ACT旧帖
卡丹与三次方程
星期一, 3月 16th, 2009一九九六年，图雅等人在中文网上发起“奥秘工程”，号召大家为中小学生撰写科普文章，结集在国内发表，为孩子们做些事。下面这篇文章就是为“奥秘工程”写的。可惜“奥秘工程”最后不了了之。
图雅又称秃鸦，是中文网一大传奇人物。他好像也是数学出身。他写了一篇关于三次方程的故事，我本来是催他接下去写写卡丹，但是在众网友的怂恿下，自己出手了 两篇文章同时发在新语丝1997年增刊第一期。
卡丹与三次方程 图雅的文章中讲到，费厄用三次方程向方台纳挑战，方台纳大获全胜。象费厄的老师费罗一样，方台纳发现了三次方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法后，把它当作秘密武器，秘不示人。各地的信件象雪片一样飞来，向方台纳询问解法，但他一概不理。时间久了，人们见他不肯开口，渐渐地来信少了。但是其中有一个人，仍然一而再、再而三地来信，语气一次比一次恳切，最后说得方台纳也有些心软了。这个人来自米兰，名叫卡丹（Ｇｉｒｏｌａｍｏ Ｃａｒｄａｎｏ）。从此，故事出现了意想不到的转折。
在继续讲三次方程的故事之前，这里有必要讲一讲卡丹其人。
卡丹的一生很不平凡，可以算是跌宕起伏，波澜壮阔。他的出生就不一般：卡丹的父母并不想要这个孩子，他们用尽了各种堕胎药，但始终没有奏效。卡丹出生的时候又是难产，用他在自传中的话说，是“被硬生生地从母亲的子宫中拽出来的”。呱呱坠地后又差点夭折，是医生用热酒给他从头到脚洗了一遍，才保住了性命。
出生就如此艰难，可以想像卡丹一辈子的身体状况都很差。一连七八夜失眠是家常便饭，心脏、肾脏功能不良，还有大大小小的各种其他疾病。实际上他的精神也不完全正常。他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳臂上的皮肤，直到疼得流出眼泪。照他自己的说法，这样做是因为停下来时的感觉无比舒畅。
健康状况不佳，并不是卡丹仅有的困难。他在帕多（Ｐａｄｕａ）大学读医科，以优异成绩毕业，然而米兰地方政府却不发给他行医执照。很明显，他的古怪性格是不发给他执照的一个主要原因。这段时间是卡丹一生中的一个低谷。于是他只好搬到帕多附近的小城萨可（Ｓａｃｃｏ），在那里行医。一天夜里，他梦见了一位白衣少女。而时隔不久，他就遇到一位姑娘，和梦中见到的一模一样。卡丹非常相信梦的含义，所以很快就爱上了这位姑娘并和她结了婚。
卡丹不仅相信梦，还相信占星术，相信可以通过雷雨来预测未来事件。他相信自己有很多保护神，甚至在大庭广众之下和“保护神”说话。
他的另一个爱好是赌博。他在自传中承认自己是个赌棍，天天都赌。好在他同时利用自己这个坏习惯进行了科学研究，写了一本名叫《机会的游戏》（Ｂｏｏｋ ｏｎ Ｇａｍｅｓ ｏｆ Ｃｈａｎｃｅ）的书，在他死后发表了。这是世界上第一本对概率论做严肃的数学探讨的书。
卡丹在萨可从１５２６年住到了１５３２年。他感到在这个小城住下去实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。
他举办了很多科普讲座，在贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，都获得了很大的成功。１５３６年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。１５３９年米兰医学院聘用了卡丹，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教皇。
可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。１５４６年，卡丹的妻子去世，年仅３１岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Ｇｉａｍｂａｔｔｉｓｔａ）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医学方面的天赋，在帕维亚（Ｐａｖｉａ）获得了医学学位。１５５７年，蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生育了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。
