回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

2009年5月15日

回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

abada

 

网友原问题:

请问这个相对论题目:

在惯性参考系中观测,两个事件同地不同时,则在其他参考系中观测,它们(  )

A. 一定同时
B. 可能同时
C. 不可能同地,但可能同时
D. 不可能同地,也不可能同时

我认为是B,可答案是C.我需要你解释一下,谢谢

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abada解答:

假设在天安门的正上方, 即在地球坐标的同一地点, 在不同时刻, 放了两烟花A和B.

又假设有一个长长的飞船飞过北京天安门的上空. 烟花A刚好碰到飞船的头部, 烟花B刚好碰到飞船的尾部.

所以, 对飞船坐标而言, 这是不同地点发生的两个事件.

对于飞船来说, 可不可能是同时发生的呢? 不可能.

反证法: 按照爱因斯坦”同时性”的定义, A碰到飞船头, 与B碰到飞船尾, 两事件若在飞船看是同时发生的, 那么这两个事件的光信号,将各自走过一段距离(在飞船看就是飞船固有长度的一半), 而在飞船的中点相遇. 若如此, 我们再在地球坐标看来, 将是怎样的. 由于光速是恒定的, 这两个事件的光信号, 将各自走过一段距离, 或花一定的时间而相遇, 这样的事情是不可能的: 同一地点上的两个光信号不可能走一段空间距离, 或花时间去会合(相遇).

这就证明了: 答案应当是D, 即在另一个惯性系(有相对速度)看来, A与B必然是不同地, 不同时的.

 

当然, 也可以画一个坐标, 横轴是空间距离, 纵轴是虚数时间, 两事件在同一地点不同时间, 就是横坐标相同而纵坐标不同的两事件点. 狭义相对论变换是把坐标轴做小于90度的旋转. 坐标轴旋转的结果是: 在新的坐标系, 这两点不可能具有同样的横坐标, 也不可能有相同的纵坐标. 结论一样, 就是在新的惯性系中, 它们必然是不同地点而又不同时刻的两个事件.

注意一个题外话: 同一个光线, 从A地发出, 到达B地, “发出”和”达到”这两事件的时空间距永远是0(在不同的惯性系看来, 空间间隔和时间间隔都分别不同, 但四维时空间距保持为0), 这是在不同的惯性系来看.  在广义相对论来看, 光线是0短程线. 这在任何参照系看都如此.

熵减错觉的简明心理分析

2009年5月11日

熵减错觉的简明心理分析

abada

一个众所周知的常识是, 一个在引力场中封闭且绝热的单摆系统, 开始状态是单摆摆动, 但最终单摆会停止—- 单摆摆动的时候, 重力势能与动能不断转化, 但转化的效率不是100%, 而是一部分动能或势能(机械能)转化为无规则的分子热运动, 热能了. 这就是不存在永动机的热力学第二定律, 或熵增定律.

我们看,假如在引力场中封闭且绝热的单摆系统里, 有许多单摆, 初状态是在摆动, 而后逐渐都趋向于停止摆动了,那么, 同样,这个系统过程是熵增的, 机械能转化为热能了, 单摆最终都停止摆动了.

这个系统实际上与我说的浑浊的脏水孤立系统在引力场中变为澄清分层的系统过程, 完全是一样的. 但奇怪的是, 说单摆逐渐停止运动,很多人就可以理解是熵增, 而浑水澄清分层, 很多人就难以理解是熵增过程.

(问题:在地球上, 把一个脏水搅浑后封闭隔热后,设为0初始状态. 这个孤立系统在引力场中自发地逐渐澄清分层, 这个状态设为1状态, 问从0状态到1状态, 系统的熵是增加了, 还是减少了?)

完全类似的熵增过程, 一个是单摆垂下不摆了, 另一个是泥沙沉淀不往上窜了, 为什么熵增熵减的心理感觉会不同? 为什么人会有这个错觉?

我想, 这可能人受生物主观需要的影响. 人对分层澄清的水更有需要(人需要喝澄清的水), 但同时人又对单摆的摆动有需要, 比如观看, 定时等.

但科学是严谨的, 要把这些主观感觉去除, 按同样的物理定义和定理, 去理解类似的过程.

引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念

2009年5月6日

引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念
 
作者:abada
 
常见科普书上说,熵,就是混乱程度的量度,一个系统越对称,就越混乱,熵就越大。这无疑给了众多的不求甚解者以艺术般的幻想,以至于跨学科地误用和错用熵概念的现象泛滥。
 
有个问题,即是很多物理学专业的学生,也常搞错。这个问题就是:一盆脏水,搅浑后封闭(包括隔热)起来作为状态0;在地球上不管它,浑水会自然澄清,分层,这是状态1。问:从状态0到状态1,熵是增加了,还是减少了?
 
