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人在地球表面山区行走,走出一个测地线的操作性步骤

2009年9月11日星期五

人在地球表面山区行走,走出一个测地线的操作性步骤

abada

1)你必有一个起始点M0。注意你站的地点,有一个唯一的切面S0与你脚下的地表曲面相切。–假设曲面变化是平滑的。

你的站点有一个唯一的垂线垂直于这个切面,叫做法线N0。 每个站点的法线是唯一的。

如果你的起始点在平原上,那么N0指向地球中心。

2)你必须设定一个初始的迈步方向。设定用一个指向你前方的长矛代表你要走的方向A0。

迈步前,长矛必须是你所站在的曲面的一个切线,这个切线必定是在你所站的地点处的地表曲面的切面上。

3)你要迈第一步。第一步迈向何方,你的脚落在何处呢?

长矛A0与法线N0决定了一个法平面P0,这个平面与地表曲面有个交线,你的第一步迈出去,脚要落在这个交线的与你起始点M0邻近的一点M1上。

或者干脆直接地:你的长矛的矛头,按与法线N0平行的方向,向地表作个射线(法投影), 射线与地表交于M1点。

你迈出的第一步,脚要落在M1上。

4)你在M1上站稳,先不要急着迈第二步。 你必须先确定迈第二步的方向。

a)你先保持长矛的方向,在三维空间中与你在前一点M0(起始点)时长矛的方向A0平行,方向不变,还是A0的矢量。

但你不能按照A0迈第二步。 你必须调整长矛的方向,即调整你前进的方向。

问题是:如何调整呢?

你要知道,你的新站点M1处,也有一个唯一的新切面S1与地表相切,同时也有一个唯一的新法线N1。

新法线N1,可能并不在旧法面P0上,而是可能会发生扭转,偏离旧法面P0。

比如,M0是在平原,而M1却在一个山坡上,你的长矛方向暂时还未调整时,山坡朝你的右上方倾斜,山顶在M1处的右上方。那么M1处的切面S1就是往右上倾斜的山坡表面的切面。

b)你把还未调整A0方向的长矛矛头,顺着新的法线方向,向新的切面S1投影一个射线,与切面S1有一个交点A’1.

现在请你调整矛头,把矛指向M1A’1方向。

于是, 你的长矛重新成为新站点M1处的地表曲面的新切线了。即:方向被调整后的长矛,就是M1处的切线A1矢量。

5)一切就又回到了在M0点时的操作步骤。你只要把上面表示几何概念的字母的角标0换成1,1换成2,重复上面的步骤,你就可以迈向一个新站点M2.

如此重复,你就走出了一个测地线。

 
 
 
 
 
附:

测地线的方程:

设长矛Ai从旧站点到新站点,按上述步骤调整矛头, 矛头被调整的改变量为矢量: dAi

在一级小量上,dAi与你长矛的长度Ai成正比,还与你迈步的大小dxi成正比,记为:

dAi = -PiAidxi.

上式按习惯引入了一个符号。其中Pi是比例系数,可以设想它与地表弯曲程度有关,因为矛头的调整量dAi确实与地表的弯曲情况有关。
如果地表不弯曲,是平直的,那么按步骤矛头也就根本不会被调整。可以计算出,P最终是由曲面(弯曲空间)的度规所决定的。

上面就是测地线的方程。如果长矛Ai代表初速度矢量,那么测地线方程就给出了加速度。

广义相对论假设引力场中的光线或自由粒子(不受其他力的作用),在任何参照系,或这说在弯曲的四维时空中,按测地线行走。这替代了牛顿的平直时空中的惯性定律。

 
 
 
 
短程线
 

测地线并不是先给出起始点和要到达的目的地为前提而得到,而是只给出一个起始点和一个初始的切矢量,然后使切矢量在自身方向结合弯曲空间做某种移动,而形成的曲线。

如果提前指定起始点和目的地,那么什么才是曲面或弯曲空间上这两点之间的最短路径呢?

