驴桥定理证明的误区
驴桥定理证明的误区
abada
欧几里德<几何原本>第I卷命题5,是证明等腰三角形的两底角相等,后人有称驴桥定理.
根据希尔伯特更完善和严密化的欧氏几何公理体系, 这个命题是很容易证明的.
(按希尔伯特的几何公理系统之公理
Ⅲ5 设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．
将上述公理中的A’、B’、C’ 分别用A、C、B替代， 即可立即证明驴桥定理。)
这个命题的证明, 在<几何原本>里是紧接在命题I4,即判定两三角形全等的”边角边定理”之后. 这个命题4或”边角边定理”, 也就是相当于希尔伯特公理Ⅲ5.
一些中学教材, 既不按照希尔伯特公理体系教,也不从欧几里德<几何原本>的体系教, 而是任意布局逻辑关系去”证明”. 这样的证明在希氏体系或欧氏体系看来, 就极可能有逻辑循环的问题. 如果我们可以不顾学术传统而随意编造公理逻辑体系, 那么自己造一个公理几步证明出”四色定理”不就是合理的了?
从现代观点看,<几何原本>的命题4,作为公理才是可靠的.欧氏的”证明”依赖图形移动, 但在其体系中并没有相关的公理来源保证.我们暂且把<几何原本>命题I4当作一个新的公理看待.
若按欧氏图形运动的方式,而不是希氏逻辑符号公理体系看待三角形全等,那么, 命题I4中三角形的全等,实际可分3种基本情况:
1)平移全等;2)旋转全等;3)轴对称全等(或绕第三维空间旋转全等).
如图:
若∠A=∠A’=∠A'’=∠A”’, AB=A’B'=A'’B'’=A”’B”’, AC=A’C'=A'’C'’=A”’C”’,
那么三角形ABC, 三角形A’B'C’, 三角形A'’B'’C'’,和三角形A”’B”’C”’相互都全等.
只有边角边判定命题,适用于以上全部三种情况,欧氏空间才能完全确立, 以后的相关命题的证明才可靠.
网上看到一篇相关的演讲稿, 是针对台湾国立中学的教师的, 其看法大部分是中肯的.我引用一下:
“…且让我们来看看有名的『驴桥定理』(投影片3)….
这个定理是指欧几里得《几何原本》第一册的第五命题:『等腰三角形两底角相等』….请问各位教师,你(你)是采用哪一种解题方法来教学呢
现在我们来调查看看各位老师的解题方法:
(1)作顶角平分线.
(2)顶点与底边中点连线.
(3)顶点向底边作垂线.
(4)其底角之两外角相等.
(5)反身对称.
(6)其它.
如前面所谈的,就我们国中的数学教育来看,我们数学教师皆是遵循欧几里得《几何原本》的结构来教学.换句话来说,我们应该要有严谨的逻辑推论,来证明命题.现在,先让我们在欧几里得《几何原本》中,看看和上述解题方法相关的十三个命题 (投影片4, 5).
由以上的十三个命题中,我们知道「作顶角平分线」的方法 (投影片6),被欧几里得安排在命题9,至於它的证明须利用命题8,而命题8更进而依赖命题7,最后,命题7的证明则奠基於命题5.因此,在《几何原本》的脉胳中,「作顶角平分线」的证法,犯了逻辑上的循环谬误 (circular fallacy).
若采用「顶点与底边中点连线」的方法 (投影片7),则必须利用命题10,而命题10之证明依赖了命题9,因而也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
若采用「顶点向底边作垂线」的方法 (投影片8),则须利用命题8和命题10,当然也逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
若采用「其底角之两外角相等」的方法,则显然是用到了命题13 (投影片9),至於它的证明则须利用命题11,而命题11更进而依赖命题8 (投影片10),一样逃不过命题5的支持,循环谬误依然.
若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”
他说的这些问题, 在大陆的中学教科书中也一样存在.
只是他最后说的
“若采用「反身对称」的方法,则图形的运动需要通过第三维空间 (在《几何原本》中,没有规定此种运动是保距变换)…..”
此话有问题. 他是指: 欧几里德<几何原本>(至少命题I4)中, 三角形的全等没有包括轴对称全等.
如果是那样的话, 那么, 欧氏自己对命题I5即驴桥定理的证明,也是有问题的.因为欧氏的证明,同样必须依赖”轴对称类型的三角形全等”.
我画个彩图可直观看到欧氏的证法步骤(显然, 欧氏自己的证法中, 隐含了承认”边角边”判定法也适用于轴对称型的三角形全等):