很多人会认为熵减少了。甚至一些物理学家也犯这个错误,在科普作品中说引力是能抵抗熵增的,所谓熵增定律带来混乱,而引力可能抵抗熵增而带来秩序。
 
果真如此吗?当然不是。热力学第二定律,在引力下一样表现的很明显,引力丝毫不会导致熵减。只是人们头脑中被科普灌输了错误的熵图像而已。
 
先说一个规范。物理学家在看到自由落体下落的系统的时候,发现落体动能在增加,但这时他绝不会说:由于落体的动能在增大,所以能量不守恒,能量在增大。而是说:自由下落系统的总能量是守恒的,因为势能转化为动能,动能才因此增加。保守力提供了势能,或势场,这是始终要考虑去的能量形式。我们说封闭系统的时候,始终就把势能(势场)封闭进去考虑了。势能场是不能随意中途加入或移除的,除非你额外输入能量—你不能不做功而把地球上的物体送入无引力场的太空中去。
 
同样,严肃的物理学家,针对脏水澄清现象,决不会说:考虑地球,则熵增;如果不考虑地球,则脏水系统是熵减的。说到熵,一开始就要考虑各种能量分布形式的影响,包括势能。
 
熵在历史上有两种定义,一种是克劳修斯的热力学宏观定义,一种是波耳兹曼的微观定义。这两种定义是协调的,没有矛盾。微观定义可以为宏观定义提供几率解释。
 
我们先从宏观热力学上看脏水澄清系统的变化。脏水自然澄清时,比重大的泥沙会下沉,这导致系统的重心下移。系统的总势能是这样计算的:系统重心的高度x 系统的重量:
 
U(势)=Mgh
 
系统重心下移,意味着系统的总势能减少了。既然是封闭系统,意味着总能量是守恒的。那么减少的势能到哪里去了呢? 转化为粒子无规则的热运动,即热能了。这样,根据不可逆过程的热力学熵的定义式:dS>dQ/T,热量增加即dQ>0,所以熵增dS>0,熵增定律成立。
 
很多人感到奇怪之处就在于:脏水澄清的过程,不是使系统更有序了吗?你看,本来是混乱的浑水,现在分层了,有秩序了,难道不是这样吗?
 
这是试图从熵的微观概念出发想问题,但可惜的是,这样的直觉式的熵概念是错误的。
 
微观的熵概念,或波耳兹曼的熵概念,不是单指粒子在三维几何空间中分布的混乱程度;而是指粒子在一定外场势能分布条件下,在粗格化的“相空间”–包括所有粒子的位置维度和动量维度的数学空间–中的分布的混乱程度。简单地说,粒子在相空间中对称(或混乱)与否,不是只看粒子的位置分布,而且还要看粒子的动量、能量分布状态。一个简单的例子是:一些在同一水平面上的空气分子,即使它们在平面空间上的所处位置来看是分布均匀的,但只要它们的动量或能量分布不均匀,那么它们在相空间中的分布就是不均匀的、不对称的或者说是较有序的、较不混乱的。系统的这个“混乱”程度,即波尔兹曼熵,有严格的计算方法,其结果可能完全不同于人们的几何直觉印象。
 
波尔兹曼熵定义是:S=klnΩ
 
其中S是封闭系统在某种状态下的熵,k是常数,而Ω是指这种状态下的微观态数目。
 
我们不要怕麻烦,一定要用图形,找出脏水澄清前后的微观状态数的变化,如果微观状态数变大了,就说明系统的熵增加了,也可说明与热力学宏观定义的理解不矛盾了。
 
为了简便,我们假设简单的粒子情况,这个模型推广到极多粒子情况也完全适用。
 
1)假设脏水系统有3个粒子,一个是泥沙类的重粒子,另外两个是水分子。假设重粒子的质量是水分子的2倍,我们把它称为(2a),重量为2;而把其中一个水分子称为a1,把另一个水分子称为a2.  每个水分子的重量都是1。
 
2)假设脏水混沌后为封闭系统,总能量守恒,总能量为9个单位。就是说,(2a),a1和a2三个粒子的总能量是守恒为9的。再假设三粒子除了自身的动能和重力势能,别无其他能量。
 
3)各粒子的空间高度可以为1m,2m或3m,在这些之间的高度要做四舍五入,有微小的差别可视为全同。这叫把空间或势能粗格化。
 
4)设各粒子的动能可分别为0,1,2,或3…等,在这些之间的动能取值要做四舍五入,有微小的差别可视为全同。把动能粗格化。
 
5)粒子位置空间只考虑1维的情况, 即粒子的位置区分只有上下而没有前后左右。
 
先假设重粒子(2a)在系统的最上层,3m处占据。图中,符号“a1->1”,表示此状态下粒子a1的动能为1。每个系统态图的右边的数字,是每个高度上的能量分布,它等于此层上所有粒子的(动能+势能)的和,每个粒子的势能的计算方法是其重量乘以高度。
 
我们先看重粒子(2a)在系统的最上层的情况下,系统粒子不同能量分布的微观态的几种可能性:
 
 
微观态1:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->0, a2->1—–此层动能=0+1=1,势能=1+1=2,总能量=1+2=3
 
 
微观态2:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->1, a2->0—–此层动能=1+0=1,势能=1+1=2,总能量=1+2=3
 
 
微观态3:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:a1->0————此层动能=0,势能=2, 总能量=2
第1m层:a2->0————此层动能=0,势能=1,总能量=1
 
 
微观态4:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:a2->0————此层动能=0,势能=2, 总能量=2
第1m层:a1->0————此层动能=0,势能=1,总能量=1
 
 
微观态5:
 
第3m层:(2a)->1———-此层动能=1,势能=2×3=6, 总能量=7
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->0, a2->0—–此层动能=0,势能=1+1=2,总能量=2
 
 
可见在重粒子(2a)在系统的最上层的情况下,系统不同能量分布的微观态有且只有上面所示的5种可能。 读者可以检验:任何局限在此空间中的、这三粒子的其他的势能或动能分布,都不会使总能量为9。
 