在加速参考系或引力场中,一个光脉冲已经不走直线,欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物,四维时空不再是平直的伪欧氏空间,而是弯曲的伪黎曼空间。

因此,惯性定律必须修正。没有了直线,光脉冲和孤立物体,将按什么曲线运动呢?可以推广,它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置,因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。

历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释,但在弯曲时空中已经没有直线路径,作为推广,我们可以合理地假设,在充分小的邻域内,光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条,叫“短程线”。

我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物,不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点,已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如,我们从赤道上一个城市去北极,在地球表面按照那个城市所在的经线行走,也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。

可以设想一个弯曲空间的度规确定了,其几何性质就确定了,其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。

如图:

 
 
上图我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q,由于是弯曲空间,它们之间没有直线路径可走,我们要求两点之间的短程线,采用什么方法呢?

我们可以观察短程线有什么独特的性质,根据这些性质,我们可以建立短程线的方程。

我们可观察到,两端固定为P、Q所有曲线中,越短的曲线,在各点受到一个微小的拉伸变形(扰动)之后,这个曲线的总长度变化就越不大;相反,越长的曲线,受到一个微小的拉伸变形之后,曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数,被一个小数来乘,变化越小;越大的数,被一个小数乘,变化就越大。

把这个观察到得性质推广到四维时空,再利用数学上一种叫变分法的技巧,就可以建立短程线的方程。

用数学语言说就是:沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动,则∫ds 的改变量有最小极值。

这样也可以得到一个两相邻点的短程线的方程,而且会发现它与测地线方程是一致的。

怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方?

2009年8月4日星期二

怎样计算“1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方”?  

abada  

为了能教、教好自己的孩子,我不得不复习一点儿中学数学。 我时常感觉到:有不少初等数学题也是很有意思、很有乐趣、很好玩的!

 一般给孩子讲到数学天才高斯的故事的时候,都要讲到高斯上小学的时候,就以很快的速度算出了他数学老师布置的问题:

 1+2+3+4+5+…+100=?

 小高斯的方法是把上式子变为:(1+100)+(2+99)+(3+98)+…,其中每项都等于101,而一共有100/2项。所以上式等于101×100/2=101×50=5050. 

 这么快得出结果,使他的老师很惊讶,因为其他同学还在1+2+3+4+..一项一项地算着呢!据说这个故事被晚年的高斯津津乐道。 

上面的数学问题和答案,可以总结为:1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

 我突然想到这个问题:  

12+22+32+42+…+n2 =? 

似乎我中学的时候做过,但已经全忘了用中学方法是怎样做的,只能从头再来。做了半天,试了各种办法,最后终于做出结果了,但中间遇到的挫折,很能说明思维的误区。而最后的解法,又是怎么被偶然地在误区中突然发现的,写个笔记回忆起来也许可以说是意味深长。解题过程似乎说明了,解决问题的时候不要怕失败,在种种的错误、挫折的黑暗的道路上,可能会偶然地、歪打正着发现正确方法的曙光。 

误区1:一个自然的办法就是想能否用小高斯的那个方法去计算。试了,不行。相应的头、尾项相加,结果没有那么显明的规律。这是习惯定势思维的误区,把无法推广的方法,硬要推广。(但看官下面会发现,如果方法是可推广的,那么,思维定势,“推广”方法,却恰恰又是很有用的。所以,问题不在于思维定势,而在于某方法在某方面是否通用、有普适性,在某方面、某种程度上是否具备可推广性。)  

误区2:我想起了求等比数列前n项和的方法。a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1 = ?

设   S=a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1

则  qS=aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn

上两式相减,得:(1-q)S=a-aqn

于是:S=a(1-qn)/(1-q)   

想到这里,我就设了:S2=12+22+32+42+…+n2 

并想到随时准备利用这个结果:S1=1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

还容易想到的方法就是:(S1)2与S2对照: 

 (S1)2 = (1+2+3+4+…+n)

= 12+22+32+42+…+n2 +[1(1+2+3+4+…+n)-12]+[2(1+2+3+4+…+n)-22]+[3(1+2+3+4+…+n)-32]+[4(1+2+3+4+…+n)-42]+…+[n(1+2+3+4+…+n)-n2]

 结果得到: (S1) = S2 + S1xS1 - S2  最后只能是:0=0,什么也得不到。 

 我反复又试了几种类似的方法,结果还是同样得不到任何结果。我继续试: 

 S2=12+22+32+42+…+n2

= (2-1)2 + (3-1)2 + (4-1)2 + (5-1)2+…+[(n+1)-1]2

= [S2 -12 + (n+1)2] + n*12 - 2*[2+3+4+5+…+(n+1)]  

=[S2-1+(n+1)2]+ n - 2*(S1+n)

=S2+n2+n-2S1 

 上面的方程,最终结果还是把想得到结果的S2给消去了。 真是郁闷啊!但是,却意外地得到了一个结果:

S1= (n2+n)/2 = n(n+1)/2 

 这个结果并不是想要的,因为早已经用小高斯的方法,可以很简单地得到这个结果。但我却记住了,这是另外一种得到S1的公式的方法。这也许是一种意外的收获?

