Archive for 3月, 2009
卡丹与三次方程
星期一, 3月 16th, 2009一九九六年，图雅等人在中文网上发起“奥秘工程”，号召大家为中小学生撰写科普文章，结集在国内发表，为孩子们做些事。下面这篇文章就是为“奥秘工程”写的。可惜“奥秘工程”最后不了了之。
图雅又称秃鸦，是中文网一大传奇人物。他好像也是数学出身。他写了一篇关于三次方程的故事，我本来是催他接下去写写卡丹，但是在众网友的怂恿下，自己出手了 两篇文章同时发在新语丝1997年增刊第一期。
卡丹与三次方程 图雅的文章中讲到，费厄用三次方程向方台纳挑战，方台纳大获全胜。象费厄的老师费罗一样，方台纳发现了三次方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法后，把它当作秘密武器，秘不示人。各地的信件象雪片一样飞来，向方台纳询问解法，但他一概不理。时间久了，人们见他不肯开口，渐渐地来信少了。但是其中有一个人，仍然一而再、再而三地来信，语气一次比一次恳切，最后说得方台纳也有些心软了。这个人来自米兰，名叫卡丹（Ｇｉｒｏｌａｍｏ Ｃａｒｄａｎｏ）。从此，故事出现了意想不到的转折。
在继续讲三次方程的故事之前，这里有必要讲一讲卡丹其人。
卡丹的一生很不平凡，可以算是跌宕起伏，波澜壮阔。他的出生就不一般：卡丹的父母并不想要这个孩子，他们用尽了各种堕胎药，但始终没有奏效。卡丹出生的时候又是难产，用他在自传中的话说，是“被硬生生地从母亲的子宫中拽出来的”。呱呱坠地后又差点夭折，是医生用热酒给他从头到脚洗了一遍，才保住了性命。
出生就如此艰难，可以想像卡丹一辈子的身体状况都很差。一连七八夜失眠是家常便饭，心脏、肾脏功能不良，还有大大小小的各种其他疾病。实际上他的精神也不完全正常。他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳臂上的皮肤，直到疼得流出眼泪。照他自己的说法，这样做是因为停下来时的感觉无比舒畅。
健康状况不佳，并不是卡丹仅有的困难。他在帕多（Ｐａｄｕａ）大学读医科，以优异成绩毕业，然而米兰地方政府却不发给他行医执照。很明显，他的古怪性格是不发给他执照的一个主要原因。这段时间是卡丹一生中的一个低谷。于是他只好搬到帕多附近的小城萨可（Ｓａｃｃｏ），在那里行医。一天夜里，他梦见了一位白衣少女。而时隔不久，他就遇到一位姑娘，和梦中见到的一模一样。卡丹非常相信梦的含义，所以很快就爱上了这位姑娘并和她结了婚。
卡丹不仅相信梦，还相信占星术，相信可以通过雷雨来预测未来事件。他相信自己有很多保护神，甚至在大庭广众之下和“保护神”说话。
他的另一个爱好是赌博。他在自传中承认自己是个赌棍，天天都赌。好在他同时利用自己这个坏习惯进行了科学研究，写了一本名叫《机会的游戏》（Ｂｏｏｋ ｏｎ Ｇａｍｅｓ ｏｆ Ｃｈａｎｃｅ）的书，在他死后发表了。这是世界上第一本对概率论做严肃的数学探讨的书。
卡丹在萨可从１５２６年住到了１５３２年。他感到在这个小城住下去实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。
他举办了很多科普讲座，在贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，都获得了很大的成功。１５３６年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。１５３９年米兰医学院聘用了卡丹，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教皇。
可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。１５４６年，卡丹的妻子去世，年仅３１岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Ｇｉａｍｂａｔｔｉｓｔａ）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医学方面的天赋，在帕维亚（Ｐａｖｉａ）获得了医学学位。１５５７年，蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生育了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。
１５６２年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳（Ｂｏｌｏｇｎａ）大学的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Ｆａｚｉｏ）赴任。法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的亲生子女所没能带来的亲情。
新的环境并没有给卡丹的生活带来安宁。当时意大利的教会正在极力反对欧洲的基督教改革运动，对各种“异端邪说”的惩罚非常严厉。卡丹在１５７０年被捕入狱，罪名之一是他曾写过一本书，书中介绍了一位反基督教的罗马皇帝。令人惊讶的是，在朋友的努力下，卡丹不仅后来获释出狱，还去了罗马，接受了由教皇亲自颁发的一份养老金。