注意,即使只考虑高度上的1维空间, 一个动能不为0的粒子, 某个确定的动能也可对应两个确定的动量, 这两个动量大小相等、方向相反, 因为动量的方向有朝上和朝下的两种可能。于是,相空间(位置和动量空间)中, 总微观态数目, 比单纯考虑能量分布形式的微观态数目要多。计算方法是: 每1个能量分布态, 若其中3个粒子动能都为0, 则其对应有1种动量分布; 如果3个粒子只有1个动能不为0, 则其对应2种动量分布; 如果动能有2个不为0, 则对应4种动量分布;如果3个粒子动能都不为0, 则对应8种动量分布。
 
参考各种能量分布状态再计算这种情形下相空间(能描述所有粒子的各种不同位置和不同动量的数学空间)的微观态可知:
 
一个重粒子在3m处的条件下, 系统微观态数应是Ω=8,即熵S=kln8. 
 
以上相当于重力场中的浑水状态,状态0。
 
 
再看类似重粒子下沉,脏水澄清的情况下的熵。只要假设重粒子在最下层即可。实际上,还有此1重粒子伴随1个水分子同时在最下层的情况,我们暂且不考虑。 我们将知道,即使只考虑一个重粒子在最下层的情况时, 这种情形的分布可能性,也要比重粒子在最上层的情况,可能性或几率要大的多。 
 
重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态(粒子系统总能量仍恒为9):
 
微观态1:
 
第3m层:无粒子—————-动能0,势能0
第2m层:a1->0, a2->3——-动能=0+3=3,势能2+2=4,此层总能量=3+4=7
第1m层:(2a)->0————–动能=0,势能=2,此层总能量=2
 
 
微观态2:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->3, a2->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态3:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->1, a2->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态4:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->2, a2->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态5:
 
第3m层:a1->0
第2m层:a2->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态6:
 
第3m层:a2->0
第2m层:a1->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态7:
 
第3m层:a1->2
第2m层:a2->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态8:
 
第3m层:a2->2
第2m层:a1->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态9:
 
第3m层:a1->1
第2m层:a2->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态10:
 
第3m层:a2->1
第2m层:a1->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态11:
 
第3m层:a1->0,a2->1
第2m层:无粒子
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态12:
 
第3m层:a1->1,a2->0
第2m层:无粒子
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态13:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->0,a2->2
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态14:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->2,a2->0
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态15:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->1,a2->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态16:
 
第3m层:a1->0
第2m层:a2->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态17:
 
第3m层:a2->0
第2m层:a1->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态18:
 
第3m层:a1->1
第2m层:a2->0
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态19:
 
第3m层:a2->1
第2m层:a1->0
第1m层:(2a)->1
 
上面是重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态的所有可能分布。要保证粒子系统的总能量(动能+势能)为9,粒子能量只有这19种分布可能性。
 
再依照这19种能量分布可能,计算它们在相空间(包括位置和动量)中的所有可能的微观态,可知这时粒子系统微观态数Ω=64,即熵S=kln64. 
 
这个Ω=64远大于重粒子在最上层的可能的微观分布可能数Ω=8. 说明重粒子在引力场中位于下层的分布几率远大于其在上层的系统分布几率.
 
以上相当于重力场中的浑水澄清后的状态,状态1。显然这种情况下的熵,比重粒子在上的浑水状态的熵要大。
 
注意,这个微观态解释的直观重点是: 
 
重粒子如果在上方,就会占据更多的能量(势能太大),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量的分配可能性就减少了,微观态就少; 相对地,重粒子如果在下方,就会占据更少的能量(势能占据小),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量分配可能性就增加了,微观态就多。
 
结论: 重粒子在下,有更大的分布可能性和几率。
 
所以重力场中浑水澄清的过程是朝微观态数目多、几率大的方向发展的,即熵增的过程。
 
从熵的微观解释看,熵大就是这种粒子分布状态的概率大。热力学第二定律,即熵增定律,就是预言系统将从概率小的分布状态,朝着概率大、可能性多的分布状态变化,朝着最可几的状态演化。
 
最后说说为什么很多人以为澄清分层的水更有序,熵更小。 这是一种错觉,或对熵的片面理解,甚至误解导致的。错觉可能来自于无引力场的分布情况:在无引力场,或引力场的水平截面(等势能面)上,熵大常常意味着粒子在位置空间几何排列上的更无序,或更对称。 但这种直觉是不能任意推广的。
 
最后要说的是: 引力不会导致熵减, 这在霍金的黑洞热力学中也成立. 霍金的公式说黑洞的熵与黑洞的视界面积成正比–而黑洞的视界面积总在增加. 于是热力学第二定律–熵增定律毫无例外地适用于黑洞–有巨大引力的地方。

康托的超限数理论简介

2009年5月4日

康托的超限数理论简介

abada

 

 

 

原始人在数不清部落里现有的苹果和人具体数目的时候, 也有办法说清苹果和人哪个更多. 办法就是一人拿且只拿一个苹果, 如果苹果有剩余, 则苹果多, 如果苹果拿完了, 还有人没有拿到苹果, 则说明人比苹果多.

这种比较多少的办法就是”一一对应”, 如果两个集合, 可以存在一种关系使各自的元素产生一一对应, 那么就说明这两个集合的元素一样多.