 事实证明,远远不止如此。 当我在继续试了其他方法还是得到0=0之后,我突然来了灵感: 

上面利用S2得到S1的方法,也许是比小高斯的方法更通用的方法,用这个方法,可以试试利用S3而得到S2=?  也许S3是个类似的脚手架,搭上后又被拆掉了,但谁能说脚手架没有用呢?

 结果证明的确如此,天才少年高斯的方法固然简单巧妙,但他的方法不能通用、推广到求S2. 而我在无意中试出来的那种方法,却可以被推广而得到S2的结果,具有解决这类问题时的某种方法意义上的通用性。  

整理这个得到S1的新方法,它无非是利用了公式 (n-1)2 = n2 -2n + 1

我们现在推广一下, 利用公式 (n-1)3 = n3-3n2+3n-1

设 S3 = 13+23+33+43+…+n3

及 S2 = 12+22+32+42+…+n2

及 S1 = 1 +2 +3 +4+…+n 

知:

S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + … + (n-1) = S3 -n3

果然,S3被消去了,但我们可以得到: 

3S2 = 3S1+n3-n 

把 S1= n(n+1)/2 带入上式, 可得: 

S2 = n(n+1)(2n+1)/6 

即: 

12+22+32+42+…+n2  = n(n+1)(2n+1)/6  

可以设想,用同样的方法,可以利用S4而得到S3即13+23+33+43+…+n3的公式,依次类推。

理解相对论的重要的”前三关”

2009年7月30日星期四

理解相对论的重要的”前三关”

abada

国内曾经和不断继续涌现的反相对论者, 往往是因不断地卡在相对论的”前三关”没有过上。

相对论的”前三关”, 其实需要的是伽利略的相对论就够了。伽利略的相对论延伸下去, 才是狭义相对论. 狭义相对论延伸下去,才是广义相对论. 可惜很多人连伽利略相对论那”三关”都没有过。

 

第一关: “垂直”的相对性。

“垂直”与否是相对的, 这个基本的道理要入门。

你在奔驰的车上, 垂直向窗外扔出一块石头, (忽略空气阻力), 你看石头的轨迹是垂直于车道飞出了窗外, 那么, 地面上的人看石头的运动的轨迹, 却是不垂直于车道的。

飞行员对目标仍炸弹, 都要提前扔。 飞行员看炸弹是”垂直”于飞机和地面下落的;而地面上的人看炸弹, 是斜着飞的,是不垂直于飞机和地面的。因为炸弹下落的同时还有个跟随飞机方向的惯性运动分量。

垂直性的相对论, 在牛顿, 伽利略那里, 也是基本的知识。如果中学课堂上老师没有讲明白这个, 那么是基础教育的悲哀。

可惜的是, 大量的反相论者, 就是这个坎都过不去而造成的。他们常常自以为导出了一个在原来参照系垂直而在新参照系不垂直的”矛盾”, 就推翻了”相对论”.

“垂直”的相对性, 是推导洛伦兹变换的基础之一。 缺乏这个相对性, 不但狭义相对论, 就连伽利略都难理解。

 

第二关: 直线与曲线的相对性

在奔驰的列车上拍皮球, 皮球的轨迹,在列车上看是直线, 而在地面上看, 是一个接一个的抛物线。

争论皮球的轨迹到底是”直线”还是”抛物线”, 是没有意义的。 这是个相对性的问题。 不指定参照系, 就不会有答案。

 

第三关: 同一地点的相对性。

在飞驰的地铁上拍皮球,在列车坐标看来,皮球每一次都落在列车地板坐标的同一地点上;而在站台上看,皮球每一次都落在地面坐标或铁轨坐标的不同地点上。

皮球每次落到最低点的位置, 到底是在同一个地点,还是不在同一个地点呢?

