、等于号’,^(1/3)表示开三次方]
从(2)式便可以得到不等式
     80=2V/x+2V/y+V/z 》3(4V^3/xyz)^(1/3),
由于V=xyz,那么4V^3/xyz=4V^2,
于是
     80》3(4V^2)^(1/3),
从而V的最大值是
        V=(1/2)(80/3)^(3/2),
当且仅当2V/x=2V/y=V/z时,以上极值才能被取到,所以当无盖盒子体积最大时,
盒子的长、宽、高分别是:x=y=(80/3)^(1/2),     z=(1/2) (80/3)^(1/2).

    以上结果与用高等数学的拉格朗日乘子法得到的结果一致(此时拉格朗日乘
子为(-1/4)(80/3)^(1/2))。
    注:对于脑瓜子灵的学生而言,会发现以上问题中x与y的地位对称,它们谁
也不比谁特殊,那么最后结果必然含x=y,预先利用这一关系式,可以大大简化
以上计算。

    由于绝对不等式(3)是高一数学内容,所以这道题对于初中与小学高年级
学生而言的确是很难的。但是经过简单的培训,他们中的一些学有余力的学生是
可以掌握这些不等式并作运用的。我们以前读初中时参加数学竞赛辅导,就遇到
过这些不等式。

附:

Yush提供的拉格朗日乘数法证明

设面积为S,长、宽、高分别为a、b、c,则目标函数为
f = abc - k(ab+2ac+2bc-S)
其中k为拉格朗日乘数。
求f对a、b、c的偏导并设为0,得到
(1) df/da = bc - k(b+2c) =0
(2) df/db = ac - k(a+2c) =0
(3) df/db = ab - k(2a+2b)=0

稍微一观察便可看出,在a、b、c、k非零的前提下,显然a=b=2c。
如果信不过“观察”,可由(1)、(2)联立得到a = b = 2kc/(k+c),由(2)、(3)联立
得到a = 2c = 2kb/(2k+b)

(XYS20050812)

刚好小保尔在学习这方面内容。