卡丹与三次方程
By drkevin | 3月 16, 2009
一九九六年，图雅等人在中文网上发起“奥秘工程”，号召大家为中小学生撰写科普文章，结集在国内发表，为孩子们做些事。
下面这篇文章就是为“奥秘工程”写的。可惜“奥秘工程”最后不了了之。
图雅又称秃鸦，是中文网一大传奇人物。他好像也是数学出身。他写了一篇关于三次方程的故事，我本来是催他接下去写写
卡丹，但是在众网友的怂恿下，自己出手了 
两篇文章同时发在新语丝1997年增刊第一期。
卡丹与三次方程
图雅的文章中讲到，费厄用三次方程向方台纳挑战，方台纳大获全胜。
象费厄的老师费罗一样，方台纳发现了三次方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法后，
把它当作秘密武器，秘不示人。各地的信件象雪片一样飞来，向方台纳询问
解法，但他一概不理。时间久了，人们见他不肯开口，渐渐地来信少了。但
是其中有一个人，仍然一而再、再而三地来信，语气一次比一次恳切，最后
说得方台纳也有些心软了。这个人来自米兰，名叫卡丹（Ｇｉｒｏｌａｍｏ
Ｃａｒｄａｎｏ）。从此，故事出现了意想不到的转折。
在继续讲三次方程的故事之前，这里有必要讲一讲卡丹其人。
卡丹的一生很不平凡，可以算是跌宕起伏，波澜壮阔。他的出生就不一
般：卡丹的父母并不想要这个孩子，他们用尽了各种堕胎药，但始终没有奏
效。卡丹出生的时候又是难产，用他在自传中的话说，是“被硬生生地从母
亲的子宫中拽出来的”。呱呱坠地后又差点夭折，是医生用热酒给他从头到
脚洗了一遍，才保住了性命。
出生就如此艰难，可以想像卡丹一辈子的身体状况都很差。一连七八夜
失眠是家常便饭，心脏、肾脏功能不良，还有大大小小的各种其他疾病。实
际上他的精神也不完全正常。他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳臂
上的皮肤，直到疼得流出眼泪。照他自己的说法，这样做是因为停下来时的
感觉无比舒畅。
健康状况不佳，并不是卡丹仅有的困难。他在帕多（Ｐａｄｕａ）大学
读医科，以优异成绩毕业，然而米兰地方政府却不发给他行医执照。很明显，
他的古怪性格是不发给他执照的一个主要原因。这段时间是卡丹一生中的一
个低谷。于是他只好搬到帕多附近的小城萨可（Ｓａｃｃｏ），在那里行医。
一天夜里，他梦见了一位白衣少女。而时隔不久，他就遇到一位姑娘，和梦
中见到的一模一样。卡丹非常相信梦的含义，所以很快就爱上了这位姑娘并
和她结了婚。
卡丹不仅相信梦，还相信占星术，相信可以通过雷雨来预测未来事件。
他相信自己有很多保护神，甚至在大庭广众之下和“保护神”说话。
他的另一个爱好是赌博。他在自传中承认自己是个赌棍，天天都赌。好
在他同时利用自己这个坏习惯进行了科学研究，写了一本名叫《机会的游戏》
（Ｂｏｏｋ ｏｎ Ｇａｍｅｓ ｏｆ Ｃｈａｎｃｅ）的书，在他死后发
表了。这是世界上第一本对概率论做严肃的数学探讨的书。
卡丹在萨可从１５２６年住到了１５３２年。他感到在这个小城住下去
实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依
旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。
他举办了很多科普讲座，在
贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，
都获得了很大的成功。１５３６年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种
弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。１５３９年
米兰医学院聘用了卡丹，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概
是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教
皇。
可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。１５４６年，卡丹的妻子去世，
年仅３１岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Ｇｉａｍｂａ
ｔｔｉｓｔａ）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医
学方面的天赋，在帕维亚（Ｐａｖｉａ）获得了医学学位。１５５７年，
蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和
谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生育了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇
巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋
杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，
但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他
的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。