这同样是个相对性的问题。 在一个参照系看是同一地点发生的事情,在另一个参照系看却不是在同一个地点发生的。

 

这三个问题都还没有涉及狭义相对论,都是伽利略范围的相对性问题. 但是, 垂直的相对性是推导狭义相对论洛伦兹变换的基础之一,同一地点的相对性又是爱因斯坦的同时性的相对性的基础之一。到了狭义和广义相对论那里,越来越多的东西成为了与参照系有关的相对的东西, 但这是舍车保帅—保住了一个近似绝对的东西:那就是物理定律的张量方程形式. 物理定律才是绝对的:不以参照系为转移—它无论以哪个参照系预言物理事件, 都是可以成立的.

掌握这三关, 应当是中学物理的基本内容之一。 可惜的是, 我们的中学教育似乎在这方面不很成功, 导致大量的“反相者”由于没有掌握这些最基本的常识(其中还包括石油钻探领域的教授,博导), 而盲目质疑爱因斯坦的相对论。其实他们的问题停留在伽利略相对论里也过不了关。

回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

2009年5月15日星期五

回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

abada

 

网友原问题:

请问这个相对论题目:

在惯性参考系中观测,两个事件同地不同时,则在其他参考系中观测,它们(  )

A. 一定同时
B. 可能同时
C. 不可能同地,但可能同时
D. 不可能同地,也不可能同时

我认为是B,可答案是C.我需要你解释一下,谢谢

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abada解答:

假设在天安门的正上方, 即在地球坐标的同一地点, 在不同时刻, 放了两烟花A和B.

又假设有一个长长的飞船飞过北京天安门的上空. 烟花A刚好碰到飞船的头部, 烟花B刚好碰到飞船的尾部.

所以, 对飞船坐标而言, 这是不同地点发生的两个事件.

对于飞船来说, 可不可能是同时发生的呢? 不可能.

反证法: 按照爱因斯坦”同时性”的定义, A碰到飞船头, 与B碰到飞船尾, 两事件若在飞船看是同时发生的, 那么这两个事件的光信号,将各自走过一段距离(在飞船看就是飞船固有长度的一半), 而在飞船的中点相遇. 若如此, 我们再在地球坐标看来, 将是怎样的. 由于光速是恒定的, 这两个事件的光信号, 将各自走过一段距离, 或花一定的时间而相遇, 这样的事情是不可能的: 同一地点上的两个光信号不可能走一段空间距离, 或花时间去会合(相遇).

这就证明了: 答案应当是D, 即在另一个惯性系(有相对速度)看来, A与B必然是不同地, 不同时的.

 

当然, 也可以画一个坐标, 横轴是空间距离, 纵轴是虚数时间, 两事件在同一地点不同时间, 就是横坐标相同而纵坐标不同的两事件点. 狭义相对论变换是把坐标轴做小于90度的旋转. 坐标轴旋转的结果是: 在新的坐标系, 这两点不可能具有同样的横坐标, 也不可能有相同的纵坐标. 结论一样, 就是在新的惯性系中, 它们必然是不同地点而又不同时刻的两个事件.

注意一个题外话: 同一个光线, 从A地发出, 到达B地, “发出”和”达到”这两事件的时空间距永远是0(在不同的惯性系看来, 空间间隔和时间间隔都分别不同, 但四维时空间距保持为0), 这是在不同的惯性系来看.  在广义相对论来看, 光线是0短程线. 这在任何参照系看都如此.

熵减错觉的简明心理分析

2009年5月11日星期一

熵减错觉的简明心理分析

abada

一个众所周知的常识是, 一个在引力场中封闭且绝热的单摆系统, 开始状态是单摆摆动, 但最终单摆会停止—- 单摆摆动的时候, 重力势能与动能不断转化, 但转化的效率不是100%, 而是一部分动能或势能(机械能)转化为无规则的分子热运动, 热能了. 这就是不存在永动机的热力学第二定律, 或熵增定律.

我们看,假如在引力场中封闭且绝热的单摆系统里, 有许多单摆, 初状态是在摆动, 而后逐渐都趋向于停止摆动了,那么, 同样,这个系统过程是熵增的, 机械能转化为热能了, 单摆最终都停止摆动了.