1)可以证明所有的正偶数, 与所有的正整数一样多.

正偶数: 2,4,6,8,10, … , 2n, …

正整数: 1,2,3,4, 5… , n, ……

每一个人(自然数)n, 都可以且只能拿一个苹果(正偶数)2n, 所以它们是一样多的.

但偶数不是自然数的一部分吗? 部分怎么可能与全体一样多呢? 当然可以!这正是无穷集合的特点, 可以当作无穷集合的定义.

当某集合的一部分(真子集)的元素, 可以与此集合的全体元素一一对应, 则这个集合是无穷集合, 有无穷多的元素; 否则是有限集合, 有有限个元素.

容易证明所有的奇数, 与自然数也一样多.

2)可以证明所有的有理数与自然数是一样多的.

以下的办法, 可以把所有的有理数(可以表示为分数的数) 逐步写出:

1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1, 2/3, 3/2; 1/4, 4/1, 3/4, 4/3; 1/5, 5/1, 2/5, 5/2, 3/5, 5/3, 4/5, 5/4;…….;…….;…..

分母从1,2,3…到n,逐步增大, 写出这个分母的真分数, 再写出其倒数, 如果得到的分数与前面曾出现过的某分数相等,则删除之. 这种办法继续下去可以写出任何你指定的某个分数(有理数).

既然有理数可以这样按某种顺序排列下来, 自然可以按第1项, 第2项, 第3项….等, 与自然数产生一一对应的关系.

因此, 所有的有理数与自然数是一样多的, 而且, 只要有某种办法列表可以列出某数集, 使数集中任何指定的数, 原则上都可以出现在列表中, 那么这个数集必然就与自然数集可以有一一对应的关系.

所以, 自然数的无穷多也叫可列无穷多, 或可数无穷多.

3)可证明所有的小数, 比所有的自然数更多, 多无穷多个.

反证法: 假如小数与自然数一样多, 即可以存在某种一一对应的关系如下:

1<—->0.a1a2a3a4a5…

2<—->0.b1b2b3b4b5…

3<—->0.c1c2c3c4c5c6c7c8…

4<—->0.d1d2d3d4d5d6…..

5<—->0.e1e2e3e4e5e6….

6<—->0.f1f2f3f4f5f6f7…..
…..

则可证明某指定的小数必不存在于这个对应表中, 与一一对应矛盾.

比如指定小数:

0.(非a1)(非b2)(非c3)(非d4)(非e5)(非f6)……..

这叫”对角线删除法”得到的小数, 这个小数必然不能与上表中的自然数1对应, 因为根据上表, 自然数1所对应的小数, 小数点后第一位数是a1, 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非a1;

这个小数必然不能与上表中的自然数2对应, 因为根据上表, 自然数2所对应的小数, 小数点后第一位数是b2 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非b2;

依次类推, 指定的小数就无法出现在列表中. 即还存在无穷多的小数, 没有自然数能与之对应.

所以, 所有的小数比所有的自然数, 多无穷多个.

所有的小数与所有的实数是一样多的, 叫不可列无穷多, 或不可数无穷多, 它比自然数的无穷多, 属于更多的无穷多类.

4) 可证明平面上的点与数轴上的点一样多.

平面上的点, 可以表示为有序实数对. 假设平面上某点横坐标为: ….a6a5a4a3a2a1.b1b2b3b4b5b6…,

纵坐标为: ….c6c5c4c3c2c1.d1d2d3d4d5d6…,

 

则这个点如下这样, 能且只能与唯一实数:

…..c6a6c5a5c4a4c3a3c2a2c1a1.d1b1d2b2d3b3d4b4d5b5d6b6….

产生一一对应的关系. 而实数与数轴上的点又有一一对应的关系. 命题得证.

也因此可知所有的复数与所有的实数是一样多的.

康托把自然数的无穷多叫阿列夫0, 而把实数无穷多叫C, 在这两者之间有没有一种无穷多, 比自然数的无穷多要多, 但比实数的无穷多要少呢? 康托认为没有这样的无穷多–这个命题叫连续统假设. 希尔伯特将之列为23个著名难题. 很多数学家试图证明之, 但结果证明: 在现有集合公理下, 这个命题是不可证明的, 即它和它的否命题都与现有的集合公理系统相容. 也说明了现有的集合公理是不完备的.(这与按康托不完备性定理也不矛盾)

 希尔伯特称康托的超限数理论为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”

从极限不是用趋向或等号来定义的再说芝诺悖论和《几何原本》

2009年4月26日

从极限不是用趋向或等号来定义的再说芝诺悖论和《几何原本》

abada

 我在<芝诺悖论和辨证法>中http://xys3.dxiong.com/xys/ebooks/others/science/misc/bianzhengfa27.txt

自觉已说得很清楚了.  但田野网友不理解, 究其原因, 是他脑子里还在质疑早已废弃的”极限”定义方法.

 田野讨论”芝诺悖论”说

“极限和是通过数学定义从外部强加给无穷序列人
为达到的。这里有两个含义:其一,定义1/2^n →0(n→∞),是指这个过程趋
向0,但永远不等于0。”

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显然上面这个田野给出的定义表达的观念还停留在牛顿时代.  难怪田野仍然觉得芝诺悖论还是个难以理解的”悖论”.