１５６２年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳（Ｂｏｌｏｇｎａ）大学
的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Ｆａｚｉｏ）赴任。
法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的
亲生子女所没能带来的亲情。
新的环境并没有给卡丹的生活带来安宁。当时意大利的教会正在极力
反对欧洲的基督教改革运动，对各种“异端邪说”的惩罚非常严厉。卡丹
在１５７０年被捕入狱，罪名之一是他曾写过一本书，书中介绍了一位反
基督教的罗马皇帝。令人惊讶的是，在朋友的努力下，卡丹不仅后来获释
出狱，还去了罗马，接受了由教皇亲自颁发的一份养老金。
１５７６年９月２０日，经历了一波三折、大起大落的一生，卡丹在
平静中去世。用现代人的眼光看来，卡丹的一生非常富有传奇性，又充满
了自相矛盾。他是个高产的作家，他的著作涵盖了很多方面的内容，有科
学，也有非科学。他的思想一方面体现了现代的理性思维方式，另一方面
又带有强烈的中世纪迷信色彩。一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布
尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将
是无与伦比的。”
下面我们回过头来接着讲三次方程的故事。１５３５年，方台纳击败
费厄之后，卡丹一次又一次地给方台纳写信询问解法。方台纳严辞拒绝，
并说自己准备将来就这个解法写一本书。卡丹一开始很生气，但后来改变
了策略，用恳切的语言请方台纳到米兰作客。１５３９年，在方台纳作客
期间，卡丹以基督教徒的身份起誓，至死也要保守秘密，绝不向他人泄露。
方台纳受了感动，于是把方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法告诉了卡丹。
不久以后的一天，一个叫费拉里（Ｌｕｄｏｖｉｃｏ Ｆｅｒｒａｒｉ）
的年轻人来到卡丹家，希望找一份工作。卡丹把他收下做了仆人，但是很
快发现这个孩子特别聪明，于是主仆关系迅速转变为师生关系。卡丹给费
拉里讲了方台纳的解法，然后两人一起研究，取得了惊人的进展。对最一
般的三次方程：Ｘ＾３＋ｂＸ＾２＋ｃＸ＋ｄ＝０，卡丹找出了解法；然
而他的解法依赖于把一般方程简化成Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的形式，而由于对
方台纳的誓言，卡丹自己的发现也不能发表。同时，费拉里发现了四次方
程的解法。这是代数学的一个巨大的进展，但是这个解法需要把四次方程
简化为一个相关的三次方程来解，所以碍于卡丹的誓言，仍然不能发表。
师徒二人手中掌握着当时代数上最重要的发现，却不能发表，其心情可想
而知。
１５４３年，卡丹和费拉里来到波隆纳。他们找到了费罗的手稿，其
中就有Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程的解法。对于卡丹来说，这无疑解除
了誓言的约束，因为这个解法来自费罗，而不是方台纳。至于费罗的解法
和方台纳的解法一模一样这个事实，卡丹就假装不知道。
１５４５年，卡丹发表了他的数学名著《伟大的艺术》（Ａｒｓ Ｍ
ａｇｎａ）。卡丹认为代数是一门“伟大的艺术”。这本书共有四十章。
在书中，他介绍了不同形式的二次和三次等多项式方程的求解方法。第十
一章讲的就是Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程。在这一章的开头，卡丹写道：
“三十年前，费罗发现了这个解法并在后来教给了费厄。费厄向塔塔格利
亚挑战，使塔塔格利亚有机会也发现了这个解法。他在我的恳求下把解法
告诉了我，但没有讲它的证明。依靠这些协助，我证明了这个解法的正确
性。这个问题难度极大。”
塔塔格利亚就是方台纳。方台纳从小面部受伤，说话受影响，因此得
了个外号“塔塔格利亚”（Ｔａｒｔａｇｌｉａ），意思是“结巴颏子”。
后来他以塔塔格利亚出名，其本名“方台纳”却很少被提起。
虽然卡丹在书中说明了塔塔格利亚的贡献，塔塔格利亚却不满意。他
指责卡丹是个骗子，违背了基督教徒的神圣誓言。卡丹本人对这些指责采
取高姿态，并不反驳；但是他的弟子费拉里对塔塔格利亚进行了猛烈的反
击。费拉里反过来指责对塔塔格利亚抄袭费罗的结果。双方来来往往地互
相指责，对立逐渐升级。１５４８年，塔塔格利亚来到米兰和费拉里进行
公开辩论。卡丹没有出场，塔塔格利亚利用这一点攻击卡丹，说他是因为
心虚。这场辩论最后发展到了白热化的程度，双方动了手。费拉里占有地
利人和之便，所以最终塔塔格利亚能够得以生还，都属侥幸。
至此，三次方程的故事算是告一段落。现在，三次多项式方程的根式
解的公式，一般称为“卡丹——塔塔格利亚公式”。最后值得一提的是，
１８２４年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Ｎｉｅｌｓ Ａｂｅｌ）证明了
五次和五次以上的多项式方程不存在根式解，给多项式方程的求解问题画
上了一个完整的句号。
（完）
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1:53 am on 3月 17th, 2009
“照他自己的说法，这样做是因为停下来时的感觉无比舒畅。”卡丹不吸毒真是一件怪事呢
“和一个女人结了婚”？O(∩_∩)O~