这个系统实际上与我说的浑浊的脏水孤立系统在引力场中变为澄清分层的系统过程, 完全是一样的. 但奇怪的是, 说单摆逐渐停止运动,很多人就可以理解是熵增, 而浑水澄清分层, 很多人就难以理解是熵增过程.

(问题:在地球上, 把一个脏水搅浑后封闭隔热后,设为0初始状态. 这个孤立系统在引力场中自发地逐渐澄清分层, 这个状态设为1状态, 问从0状态到1状态, 系统的熵是增加了, 还是减少了?)

完全类似的熵增过程, 一个是单摆垂下不摆了, 另一个是泥沙沉淀不往上窜了, 为什么熵增熵减的心理感觉会不同? 为什么人会有这个错觉?

我想, 这可能人受生物主观需要的影响. 人对分层澄清的水更有需要(人需要喝澄清的水), 但同时人又对单摆的摆动有需要, 比如观看, 定时等.

但科学是严谨的, 要把这些主观感觉去除, 按同样的物理定义和定理, 去理解类似的过程.

引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念

2009年5月6日星期三

引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念
 
作者:abada
 
常见科普书上说,熵,就是混乱程度的量度,一个系统越对称,就越混乱,熵就越大。这无疑给了众多的不求甚解者以艺术般的幻想,以至于跨学科地误用和错用熵概念的现象泛滥。
 
有个问题,即是很多物理学专业的学生,也常搞错。这个问题就是:一盆脏水,搅浑后封闭(包括隔热)起来作为状态0;在地球上不管它,浑水会自然澄清,分层,这是状态1。问:从状态0到状态1,熵是增加了,还是减少了?
 
很多人会认为熵减少了。甚至一些物理学家也犯这个错误,在科普作品中说引力是能抵抗熵增的,所谓熵增定律带来混乱,而引力可能抵抗熵增而带来秩序。
 
果真如此吗?当然不是。热力学第二定律,在引力下一样表现的很明显,引力丝毫不会导致熵减。只是人们头脑中被科普灌输了错误的熵图像而已。
 
先说一个规范。物理学家在看到自由落体下落的系统的时候,发现落体动能在增加,但这时他绝不会说:由于落体的动能在增大,所以能量不守恒,能量在增大。而是说:自由下落系统的总能量是守恒的,因为势能转化为动能,动能才因此增加。保守力提供了势能,或势场,这是始终要考虑去的能量形式。我们说封闭系统的时候,始终就把势能(势场)封闭进去考虑了。势能场是不能随意中途加入或移除的,除非你额外输入能量—你不能不做功而把地球上的物体送入无引力场的太空中去。
 
同样,严肃的物理学家,针对脏水澄清现象,决不会说:考虑地球,则熵增;如果不考虑地球,则脏水系统是熵减的。说到熵,一开始就要考虑各种能量分布形式的影响,包括势能。
 
熵在历史上有两种定义,一种是克劳修斯的热力学宏观定义,一种是波耳兹曼的微观定义。这两种定义是协调的,没有矛盾。微观定义可以为宏观定义提供几率解释。
 
我们先从宏观热力学上看脏水澄清系统的变化。脏水自然澄清时,比重大的泥沙会下沉,这导致系统的重心下移。系统的总势能是这样计算的:系统重心的高度x 系统的重量:
 
U(势)=Mgh
 
系统重心下移,意味着系统的总势能减少了。既然是封闭系统,意味着总能量是守恒的。那么减少的势能到哪里去了呢? 转化为粒子无规则的热运动,即热能了。这样,根据不可逆过程的热力学熵的定义式:dS>dQ/T,热量增加即dQ>0,所以熵增dS>0,熵增定律成立。
 
很多人感到奇怪之处就在于:脏水澄清的过程,不是使系统更有序了吗?你看,本来是混乱的浑水,现在分层了,有秩序了,难道不是这样吗?
 