数学极限概念可通过小于号”<”而不是等号”=”定义. 即标准的柯西定义.  田野的定义方法是古老的有问题的方法(难怪与芝诺悖论并行),  现代人早已抛弃.  回到我最初的例子:

0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+…=0.11111111…

按田野的说法, 他可以说这个数”不确定”.  但注意, 它至少小于0.2是可以确定的.

回到兔子追乌龟, 按芝诺的分割法,  兔子可以做到与乌龟的距离, 小于(<)任何给定的正数, 而且做到这一点所需要的总时间,  可以小于(<)一个确定的有限的时间数.

在一个确定的有限时间内, 兔子可以做到与乌龟的距离小于任何一个给定的正数. 

上句前一句话表示并非”永远”, 后一句话表示”追上了”.

 

补充一句, 在欧几里德《几何原本》中, 对极限的处理, 都是用>和<的方式. 比中国古代的极限方法逻辑上要严谨的多.

例如, 欧几里德《几何原本》中,  先证明圆锥的体积”不大于”同底同高的圆柱的体积的1/3, 再证明圆锥的体积”不小于”同底同高的圆柱的体积的1/3.

看来, 用“<”或“>”号来处理有关极限问题, 在欧几里德《几何原本》那里就初见端倪了.

 

再回到芝诺问题:

无穷段时间的和可以是有限的: 无论其值为多少, 无论是否能用确切数字写出. —-但其和可不大于一个确定的有限的数. 这个结论是逻辑上严格的.

所以, 何来”永远”?

水的”味道” 与水的温度的关系

2009年4月25日

水的”味道” 与水的温度的关系

当你觉得某水的味道不好喝的时候, 很可能只是由于水的温度不合适—虽然不是太烫或太冰. 如果是同样的水, 温度非常合适的话, 你可能一口气可以喝很多. 否则, 温度差一点的话, 你就可能喝得少得多.

当然这个结论只是个人经验, 科学家要验证的话, 可以用在客人不知情的情况下, 招待客人饮水的不同的水温来做这个实验(水是同样的水). 如果足够的数据可以显示, 在一定时间内, 水温对客人饮水量有很大影响, 那么就可基本说明问题.

这个结论对肾结石患者可能有帮助. 肾结石患者需要大量饮水排尿, 以助于排石, 或预防肾中的结晶沉淀为结石. 如果有合适的水温, 患者往往可以从”不爱喝水的人”, 转变为”爱喝水的人”.

预言经济危机

2009年4月25日

预言经济危机

abada

我当然不是预言家,而是我相信奥地利学派的分析方法, 将被更多的人逐渐接受. 下面是我2006年的文章, 在”万科经济人俱乐部”等不少论坛贴过.

我强调利率的作用,在经济过热的时候应当加息,提高银行准备金率。 而许多经济学家当时却唱着与我所说的相反的论调。时至今日, 他们终于回到了我所说的观点。

利息是借钱的代价,利率是借单位货币在单位时间的代价。这个代价的真实数据,即自然利率,同样是由借钱的供应和需求关系所决定的。当投资热、借钱多的时候,自然利率会自然上浮,阻止经济过热。但当央行用行政命令规定利率的时候,那么就可能出大问题。

 

 abada (2006-05-19 03:22:14)

http://www.bh2000.net/bbs/all/track.php?cdb=reader&id=2086

金本位、银行储备金率、利率与泡沫经济

abada

银行要发放贷款即向客户借钱的时候,必须自己有那么多钱(即真实信用)才行。但是,因为贷款是以支票的形式,所以,客户就很难知道银行是不是超出了自己的信用而放贷。

银行超出自己的存款信用而放贷,开出多余的贷款支票,等于就是自己印发钞票。如果超过一定的比例,就容易造成通货膨胀,引发金融信用大危机和经济危机。

通货膨胀就是:印发的纸币(包括贷款支票)增长超过了社会实际财富的增长。于是钞票贬值。

怎么保证银行的信用?

在过去这不是问题。那时是那黄金、白银换货的交易。黄金真的假不了,假的真不了,有就是有,无就是无,有多少就是有多少,能借出多少就借出多少,不是想滥造就能滥造的。

但当纸币、银票和期票等开始使用以后,由于信息不对称,银行客户就很难知道商业银行是否在超额发行钞票。

为了防止商业银行滥发钞票、过度放贷,各国普遍采用储备金制度。就是商业银行必须法定地在中央银行储备现钞。而银行发放贷款的数额,不能超出自己储备金一个比例(例如通常是6~7%左右)。

但是,即使发行现钞的央行,也不能保证没有滥发现钞。

只有金本位才相对更可靠。但是黄金的数量,已经不能满足地去对应现代社会的巨大增长的财富。

当真实市场利率被政府央行人为地压低,商业银行超出自己的信用而过量滥发贷款的时候,资本的本性就会驱使自己去寻找过量的投资(投机)渠道,这就是泡沫经济的根本成因。

abada (2006-05-18 15:04:57)

泡沫就是投机造成的,但不是一般的正常投机造成的,正常投机是有益无害的,这个再不需要论证了。所以关键是什么造成了非正常的投机?背后的原因才是重要的。投机没有错,背后的不正常因素才有错,找出那些不正常因素才是问题的根本。

例如,你不能把强奸犯归罪于人类的生殖器,为了世界上不再出现强奸犯,去建议把人生殖器生下来就割除。同样,你不能为了制止泡沫而限制投机。

日本产生泡沫的背后不正常因素,政府人为打压和控制利率,维持低利率是真正的罪魁。

abada (2006-06-06 21:52:32)

担心金融危机的调控方法就是提高利率,其他的根本是 无用功。

abada (2006-06-06 23:59:17)

提高人民币汇率,也必然使外资进入大陆炒房的大减。

提高利率和汇率,不是人为制造扭曲,而是要恢复其自然的市场水平。是因为政府先前人为低估了汇率和利率,才导致泡沫。当然,要实现软着陆,必须逐渐平稳地调整利率和汇率,而不能突然大幅度调整。

abada (2006-06-07 10:04:09)

日本的泡沫也同样是先前的人为的低利率、低汇率造成的。

泡沫就是政府错误先前的金融政策的报应。

用人为控制的低利率造就的虚假繁荣,必然随着早晚向自然的回归,而破灭。

abada (2006-05-18 10:53:05)

日本的泡沫经济,主要原因是日本中央银行的极度扩张的货币政策,政府长期人为地压低利率,使利率没有反映真实的市场信号。贷款资本的成本极低,于是大量闲散资金无处释放。—–所以,实质是政府人为压低利率,导致银行滥发贷款(相当于滥印钞票),造成通货膨胀。

其实要彻底避免通货膨胀、泡沫经济,只有实行利率市场化,或金本位。

利率市场化,就是政府决不打击什么高利贷、低利贷什么的,一切利率由市场借贷双方随行就市自行决定,双方自愿协商,任何利率都可协商,货比三家,形成市场自发的利率浮动,汇率浮动也一样,随时变化,自由定价。

如果担心信任危机、通货膨胀、泡沫经济,只要2招:金本位+自由利率。

金本位防止了政府和银行滥发或变相滥发货币、贷款,自由利率使得利率价格水平能反映真实的市场供求关系信号。

 

——————————–

 

当2006年我这样写的时候, 中国人民大学的金融教授 钟伟 的观点, 与我完全不同(当然他是一位对我很不错的朋友), 他当时的文章<提高住房按揭利率 银行这是高度非理性自暴自弃>
http://home.soufun.com/news/2006-06-13/730756_1.htm

然后,北大经济学教授张维迎又发文《控制通胀不一定提高利率》,说“通货膨胀在正常范围内”,“控制通货膨胀,不一定要靠利率手段”http://www.gsm.pku.edu.cn/article/3/4514.html

今天,张维迎又怎么说呢?

他完全回到了我2006年的观点,最近他说:http://zhangweiyingblog.blog.163.com/

“1929—1933年那场世界性的经济大萧条,有人预测到了吗?

有,有两个人,而且只有两个人,尽管他们没有指出准确时间。这两个人一个叫米塞斯,另一个叫哈耶克,他们都是奥地利经济学派的领军人物,哈耶克曾获得过1974年的诺贝尔经济学奖。

他们之所以能预测到1929年的经济危机,是因为有一整套更为科学的商业周期理论。根据他们的理论,20年代美联储实行持续的扩张性货币政策,利率定得非常低,信贷规模膨胀,最后的结果必然导致大危机、大萧条。为什么会这样?因为利率过低会扭曲资源配置信号,企业家就开始投资一些原本不该投资的项目,特别是一些重工业、房地产等资金密集型产业,它们对利率的反应非常敏感。流动性过剩导致的股票市场泡沫会进一步助长固定资产投资热潮,导致投资过度扩张。越来越大的投资需求导致原材料价格和工资的相应上涨,投资成本上升,最后证明原来的投资是无利可图的。当政府没有办法如之前那样继续实行扩张性政策时,股票和地产泡沫破灭,原来的资金沉淀在不可变现的固定资产 (如厂房和地产)中,资金突然不足,投资项目纷纷下马,大萧条由此发生。在米塞斯和哈耶克他们看来,任何一个经济中,人为造成的繁荣一定会伴随一场大衰退。大繁荣和大衰退是一枚硬币的两面。他们的理论也告诉我们,判断经济是否过热,不能只看价格水平是否上涨,而主要应该看利率水平和信贷扩张。因为从信贷扩张到价格水平的上涨有一个时差,当等到通货膨胀发生时,萧条就已经到来!

  与米塞斯和哈耶克不同,凯恩斯认为,大萧条是由有效需求不足导致的,有效需求不足的原因是居民储蓄太多,而企业对未来太悲观,不愿意投资。

  1929—1933年的大危机造就了凯恩斯经济学。在大危机之后的30年代,奥地利学派和凯恩斯主义都有可能成为经济学的主流,但奥地利学派被边缘化了,凯恩斯主义获得了主流地位,统治了经济世界几十年,一直到1980年代才被人们所怀疑。为什么凯恩斯主义能够成为主流?简单的说就是,凯恩斯主义为政府干预经济提供了一个很好的理论依据:需求不足,市场失灵,解决的办法就是政府介入市场,增加需求,从而使经济从萧条中走出来。而奥地利学派认为,萧条是市场自身调整的必然过程,有助于释放经济中已经存在的问题,政府干预只能使问题更糟。事实上,如果不是胡佛政府的干预(包括扩大公共投资、限制工资下调、贸易保护主义法律等),那次危机不会持续那么长时间。所以,政府特别喜欢凯恩斯主义。当然,很多经济学家也喜欢凯恩斯主义,因为,如果凯恩斯主义是对的,政府就会为经济学家创造很多就业机会。如果说奥地利学派是对的,经济学家在政府就没事干了。因为他们主张不干预,市场会自身调整。经济学家也是利益中人,凯恩斯主义能够大行其道,我想这也是一个非常重要的原因。