１５７６年９月２０日，经历了一波三折、大起大落的一生，卡丹在平静中去世。用现代人的眼光看来，卡丹的一生非常富有传奇性，又充满了自相矛盾。他是个高产的作家，他的著作涵盖了很多方面的内容，有科学，也有非科学。他的思想一方面体现了现代的理性思维方式，另一方面又带有强烈的中世纪迷信色彩。一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的。”
下面我们回过头来接着讲三次方程的故事。１５３５年，方台纳击败费厄之后，卡丹一次又一次地给方台纳写信询问解法。方台纳严辞拒绝，并说自己准备将来就这个解法写一本书。卡丹一开始很生气，但后来改变了策略，用恳切的语言请方台纳到米兰作客。１５３９年，在方台纳作客期间，卡丹以基督教徒的身份起誓，至死也要保守秘密，绝不向他人泄露。方台纳受了感动，于是把方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法告诉了卡丹。
不久以后的一天，一个叫费拉里（Ｌｕｄｏｖｉｃｏ Ｆｅｒｒａｒｉ）的年轻人来到卡丹家，希望找一份工作。卡丹把他收下做了仆人，但是很快发现这个孩子特别聪明，于是主仆关系迅速转变为师生关系。卡丹给费拉里讲了方台纳的解法，然后两人一起研究，取得了惊人的进展。对最一般的三次方程：Ｘ＾３＋ｂＸ＾２＋ｃＸ＋ｄ＝０，卡丹找出了解法；然而他的解法依赖于把一般方程简化成Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的形式，而由于对方台纳的誓言，卡丹自己的发现也不能发表。同时，费拉里发现了四次方程的解法。这是代数学的一个巨大的进展，但是这个解法需要把四次方程简化为一个相关的三次方程来解，所以碍于卡丹的誓言，仍然不能发表。师徒二人手中掌握着当时代数上最重要的发现，却不能发表，其心情可想而知。
１５４３年，卡丹和费拉里来到波隆纳。他们找到了费罗的手稿，其中就有Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程的解法。对于卡丹来说，这无疑解除了誓言的约束，因为这个解法来自费罗，而不是方台纳。至于费罗的解法和方台纳的解法一模一样这个事实，卡丹就假装不知道。
１５４５年，卡丹发表了他的数学名著《伟大的艺术》（Ａｒｓ Ｍａｇｎａ）。卡丹认为代数是一门“伟大的艺术”。这本书共有四十章。在书中，他介绍了不同形式的二次和三次等多项式方程的求解方法。第十一章讲的就是Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程。在这一章的开头，卡丹写道：“三十年前，费罗发现了这个解法并在后来教给了费厄。费厄向塔塔格利亚挑战，使塔塔格利亚有机会也发现了这个解法。他在我的恳求下把解法告诉了我，但没有讲它的证明。依靠这些协助，我证明了这个解法的正确性。这个问题难度极大。”
塔塔格利亚就是方台纳。方台纳从小面部受伤，说话受影响，因此得了个外号“塔塔格利亚”（Ｔａｒｔａｇｌｉａ），意思是“结巴颏子”。后来他以塔塔格利亚出名，其本名“方台纳”却很少被提起。
虽然卡丹在书中说明了塔塔格利亚的贡献，塔塔格利亚却不满意。他指责卡丹是个骗子，违背了基督教徒的神圣誓言。卡丹本人对这些指责采取高姿态，并不反驳；但是他的弟子费拉里对塔塔格利亚进行了猛烈的反击。费拉里反过来指责对塔塔格利亚抄袭费罗的结果。双方来来往往地互相指责，对立逐渐升级。１５４８年，塔塔格利亚来到米兰和费拉里进行公开辩论。卡丹没有出场，塔塔格利亚利用这一点攻击卡丹，说他是因为心虚。这场辩论最后发展到了白热化的程度，双方动了手。费拉里占有地利人和之便，所以最终塔塔格利亚能够得以生还，都属侥幸。
至此，三次方程的故事算是告一段落。现在，三次多项式方程的根式解的公式，一般称为“卡丹——塔塔格利亚公式”。最后值得一提的是，１８２４年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Ｎｉｅｌｓ Ａｂｅｌ）证明了五次和五次以上的多项式方程不存在根式解，给多项式方程的求解问题画上了一个完整的句号。
（完）
乱点鸳鸯谱
星期一, 3月 16th, 2009下面这篇是一九九五年九月在ACT上有人提问，题目是：A、B两个集合各有n个元素，本来有个一一对应的，但是如果随机配对，所有的配对都配错的概率是多少？(原题的描述要有趣一些，但是我不记得了)
乱点鸳鸯谱 (Re: 问题求解)
这个问题有点意思，通俗地讲讲吧。
话说月老给ｎ对少男少女牵红线。谁知这位月老是个马大哈，闭着眼睛乱拴一气，到头来不知多少痴男怨女被错配鸳鸯，有情无缘。只不知道他老人家糊涂到什么程度，哪怕只拴对了一对儿也好嘛。下面就来算算连一对儿都拴不对的可能性有多大。
因为总共有ｎ对男女，一男一女之间拴红线，所有不同的拴法总数是ｎ！（ｎ的阶乘），所以只要数清一对儿都拴不对有多少种拴法，再除以ｎ！就可以得出概率。这是一个计数的问题。
一对儿都拴不对的拴法并不好数，我们可以先数至少拴对了一对儿的拴法，再从总数ｎ！中减掉就行了。至少拴对了一对儿，怎么数呢？先从ｎ对中任选一对作为拴对了的，这有C(n,1)种选择（C(n,1)是ｎ中选１的组合数）；其他红线就随便牵，共有（ｎ－１）！种方法，由此得到一个结果：
S(1) = C(n,1) * (n-1)!