这是试图从熵的微观概念出发想问题,但可惜的是,这样的直觉式的熵概念是错误的。
 
微观的熵概念,或波耳兹曼的熵概念,不是单指粒子在三维几何空间中分布的混乱程度;而是指粒子在一定外场势能分布条件下,在粗格化的“相空间”–包括所有粒子的位置维度和动量维度的数学空间–中的分布的混乱程度。简单地说,粒子在相空间中对称(或混乱)与否,不是只看粒子的位置分布,而且还要看粒子的动量、能量分布状态。一个简单的例子是:一些在同一水平面上的空气分子,即使它们在平面空间上的所处位置来看是分布均匀的,但只要它们的动量或能量分布不均匀,那么它们在相空间中的分布就是不均匀的、不对称的或者说是较有序的、较不混乱的。系统的这个“混乱”程度,即波尔兹曼熵,有严格的计算方法,其结果可能完全不同于人们的几何直觉印象。
 
波尔兹曼熵定义是:S=klnΩ
 
其中S是封闭系统在某种状态下的熵,k是常数,而Ω是指这种状态下的微观态数目。
 
我们不要怕麻烦,一定要用图形,找出脏水澄清前后的微观状态数的变化,如果微观状态数变大了,就说明系统的熵增加了,也可说明与热力学宏观定义的理解不矛盾了。
 
为了简便,我们假设简单的粒子情况,这个模型推广到极多粒子情况也完全适用。
 
1)假设脏水系统有3个粒子,一个是泥沙类的重粒子,另外两个是水分子。假设重粒子的质量是水分子的2倍,我们把它称为(2a),重量为2;而把其中一个水分子称为a1,把另一个水分子称为a2.  每个水分子的重量都是1。
 
2)假设脏水混沌后为封闭系统,总能量守恒,总能量为9个单位。就是说,(2a),a1和a2三个粒子的总能量是守恒为9的。再假设三粒子除了自身的动能和重力势能,别无其他能量。
 
3)各粒子的空间高度可以为1m,2m或3m,在这些之间的高度要做四舍五入,有微小的差别可视为全同。这叫把空间或势能粗格化。
 
4)设各粒子的动能可分别为0,1,2,或3…等,在这些之间的动能取值要做四舍五入,有微小的差别可视为全同。把动能粗格化。
 
5)粒子位置空间只考虑1维的情况, 即粒子的位置区分只有上下而没有前后左右。
 
先假设重粒子(2a)在系统的最上层,3m处占据。图中,符号“a1->1”,表示此状态下粒子a1的动能为1。每个系统态图的右边的数字,是每个高度上的能量分布,它等于此层上所有粒子的(动能+势能)的和,每个粒子的势能的计算方法是其重量乘以高度。
 
我们先看重粒子(2a)在系统的最上层的情况下,系统粒子不同能量分布的微观态的几种可能性:
 
 
微观态1:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->0, a2->1—–此层动能=0+1=1,势能=1+1=2,总能量=1+2=3
 
 
微观态2:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->1, a2->0—–此层动能=1+0=1,势能=1+1=2,总能量=1+2=3
 
 
微观态3:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:a1->0————此层动能=0,势能=2, 总能量=2
第1m层:a2->0————此层动能=0,势能=1,总能量=1
 
 
微观态4:
 
第3m层:(2a)->0———-此层动能=0,势能=2×3=6, 总能量=6
第2m层:a2->0————此层动能=0,势能=2, 总能量=2
第1m层:a1->0————此层动能=0,势能=1,总能量=1
 
 
微观态5:
 
第3m层:(2a)->1———-此层动能=1,势能=2×3=6, 总能量=7
第2m层:无粒子———–此层动能=0,势能=0, 总能量=0
第1m层:a1->0, a2->0—–此层动能=0,势能=1+1=2,总能量=2
 
 
可见在重粒子(2a)在系统的最上层的情况下,系统不同能量分布的微观态有且只有上面所示的5种可能。 读者可以检验:任何局限在此空间中的、这三粒子的其他的势能或动能分布,都不会使总能量为9。
 
注意,即使只考虑高度上的1维空间, 一个动能不为0的粒子, 某个确定的动能也可对应两个确定的动量, 这两个动量大小相等、方向相反, 因为动量的方向有朝上和朝下的两种可能。于是,相空间(位置和动量空间)中, 总微观态数目, 比单纯考虑能量分布形式的微观态数目要多。计算方法是: 每1个能量分布态, 若其中3个粒子动能都为0, 则其对应有1种动量分布; 如果3个粒子只有1个动能不为0, 则其对应2种动量分布; 如果动能有2个不为0, 则对应4种动量分布;如果3个粒子动能都不为0, 则对应8种动量分布。
 
参考各种能量分布状态再计算这种情形下相空间(能描述所有粒子的各种不同位置和不同动量的数学空间)的微观态可知:
 
一个重粒子在3m处的条件下, 系统微观态数应是Ω=8,即熵S=kln8. 
 
以上相当于重力场中的浑水状态,状态0。
 
 
再看类似重粒子下沉,脏水澄清的情况下的熵。只要假设重粒子在最下层即可。实际上,还有此1重粒子伴随1个水分子同时在最下层的情况,我们暂且不考虑。 我们将知道,即使只考虑一个重粒子在最下层的情况时, 这种情形的分布可能性,也要比重粒子在最上层的情况,可能性或几率要大的多。 
 
重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态(粒子系统总能量仍恒为9):
 
微观态1:
 
第3m层:无粒子—————-动能0,势能0
第2m层:a1->0, a2->3——-动能=0+3=3,势能2+2=4,此层总能量=3+4=7
第1m层:(2a)->0————–动能=0,势能=2,此层总能量=2
 
 
微观态2:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->3, a2->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态3:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->1, a2->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态4:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->2, a2->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态5:
 
第3m层:a1->0
第2m层:a2->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态6:
 
第3m层:a2->0
第2m层:a1->2
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态7:
 
第3m层:a1->2
第2m层:a2->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态8:
 
第3m层:a2->2
第2m层:a1->0
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态9:
 
第3m层:a1->1
第2m层:a2->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态10:
 
第3m层:a2->1
第2m层:a1->1
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态11:
 
第3m层:a1->0,a2->1
第2m层:无粒子
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态12:
 
第3m层:a1->1,a2->0
第2m层:无粒子
第1m层:(2a)->0
 
 
微观态13:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->0,a2->2
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态14:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->2,a2->0
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态15:
 
第3m层:无粒子
第2m层:a1->1,a2->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态16:
 
第3m层:a1->0
第2m层:a2->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态17:
 
第3m层:a2->0
第2m层:a1->1
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态18:
 
第3m层:a1->1
第2m层:a2->0
第1m层:(2a)->1
 
 
微观态19:
 
第3m层:a2->1
第2m层:a1->0
第1m层:(2a)->1
 
上面是重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态的所有可能分布。要保证粒子系统的总能量(动能+势能)为9,粒子能量只有这19种分布可能性。
 
再依照这19种能量分布可能,计算它们在相空间(包括位置和动量)中的所有可能的微观态,可知这时粒子系统微观态数Ω=64,即熵S=kln64. 
 
这个Ω=64远大于重粒子在最上层的可能的微观分布可能数Ω=8. 说明重粒子在引力场中位于下层的分布几率远大于其在上层的系统分布几率.
 
以上相当于重力场中的浑水澄清后的状态,状态1。显然这种情况下的熵,比重粒子在上的浑水状态的熵要大。
 
注意,这个微观态解释的直观重点是: 
 
重粒子如果在上方,就会占据更多的能量(势能太大),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量的分配可能性就减少了,微观态就少; 相对地,重粒子如果在下方,就会占据更少的能量(势能占据小),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量分配可能性就增加了,微观态就多。
 
结论: 重粒子在下,有更大的分布可能性和几率。
 
所以重力场中浑水澄清的过程是朝微观态数目多、几率大的方向发展的,即熵增的过程。
 
从熵的微观解释看,熵大就是这种粒子分布状态的概率大。热力学第二定律,即熵增定律,就是预言系统将从概率小的分布状态,朝着概率大、可能性多的分布状态变化,朝着最可几的状态演化。
 
最后说说为什么很多人以为澄清分层的水更有序,熵更小。 这是一种错觉,或对熵的片面理解,甚至误解导致的。错觉可能来自于无引力场的分布情况:在无引力场,或引力场的水平截面(等势能面)上,熵大常常意味着粒子在位置空间几何排列上的更无序,或更对称。 但这种直觉是不能任意推广的。
 
最后要说的是: 引力不会导致熵减, 这在霍金的黑洞热力学中也成立. 霍金的公式说黑洞的熵与黑洞的视界面积成正比–而黑洞的视界面积总在增加. 于是热力学第二定律–熵增定律毫无例外地适用于黑洞–有巨大引力的地方。