  有了这个背景,我们看一下格林斯潘在1966年写的 《黄金与经济自由》一书中对1930年代那次经济危机的解释。他说:当商业活动发生轻度震荡时,美联储印制更多的票据储备,以防任何可能出现的银行储备短缺问题。美联储虽然获得了胜利,但在此过程中,它几乎摧毁了整个世界经济,美联储在经济体制中所创造的过量信用被股票市场吸收,从而刺激了投资行为,并产生了一场荒谬的繁荣。美联储曾试图吸收那些多余的储备,希望最终成功地压制投资所带来的繁荣,但太迟了,投机所带来的不平衡极大地抑制了美联储的紧缩尝试,并最终导致商业信心的丧失。结果,美国经济崩溃了。

  格林斯潘四十多年前对大萧条的上述解释与哈耶克八十年前的解释如出一辙。遗憾的是,几十年之后,格林斯潘的行为可能跟他批评的当年美联储的行为并没有多大区别。当政者与在野者,其行为方式和立场观点会是多么的不同啊”

 

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既然提到了米塞斯,看看我的朋友彭定鼎最近翻译的

<经济危机的起因>

米塞斯 著

彭定鼎 译

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ecee0d20100culn.html

“周期性发生的经济危机的出现是不断的用银行政策降低市场上的“自然”利率的必然结果。只要人们没有学会避免这样的人为刺激经济的举措,危机就永远不会消除,因为人为刺激的繁荣必然导致危机和衰退。”

直观多面体欧拉定理及其成立的条件

2009年4月21日

直观多面体欧拉定理及其成立的条件

abada

 

看官,请您看看你所在的房间,很可能就是一个多面体,而您就置身其中。

房间通常是长方体(属于一种六面体):周围4个面,上下2面。

   你数一数,可知这个6面体,有8个顶点数(上下各4个),12条棱(上下各4条,周围还有4条)。看来在面数、顶点数和棱数三个数据中,棱数最多。

算算看,把两个较小的数(面数和顶点数)加起来, 再和较大数(棱数)比较多少, 会得到什么:

(面数+顶点数)-棱数 = ?

不难算出:(面数+顶点数)-棱数 = 6+8-12 =2

    其实,(面数+顶点数)-棱数 = 2 是某种简单多面体的普遍规律,叫做多面体的欧拉定理。这个定理最早是笛卡儿发现的。证明这个定理,书上常用某种拓扑法–把立体图形转化为平面图形,再进行证明。

    我们现在不用把立体图形转化为平面图形的通常证法,直接用立体图形进行证明:
  
  1)

 

 

2)

 

 

在我上述的立体图形证明的过程中, 可以清楚地看到多面体欧拉定理成立的条件(充分但未必是必要的条件):
  
就是这个简单多面体是个凸多面体. 即能在最简单的四面体的基础上, 在形体的外部, 通过逐步增加1个顶点的方法形成新的多面体, 并通过有限重复这样的步骤可以得到.  (显然, 增加的那个新顶点, 可以在或不在原先的多面体的某个面的延伸平面内, 但不能在原先的多面体的某个面的本身之内, 否则就无法如此形成新的多面体).

 

许多书上说欧拉多面体公式成立的条件是”简单多面体”, 即表面经过连续变形可以变为球面的多面体. 但可以发现这是有问题的. 例如,下列图形也是一个简单多面体,它的顶点数为16,棱数为24,面数为11,而(16+11)-24=3 ,看来多面体欧拉定理在此并不成立, 原因就是它不是能通过四面体,逐步在多面体之外增加1个点而形成新的多面体的方法得到的:

自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法

2009年4月13日

自古以来训练逻辑严谨性的一个最好方法

abada张宏兵

读欧几里德《几何原本》是训练逻辑严谨的最好方法之一。

以前普通人读到第一卷命题5,就难以理解、难以过关, 甚至历史上一度被人称之为”驴桥定理”。其实,至今命题3对不少人仍然是比较难理解的。

命题3就是:(用圆规和无刻度的直尺)在一较长已知线段上截取一线段,使其等于较短的另一已知线段。 如图:

 

通常,人们会费解,这不很简单吗?用圆规截取较短的已知线段为半径,然后在较长的线段上一画不就得了吗?欧几里德为何要如此周折,要用两个命题做铺垫,直到第三个命题,才在前两个命题的基础上作出呢?

原来,这是为了逻辑的严密。如果直接用圆规截取,《原本》的定义、公设、公理系统中,没有命题能直接保证:一个圆规离开圆心后,其半径能保持到与另一个不同圆心的圆的半径相等;而只能保证:同一个圆上的各点到这个圆的圆心的距离相等。或者说, 在<原本>中,  给定圆心则圆规可以画圆(画出的各点与圆心的连线相等), 而”圆规可以离开圆心平移线段” 是多余的假设, 是可以用奥卡姆剃刀去掉的.

