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直观一个有趣的加速度问题

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如果你从停到停, 用了1个单位时间, 开车走了1个单位距离, 那么, 可以肯定, 其中必定有某一时刻, 你开车的加速度(或减速度)不低于4.

这是个有趣的命题. 其中假设了速度是连续的、开始的时候和结束的时候速度都是0。

这个命题的证明可以非常直观。需要用到的微积分定理也可以做直观的视觉表达，即罗尔定理或拉格朗日中值定理。

罗尔定理是说，如果一条水平线与一条连续且导数有限的曲线有两个交点，那么，在这两个交点之间，曲线上至少有一个点，其切线也是一条水平线。如图：

把坐标轴旋转一下,罗尔定理就变为拉格朗日中值定理:如果一直线与一连续且导数有限的曲线有两个交点, 那么,在这两个交点之间, 曲线上至少有一点, 其切线与那条直线平行.

好了,我们可以用画图的方法, 直观证明本文开头的命题.如图:

如图在时间-速度坐标系中画个等腰三角形(两边红色).这个三角形的面积是1个单位,说明可表示1个单位位移.
　　
　　假设有一个时间-速度曲线,从原点出发,在1个单位时间后速度也为0 ,而且这个曲线与t时间轴所夹的面积也是1个单位, 说明这个曲线代表的物体运动, 在这1个单位时间中, 发生的位移是1个单位. 这个曲线若是连续的, 那么, 它就正好符合本文开头所述的车的运动的情况. 曲线与三角形的每个腰, 都至少有一个交点, 一个是原点(0,0), 另一个是(1,0).

　　
　　现在看上图.那条曲线不可能全在那个三角形的内部. 假如是这样的话, 那么曲线与t轴所夹面积就会小于三角形的面积1,就不符合开始的假设了. 　
　　　
　　所以,曲线要么与三角形重合, 要么至少有1点在三角形之外. 这样, 曲线与三角形的除了原点(0,0)或(1,0)之外, 就至少还有另外1个交点. 这时, 根据拉格朗日中值定理, 曲线上至少有一点,其切线与那三角形的某腰相平行, 即有相同的斜率.
　　
　　而那等腰三角形的腰的斜率的绝对值=2/(1/2)=4.
　　
　　于是可知, 那曲线上至少有一点, 其斜率(的绝对值)是4. 而时间-速度曲线上某点的切线的斜率,恰恰就是那点的瞬时加速度. 于是本文开头的命题得证.
　　
　　　　　　

直观相对论–用动画方式”看见”相对论时间效应

abada制作动画视频

《直观相对论的时间效应》

试图用动画视频，让人直观地“看到”相对论的时间效应。

<直观相对论2>

–用动画方式”看见”同时性的相对性

用动画看”光速不变”

我们尽量用彩色图形来直观圆锥体、球体等的体积。 

需要几个步骤来解决：
　　

    1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知圆锥体积是同底同高的圆柱体的体积的1/3。
　　

　　2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
　　

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )
　　
　　现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.
　　
　　证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
　　
　　
　　3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。
　　　
　　这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。
　　
　　所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
　　
　　等底等高的三棱锥，体积都相等：
　　

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成证明。

　　
　　下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
　　
　　
　　
　　
　　下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:
　　
　　1) 金字塔锥的体积也是: (1/3)x底面积x高.
　　
　　
　　这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。
　　
　　由此可知，球体的体积 = （1/3）x 球的表面积 x 球半径.

上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。
　　
　　
　　3）球体的体积。
　　
　　先看半球的体积：

　　
　　这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.
　　
　　根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR² - πh².  而右边的图里，被截的圆（绿色）面积是:πr² = π(R²- h²).
　　
　　可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。
　　
　　左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR^3.所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR³.
　　
　 可知整个球体的体积公式是：
　　
　　V=(4/3)πR³.
　　
　　
　　再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：
　　
　　S=4πR².

(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）

直观记忆梯形等的面积算法

abada

      爱因斯坦是喜爱并善于用视觉和直觉思维的大科学家。谢天谢地，许多伟大的数学和物理成果，
都可以凭良好的直觉、视觉想象力，直观地把握。从欧几里德的《几何原本》到牛顿的《自然
哲学的数学原理》，甚至到爱因斯坦的相对论，都是如此。
 
当我用直觉和想象直观地“看到”这些人类历史上伟大的成果时，我常常会觉得，语言和文字，
此时是多么的贫乏和无趣，甚至是多余的。
 
是的，是图形，那些伟大的图形，超越了语种，甚至超越了人类的语言，直接了当地，活生生地，
把一些深刻的自然规律，立即呈现在我们眼前。
 
我本人喜爱的科普作品，多是有非常趣味的“图解”版（当然这不是指配上一些意义不大的插画
的的版本）。我也非常喜欢给孩子画这些图形，进行科学启蒙教育。

我们从简单的几何学开始。

比如，现在仍有许多学生如此背公式记忆梯形的面积：

上底加下底乘高除以2。

但死记硬背，不便于理解记忆，时间长了就忘了。

我给孩子们建议的算法，是视觉记忆+推理，如下：

1）梯形是两个三角形。 如图（2个三角形同高但不同底）：

于是, 只要知道三角形的面积算法,就可知道梯形的面积算法.
　　
　　
　　2)三角形是半个平行四边形.如图:

于是,只要知道平行四边形的面积算法,就可知道三角形的面积算法,并知道梯形面积算法.
　　
　　3)平行四边形,与同底同高的矩形面积相同. 如图:

而矩形面积,按定义就是底乘以高.
　　
　　
　　倒过去说就是:
　　
　　由于矩形面积为ah, 所以平行四边形的面积也是ah, 于是三角形的面积是ah/2,

     进而梯形面积是两个三角形的面积的和: (ah/2) + (bh/2).