您如果细心，就会发现这个结果其实是不对的，因为假如某种拴法拴对了两对儿，那么它在Ｓ（１）中就被数了两次。所以需要把这些数过两次的算法减掉一次才对。至少拴对了两对儿，有多少种拴法呢？从ｎ对中选出２对，有C(n,2)种选择；其余的红线随便牵，共（ｎ－２）！种方法，于是：
S(2) = C(n,2) * (n-2)!
要算的总数是： S(1) - S(2)
细心人会发现，类似的问题又来了：假如某种拴法拴对了三对儿，那么它在Ｓ（１）中被数了３次，在Ｓ（２）中也被数了３次，两数一减就没了，因此我们比须再把它加回来。用和前面同样的办法算出：
S(3) = C(n,3) * (n-3)!
要算的总数是： S(1) - S(2) + S(3)
下面再考虑拴对了四对儿的拴法。仔细数数（也是用组合数来数），它在上面的Ｓ（１）中数了４次，Ｓ（２）中数了６次，而Ｓ（３）中又数了４次，加加减减之后还剩下２次，这多出的一次还是要减掉，所以：
S(4) = C(n,4) * (n-4)!
要算的总数是： S(1) - S(2) + S(3) - S(4)
依此类推，最后算到ｎ对儿全拴对的拴法数：
S(n) = C(n,n) * 0!
那么至少拴对了一对儿的拴法数目就是：
S(1) - S(2) + S(3) - S(4) + … + (-1)^(n-1) * S(n)
我们要数的是所有的红线都拴错了的拴法数，记为Ｄ（ｎ），应该等于ｎ！减去上面算出的这个数，就得出下列公式：
D(n) = n! - S(1) + […]
数学竞赛不神秘，您的孩子也可以参加！——美国初、高中数学竞赛解密
星期一, 3月 16th, 2009
【本文作者是美国数学奥林匹克集训队教练，曾代表中国首次参加国际数学奥林匹克竞赛，对国际和国内各种级别的数学竞赛以及对学生的培训具有丰富的经验。他創辦的王牌數學Math Zoom Academy專門培訓學生解題能力。在多項數學競賽中屢創佳績。本文将阐述参加数学竞赛对学生今後发展的正面影响，并对美国几大数学竞赛进行综述。】
说起数学竞赛，很多学生感到遥不可及，认为那是少数数学尖子才能参加的，而自己的数学成绩平平，或只是中等偏上的水平，一提起数学竞赛就觉得跟自己无缘，也就不去多想了。而有些数学成绩优秀的学生，感到学校的数学内容没有挑战性，又因为不了解或没听说过数学竞赛，常常会对数学失去兴趣，对他们自己和家长都造成了很大的困扰。
事实上，数学竞赛并不神秘，竞赛题目中涉及的数学知识不会超出中学的内容。数学竞赛所注重的是别具一格的思维能力和灵活巧妙的解题技巧，具有很高的趣味性和挑战性。对任何年龄段的学生，无论他们目前的数学程度如何，在思维能力和解题技巧方面，都是可以通过训练而提高的。然而在大多数学校里，由于受师资和资源的限制，对学生在这些方面的培养都很欠缺。
参加数学竞赛的优越之处参加数学竞赛，不仅能提高学生对数学的兴趣，还能提高阅读理解能力，而且通过在分析问题和解决问题方面的培训，对其他学科都会有很大帮助。更重要的是，学生掌握了良好的思维方法，还培养了胜不骄败不馁的体育精神，和团队合作精神，特别是对在美国习惯了整天拿满分的孩子能发现其实天外有天，从而激发努力进取，更上一层楼的干劲，对今後一生的发展都有正面的影响。就申请大学而言，良好的数学竞赛成绩也是进入名牌大学和获取高额奖学金的敲门砖。就我个人的经验，由于有了代表中国参加国际奥赛的经历，被北京大学免试录取。毕业后申请美国学校的时候，不但拿到全额奖学金（FELLOWSHIP），连来美国的机票都是学校出的。我认识的其他赛友们，也都有类似的经历。据《纽约时报》报道，哈佛大学去年（2007）拒绝了1100名SAT数学满分的学生；同样情况也发生在耶鲁大学和普林斯顿大学。实际上，对于这些名校来说，SAT考2100分或2400分区别并不大，而在SAT高分者如云的情况下，一个数学竞赛的成绩就会让你脱颖而出。AMC和AIME早已出现在MIT和CAL TECH这类学校的入学申请表上。各大名校每年都要向AMC(美国数学竞赛) 索要参赛名单和成绩，邀请那些成绩较好的学生申请本校；由于AMC成绩优异而获邀参加AIME(美国数学邀请赛) 和USAMO(美国数学奥林匹克竞赛)的学生，就更成了各大学争抢的对象。许多公司和政府机构也向数学竞赛成绩好的学生提供优厚的大学奖学金。总的来说，数学竞赛成绩的含金量远远高于SAT的数学成绩。而通过奥林匹克数学的训练，打开了思路，对准备SAT帮助也很大。