１５６２年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳（Ｂｏｌｏｇｎａ）大学的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Ｆａｚｉｏ）赴任。法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的亲生子女所没能带来的亲情。
新的环境并没有给卡丹的生活带来安宁。当时意大利的教会正在极力反对欧洲的基督教改革运动，对各种“异端邪说”的惩罚非常严厉。卡丹在１５７０年被捕入狱，罪名之一是他曾写过一本书，书中介绍了一位反基督教的罗马皇帝。令人惊讶的是，在朋友的努力下，卡丹不仅后来获释出狱，还去了罗马，接受了由教皇亲自颁发的一份养老金。
１５７６年９月２０日，经历了一波三折、大起大落的一生，卡丹在平静中去世。用现代人的眼光看来，卡丹的一生非常富有传奇性，又充满了自相矛盾。他是个高产的作家，他的著作涵盖了很多方面的内容，有科学，也有非科学。他的思想一方面体现了现代的理性思维方式，另一方面又带有强烈的中世纪迷信色彩。一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的。”
下面我们回过头来接着讲三次方程的故事。１５３５年，方台纳击败费厄之后，卡丹一次又一次地给方台纳写信询问解法。方台纳严辞拒绝，并说自己准备将来就这个解法写一本书。卡丹一开始很生气，但后来改变了策略，用恳切的语言请方台纳到米兰作客。１５３９年，在方台纳作客期间，卡丹以基督教徒的身份起誓，至死也要保守秘密，绝不向他人泄露。方台纳受了感动，于是把方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法告诉了卡丹。
不久以后的一天，一个叫费拉里（Ｌｕｄｏｖｉｃｏ Ｆｅｒｒａｒｉ）的年轻人来到卡丹家，希望找一份工作。卡丹把他收下做了仆人，但是很快发现这个孩子特别聪明，于是主仆关系迅速转变为师生关系。卡丹给费拉里讲了方台纳的解法，然后两人一起研究，取得了惊人的进展。对最一般的三次方程：Ｘ＾３＋ｂＸ＾２＋ｃＸ＋ｄ＝０，卡丹找出了解法；然而他的解法依赖于把一般方程简化成Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的形式，而由于对方台纳的誓言，卡丹自己的发现也不能发表。同时，费拉里发现了四次方程的解法。这是代数学的一个巨大的进展，但是这个解法需要把四次方程简化为一个相关的三次方程来解，所以碍于卡丹的誓言，仍然不能发表。师徒二人手中掌握着当时代数上最重要的发现，却不能发表，其心情可想而知。
１５４３年，卡丹和费拉里来到波隆纳。他们找到了费罗的手稿，其中就有Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程的解法。对于卡丹来说，这无疑解除了誓言的约束，因为这个解法来自费罗，而不是方台纳。至于费罗的解法和方台纳的解法一模一样这个事实，卡丹就假装不知道。
１５４５年，卡丹发表了他的数学名著《伟大的艺术》（Ａｒｓ Ｍａｇｎａ）。卡丹认为代数是一门“伟大的艺术”。这本书共有四十章。在书中，他介绍了不同形式的二次和三次等多项式方程的求解方法。第十一章讲的就是Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程。在这一章的开头，卡丹写道：“三十年前，费罗发现了这个解法并在后来教给了费厄。费厄向塔塔格利亚挑战，使塔塔格利亚有机会也发现了这个解法。他在我的恳求下把解法告诉了我，但没有讲它的证明。依靠这些协助，我证明了这个解法的正确性。这个问题难度极大。”
塔塔格利亚就是方台纳。方台纳从小面部受伤，说话受影响，因此得了个外号“塔塔格利亚”（Ｔａｒｔａｇｌｉａ），意思是“结巴颏子”。后来他以塔塔格利亚出名，其本名“方台纳”却很少被提起。
虽然卡丹在书中说明了塔塔格利亚的贡献，塔塔格利亚却不满意。他指责卡丹是个骗子，违背了基督教徒的神圣誓言。卡丹本人对这些指责采取高姿态，并不反驳；但是他的弟子费拉里对塔塔格利亚进行了猛烈的反击。费拉里反过来指责对塔塔格利亚抄袭费罗的结果。双方来来往往地互相指责，对立逐渐升级。１５４８年，塔塔格利亚来到米兰和费拉里进行公开辩论。卡丹没有出场，塔塔格利亚利用这一点攻击卡丹，说他是因为心虚。这场辩论最后发展到了白热化的程度，双方动了手。费拉里占有地利人和之便，所以最终塔塔格利亚能够得以生还，都属侥幸。
至此，三次方程的故事算是告一段落。现在，三次多项式方程的根式解的公式，一般称为“卡丹——塔塔格利亚公式”。最后值得一提的是，１８２４年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Ｎｉｅｌｓ Ａｂｅｌ）证明了五次和五次以上的多项式方程不存在根式解，给多项式方程的求解问题画上了一个完整的句号。
（完）
乱点鸳鸯谱
星期一, 3月 16th, 2009下面这篇是一九九五年九月在ACT上有人提问，题目是：A、B两个集合各有n个元素，本来有个一一对应的，但是如果随机配对，所有的配对都配错的概率是多少？(原题的描述要有趣一些，但是我不记得了)
乱点鸳鸯谱 (Re: 问题求解)
这个问题有点意思，通俗地讲讲吧。
话说月老给ｎ对少男少女牵红线。谁知这位月老是个马大哈，闭着眼睛乱拴一气，到头来不知多少痴男怨女被错配鸳鸯，有情无缘。只不知道他老人家糊涂到什么程度，哪怕只拴对了一对儿也好嘛。下面就来算算连一对儿都拴不对的可能性有多大。
因为总共有ｎ对男女，一男一女之间拴红线，所有不同的拴法总数是ｎ！（ｎ的阶乘），所以只要数清一对儿都拴不对有多少种拴法，再除以ｎ！就可以得出概率。这是一个计数的问题。
一对儿都拴不对的拴法并不好数，我们可以先数至少拴对了一对儿的拴法，再从总数ｎ！中减掉就行了。至少拴对了一对儿，怎么数呢？先从ｎ对中任选一对作为拴对了的，这有C(n,1)种选择（C(n,1)是ｎ中选１的组合数）；其他红线就随便牵，共有（ｎ－１）！种方法，由此得到一个结果：
S(1) = C(n,1) * (n-1)!
您如果细心，就会发现这个结果其实是不对的，因为假如某种拴法拴对了两对儿，那么它在Ｓ（１）中就被数了两次。所以需要把这些数过两次的算法减掉一次才对。至少拴对了两对儿，有多少种拴法呢？从ｎ对中选出２对，有C(n,2)种选择；其余的红线随便牵，共（ｎ－２）！种方法，于是：
S(2) = C(n,2) * (n-2)!
要算的总数是： S(1) - S(2)
细心人会发现，类似的问题又来了：假如某种拴法拴对了三对儿，那么它在Ｓ（１）中被数了３次，在Ｓ（２）中也被数了３次，两数一减就没了，因此我们比须再把它加回来。用和前面同样的办法算出：
S(3) = C(n,3) * (n-3)!
要算的总数是： S(1) - S(2) + S(3)
下面再考虑拴对了四对儿的拴法。仔细数数（也是用组合数来数），它在上面的Ｓ（１）中数了４次，Ｓ（２）中数了６次，而Ｓ（３）中又数了４次，加加减减之后还剩下２次，这多出的一次还是要减掉，所以：
S(4) = C(n,4) * (n-4)!
要算的总数是： S(1) - S(2) + S(3) - S(4)
依此类推，最后算到ｎ对儿全拴对的拴法数：
S(n) = C(n,n) * 0!
那么至少拴对了一对儿的拴法数目就是：
S(1) - S(2) + S(3) - S(4) + … + (-1)^(n-1) * S(n)
我们要数的是所有的红线都拴错了的拴法数，记为Ｄ（ｎ），应该等于ｎ！减去上面算出的这个数，就得出下列公式：
D(n) = n! - S(1) + […]