怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方？
2009年8月4日星期二怎样计算“1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方”？
abada
为了能教、教好自己的孩子，我不得不复习一点儿中学数学。 我时常感觉到：有不少初等数学题也是很有意思、很有乐趣、很好玩的！
一般给孩子讲到数学天才高斯的故事的时候，都要讲到高斯上小学的时候，就以很快的速度算出了他数学老师布置的问题：
1+2+3+4+5+…+100=?
小高斯的方法是把上式子变为：（1+100）+（2+99）+（3+98）+…，其中每项都等于101，而一共有100/2项。所以上式等于101×100/2=101×50=5050.
这么快得出结果，使他的老师很惊讶，因为其他同学还在1+2+3+4+..一项一项地算着呢！据说这个故事被晚年的高斯津津乐道。
上面的数学问题和答案，可以总结为：1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2
我突然想到这个问题：
12+22+32+42+…+n2 =?
似乎我中学的时候做过，但已经全忘了用中学方法是怎样做的，只能从头再来。做了半天，试了各种办法，最后终于做出结果了，但中间遇到的挫折，很能说明思维的误区。而最后的解法，又是怎么被偶然地在误区中突然发现的，写个笔记回忆起来也许可以说是意味深长。解题过程似乎说明了，解决问题的时候不要怕失败，在种种的错误、挫折的黑暗的道路上，可能会偶然地、歪打正着发现正确方法的曙光。
误区1：一个自然的办法就是想能否用小高斯的那个方法去计算。试了，不行。相应的头、尾项相加，结果没有那么显明的规律。这是习惯定势思维的误区，把无法推广的方法，硬要推广。（但看官下面会发现，如果方法是可推广的，那么，思维定势，“推广”方法，却恰恰又是很有用的。所以，问题不在于思维定势，而在于某方法在某方面是否通用、有普适性，在某方面、某种程度上是否具备可推广性。）
误区2：我想起了求等比数列前n项和的方法。a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1 = ?
设 S=a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1
则 qS=aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn
上两式相减，得：（1-q)S=a-aqn
于是：S=a(1-qn)/(1-q)
想到这里，我就设了：S2=12+22+32+42+…+n2
并想到随时准备利用这个结果：S1=1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2
还容易想到的方法就是：(S1)2与S2对照：
(S1)2 = (1+2+3+4+…+n)2
= 12+22+32+42+…+n2 +[1（1+2+3+4+…+n）-12]+[2（1+2+3+4+…+n）-22]+[3（1+2+3+4+…+n）-32]+[4（1+2+3+4+…+n）-42]+…+[n（1+2+3+4+…+n）-n2]
结果得到： (S1)2 = S2 + S1xS1 - S2 最后只能是：0=0，什么也得不到。
我反复又试了几种类似的方法，结果还是同样得不到任何结果。我继续试：
S2=12+22+32+42+…+n2
= (2-1)2 + (3-1)2 + (4-1)2 + (5-1)2+…+[(n+1)-1]2
= [S2 -12 + (n+1)2] + n*12 - 2*[2+3+4+5+…+(n+1)]
=[S2-1+(n+1)2]+ n - 2*(S1+n)
=S2+n2+n-2S1
上面的方程，最终结果还是把想得到结果的S2给消去了。 真是郁闷啊！但是，却意外地得到了一个结果：
S1= (n2+n)/2 = n(n+1)/2
这个结果并不是想要的，因为早已经用小高斯的方法，可以很简单地得到这个结果。但我却记住了，这是另外一种得到S1的公式的方法。这也许是一种意外的收获？
事实证明，远远不止如此。 当我在继续试了其他方法还是得到0=0之后，我突然来了灵感：
上面利用S2得到S1的方法，也许是比小高斯的方法更通用的方法，用这个方法，可以试试利用S3而得到S2=? 也许S3是个类似的脚手架，搭上后又被拆掉了，但谁能说脚手架没有用呢？
结果证明的确如此，天才少年高斯的方法固然简单巧妙，但他的方法不能通用、推广到求S2. 而我在无意中试出来的那种方法，却可以被推广而得到S2的结果，具有解决这类问题时的某种方法意义上的通用性。
整理这个得到S1的新方法，它无非是利用了公式 （n-1)2 = n2 -2n + 1
我们现在推广一下， 利用公式 （n-1)3 = n3-3n2+3n-1
设 S3 = 13+23+33+43+…+n3
及 S2 = 12+22+32+42+…+n2
及 S1 = 1 +2 +3 +4+…+n
知：
S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + … + (n-1)3 = S3 -n3
果然，S3被消去了，但我们可以得到：
3S2 = 3S1+n3-n
把 S1= n(n+1)/2 带入上式， 可得：
S2 = n(n+1)(2n+1)/6
即：
12+22+32+42+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
可以设想，用同样的方法，可以利用S4而得到S3即13+23+33+43+…+n3的公式，依次类推。