 

最少基本预设:

 

1)圆规画的是元;

2)直尺画的是直线。

 

而圆的定义,是线上的点,到一定点的连接线段,都全等(合同)。

 

如图是欧几里德的严谨作法(笔者综合了前3个命题的图样):

 

 (1、连接BC;

2、以B为圆心过C点作圆,再以C为圆心过B点作圆,
  设两圆交于O点。连接OB、OC,则OCB构成等边三角形(命题I-1);

3、延长OB和OC;

4、以B为圆心,过A点作圆,交OB的延长线于A’点;

5、以O为圆心,过A’点作圆,交OC的延长线于A'’点,

     则CA'’=BA(命题I-2);

6、以C为圆心过A'’点作圆,交CD于A”’;

则CA”’=AB, 为所求线段(命题I-3)。

证明:

因为CA=OA'’-OC 

             =OA’-OB 

             =BA’  

             =AB

所以即得。 )

其实,后来的数学家发现,欧几里德的逻辑严密性,仍然是有一点漏洞的。质疑就是:为何说两圆、或圆与直线必有交点?其充要条件是什么?

在《原本》中没有公理可以逻辑地保证这一点,只是通过作图直观地“看到”这一点。要真正的逻辑保证,还需引入”BC=CB”以及“连续性公理”等。而这是后世数学家直到20世纪才最终完成的。

 

 

(我读《几何原本》和《几何基础》, 最大的学习收获是有关逻辑体系的布局方案的。 感觉这比单纯证明一些几何题目更有意思。

推理和下棋一样, 一般应先定好逻辑布局,再考虑逻辑细节;布局往往比细节还重要。

《原本》第一卷的逻辑布局,显示了其脉络主要是为走向这样一个目的地:证明勾股定理。这个目的地,是第一卷的终点站和高潮。

我再读狄拉克的《广义相对论》时,就可类似地,通过其章节题目安排,得知其逻辑布局, 猜测他这样布局的目的, 并评判布局的合理程度。

逻辑目的<–>逻辑布局(逻辑方案)<–>逻辑细节<–逻辑起点站, 是环环相扣, 站站相连的。

往往逻辑目的是要证明或得出一个命题,而这个命题是天才的直觉,或经验得到的。 比如勾股定理。

所以往往是先有逻辑目的地,再有逻辑布局、逻辑细节。而逻辑目的地,往往是天才的直觉先猜想到了的。能给出难题的好的逻辑布局、逻辑方案的,也是天才!

就象好的数学导师, 给出好的逻辑方案, 然后把逻辑细节的证明分配给各学生完成。(正如好的老板凭直觉给出好的“目的地”; 好的老总给出好的工作分布总体方案; 再分配给多个工程师、设计师去完成各细节。)

所以,有人云: “天才靠直觉,有才能的人靠逻辑推理”。(《见〈创造的秘密〉一书))

希尔伯特的主张是,  逻辑要严格程序化,比如, 任何概念的相关推论都要能输入计算机机械在不画图的情况下而得到文字机械程序推演输出–证明,每一个未经文字符号定义的概念,都会使逻辑机械不认、死机, 操作系统的原始概念应减少到最低程度,用操作系统的原始概念来定义其他概念。所有命题要能机械地从公理和定义出发用计算机逻辑机器必然地推出。这为计算机机械证明开辟了道路.

直观楼上或卫星上的时钟变慢

2009年4月9日

 

直观楼上或卫星上的时钟变慢

  
  abada
  

我在<直观相对论–用动画方式”看见”相对论时间效应>   
http://xysblogs.org/abada/archives/4412
  
那只是直观狭义相对论时间效应.  
  

下面我们也可以直观一种广义相对论的时间效应: 在地球上, 相对于1楼而言, 2楼的钟表会走得更快, 卫星上的钟更不用说了.
  
广义相对论建立在等效原理的基础上,它说, 我们在地球上受到向下的引力, 可以等效于我们在太空中乘坐电梯, 电梯持续受到一个向上的拉力. 如果我们乘坐的电梯在太空中一直加速上升. 我们也会落在地板上.这与受到地球的引力是等效的.
  
好, 我们假设1楼和2楼在地球的匀引力场中,受到的引力相同. (当然卫星距离地面太远, 情况更复杂了.)  我们用的暂时只是等效原理和狭义相对论的知识,外加中学数学. 
  
这相当于我们这栋楼在太空中一直匀加速上升着.于是我们假设就是如此.  
这样的话, 在太空中一个没有加速运动的惯性系看来, 1楼和2楼的位置-时间坐标,可形成如下的曲线:

 

如果惯性系的原子钟, 每间隔1秒, 用无线电(即电磁波或光)发射一个定时信号穿过1楼和2楼. 在上图中, 黄色直线就是光线的位置-时间图象.
  
那么, 后一个信号到达2楼要走更远的距离. 相对于1楼, 2楼的接收者, 会测得信号的时间间隔, 比1楼测得的时间间隔相对会越来越长.
  
横的蓝色直线表示的是1楼测得的两信号之间的间隔,横的红色直线表示的是2楼测得的这两信号之间的间隔.

(我们假设楼上升的加速度足够大, 但上升的速度相对于光速还很小, 因此狭义相对论的时间效应可暂时忽略, 单考虑加速度的时间效应)
  
由图中可看出,2楼测出的信号间隔要更长一些,而且随着时间的推移, 1楼和2楼测得的间隔差别会越来越大.
  
所以, 在1楼的人看来, 2楼的原子钟是越走越快的. 根据等效原理, 在地球上也有同样的时间效应.