数学竞赛的种类和特点全国性的数学竞赛有前面提到的AMC，每年有数十万学生参加，分AMC8、AMC10和AMC12，分别由8年级以下、10年级以下和12年级以下的学生参加。AMC8 是一个准备性的比赛，没有晋级的资格。5%的参赛者可获奖。还有给六年级以下的参赛者的特别奖。AMC10中最好的1%和AMC12中最好的5%被选中参加AIME。在AMC和AIME综合成绩突出的500人(每年人数可能有所不同) 有资格参加USAMO，再从中选出50人参加数学奥林匹克暑期集训队MOSP，最后选出6名学生代表美国参加一年一度的国际数学奥林匹克竞赛IMO。由于最终的目标是要选拔出国家代表队参加国际比赛，AMC系列比赛的难度特别是到了AIME以后可以说是最能和国际接轨的。除此之外，面向6到8年级中学生的MATHCOUNTS竞赛，有校内(SCHOOL) 、区域(CHAPTER)、 州(STATE) 和全国(NATIONAL) 几个级别，层层选拔，每年也有数十万学生参加，竞赛方式包括个人、团队、笔试、抢答和专题演讲，不但竞争激烈而且妙趣横生，又有媒体追踪报道，精彩程度堪比体育比赛。最后的全国比赛还有高额的奖学金。MATHCOUNTS的难度和AMC8相近，但是由于竞赛的格式不是多项选择，很难猜答案，所以感觉上就更具挑战性。另一项大型的全国性数学竞赛是ARML(AMERICAN REGIONS MATH LEAGUE) 。ARML每年大概有两千学生参加，包括个人和团体赛，还有别具一格的解题接力竞赛。主要赛事在5月底分四个赛区举办。从2008年开始，又增加了一个3月份的本地赛事，学生在当地参赛，成绩交到总部进行大排名，从而决出全国的名次。从2009年开始，还增加了一个国际赛事，外国学生可以到美国参赛，也可以通过上网参赛。这些数学竞赛的优胜者都可从大学、政府机构或一些教育方面的基金会获得高额的奖学金。再有就是MOEMS和Math League。MOEMS是给4到8年级的学生参加，赛季从11月到3月，每月一赛，参加者就有证书，一半人能得奖。有一些题目是有奥数的思路的，也有一些题目较生涩。Math League从四年级到高中都有，基本上就是考学校的基础知识，难度不大。还有就是各州、郡，机构，甚至有些大学举办的小型或特别的数学竞赛，旨在普及数学教育，给学生参与的机会。
总之，数学竞赛为初、高中的学生提供了开发智力和显露天赋的机会，人人都有机会参加，而且并不是只有少数数学尖子才能取得好成绩。每个参加竞赛及相关训练的孩子都有可能从中得到意想不到的收获，而且能够增进将来上大学和求职的机会。
更多内容请到王牌数学网站http://www.mathzoom.org/查询。王牌数学是享誉全美的奥林匹克数学训练学校。联络电话（714）389-2818。
华尔街日报文章：数学是最好的职业
星期一, 3月 16th, 2009华尔街日报2009年1月6日发表了一篇以英文标题“Doing the Math to Find the Good Jobs” 的文章。 标题直译是“算一算怎样找到好工作”，但其中的“Doing the Math”却有着双关的意思。因为文章是关于美国最好和最差的职业大排名。在所调查的200多种职业中，数学家被列为最佳职业之榜首。接下来的前二十名当中，半数以上跟数学有着密切的关联。众所周知，数学几乎是所有学科的基础。
原文链接：
http://online.wsj.com/article/SB123119236117055127.html
原粥绿
星期一, 3月 16th, 2009山巅一寺一壶酒，尔乐，苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐！