数学界的一起”杨李之争”
2009年12月19日星期六大家都知道数学界有一个”Erdos数”的说法, Erdos本人的Erdos数为0, 如果和你合作过的人中Erdos数最小的是k, 那么你的Erdos数就是k+1. Erdos是一个传奇数学家, 发表的论文有1500多篇, 其中很多篇幅超过100页, 获得过沃尔夫奖和柯尔奖.
大家都希望自己的Erdos数越小越好, 安徽芜湖就有一个老师的Erdos数为1. 但是历史上Erdos也曾经厚着脸皮求人家发表文章时让他也署个名, 结果被人家断然拒绝, 讨了一个没趣.然后两个人各自发表了一篇文章. 引发了长达半个世纪的争吵.
这个人就是Selberg, 他获得过菲尔兹奖和沃尔夫奖, 对数学的影响比Erdos还要深远. Selberg在1948年利用自己创立的筛法证明了一个公式. 这个公式非常重要, Selberg称它为”fundamental formula”.Erdos称它为”fundamental lemma”(这可比今年吴宝珠证明的那个fundamental lemma简单多了). Selberg试图用它来给出素数定理的初等证明.
素数定理是说当x非常大的时候, 小于x的素数个数差不多是x/log(x). 传说谁证明了这个定理, 谁就会长生不老.这当然是骗人的. 但是证明素数定理的人确实都比较长寿. 最先证明素数定理的是Hadamard和Poussin, 前者活了98岁, 后者活了96岁.
他们两个的证明使用了深刻的分析工具. 大数学家哈代1921年在哥本哈根做报告的时候说素数定理不大可能会有初等的证明,
如果真的出现了初等的证明, 那么数论会迎来巨大的革命.
杨振宁和李政道证明宇称不守恒为什么反响那么大? 因为当时很多大人物认为宇称是守恒的. 有很多的论文从理论上”证明”了宇称是守恒的,
从实验上”验证”了宇称是守恒的. 杨振宁说他和李政道一起一篇一篇的检查那些论文, 最后发现这些论文全都是错的.
哈代是个伟大的数学家, 谁如果能证明哈代错了, 那自然会引起巨大的反响.
但是Selebrg当时遇到一个签证问题, 华罗庚建议他去加拿大申请签证. 于是他不得不放下手头的研究工作, 准备去加拿大. 当时在普林斯顿访问的一个数学家Turan是Selberg的好朋友, 他快要离开普林斯顿了, 他请求Selebrg去加拿大之前把那个基本公式告诉他. Selberg同意了,
他知道Turan的水平不足以对他构成任何的威胁. 而且他以为Turan很快就会走.
没想到的是, 等他在加拿大耽搁了很多天, 再次返回普林斯顿的时候, Turan还没有走. 更可怕的是Erdos来到了普林斯顿, 而Turan和Erdos都是匈牙利人, Turan将基本公式告诉了Erdos, Erdos是出名的脑子快的人, 立刻便利用这个公式推出了一个重要的结果. 而最让Selberg担心的是,
Erdos跟他说这个可以导出素数定理的初等证明.
于是Selberg耍了一个花招, 他跟Erdos说这是不可能的. 他精心的设计了一个反例, 向Erdos说明他的想法是错的. 他知道Erdos只懂初等数学, 看不出他的反例其实并不是什么反例, 只是一个骗局. Erdos的确搞不懂那个反例, 但是他坚决的相信基本公式可以给出素数定理的初等证明.
聪明反被聪明误, Selberg的反例后来成了Erdos攻击他的一个有力武器. Erdos在很多地方反复强调”是我Erdos告诉他Selberg这样这样可以证明素数定理, 而Selberg根本不相信, 甚至还举了这个反例给我看.”
想想李政道第一次告诉杨振宁宇称不守恒时杨振宁的反应吧. 杨振宁也是想打击李政道, 让他不要搞这个了. 其实杨振宁早就知道宇称是不守恒的了, 只是还有很多工作没有做完.
Selberg一下子慌了, 眼看煮熟的鸭子要飞走了. 他回家以后集中了全部的精力来研究这个问题, 两天以后终于在Erdos的工作基础上给出素数定理的初等证明. 他告诉了Erdos, Erdos便要求他给一个报告, 他答应了. 他做完报告以后, Erdos立刻就简化了他的证明. 然后Erdos要求两个人联合署名发表素数定理的初等证明, 他当时和Selberg说的是”我们俩就像Hardy和Littlewood那样”.Selberg当然不肯. 因为素数定理的初等证明的主干部分是他的基本公式, 是他Selberg证明的. 最后的临门一脚也是他Selberg完成的. Erdos不请自来, 想分一杯羹,Selberg自然不干.
而且Selberg不久就发现了一个真正简洁的证明, 完全不用Erdos的那个结果.
所以Selberg建议两人各写一篇文章, 各写自己的成果, 分开发表. 他建议Erdos的论文中不要提素数定理. 因为素数定理的初等证明是他Selberg给出的, Erdos只是帮助做了一些简化, 简化证明是不值钱的工作. Selberg认为最重要是他没有邀请Erdos合作, Erdos咄咄逼人的行为是他难以接受的.
之后Erdos在世界各地不断的做学术报告, 说自己给出了素数定理的初等证明. 他本来就是一个喜欢旅行的人.Selberg对此非常恼火. Straus讲了这样一个故事:
有一次, Selberg遇到一位同事, 这位同事对他说”你听说过这个激动人心的消息吗? Erdos和一个斯堪的纳维亚的什么数学家一起给出了素数定理的初等证明.”
Straus是爱因斯坦的助手, 对数论很感兴趣, Turan对Erdos讲基本公式时他在场, Selberg对Erdos讲素数定理的初等证明时,他也在场, 所以他说的话, 被很多人当成是事实.
但是实际上, Straus说这个故事是他道听途说来的. Selberg说这个故事完全是编造的.
但是如果不提素数定理, Erdos的工作只是一个精致的小玩意而已. Erdos自然也不干, 于是他写了论文, 投给普林斯顿的《数学年刊》. 主编Weyl在充分听取了双方的陈述之后, 决定不发表Erdos的论文. 之后, Erdos将论文投给了BAMS, 在Weyl的授意下, Jacobson也做出了退稿的决定. Erdos大怒, 立即将论文又投给了PNAS,这次很快就发表了. Selberg的文章迟了一些时候, 发表在了普林斯顿的《数学年刊》上.
当时大家都认为素数定理的初等证明是一件了不起的工作, 第二年Selberg就被授予菲尔兹奖, 也被认为和这项工作有关.Erdos为自己没有能得菲尔兹将耿耿于怀.
实际上哈代的预言是完全错误的. 素数定理不但有初等证明, 而且这个初等证明没什么用. 唯一值得一提的是Selberg为了证明基本公式所创立的Selberg筛法, 后来帮助陈景润证明了1+2. Selberg和Erdos后来的工作都远比这个素数定理初等证明重要的多.
这件事情给两个人都造成了深深的伤害. Selberg虽然和Erdos有这么大的矛盾, 而且他基本上从不与人合作,可是他的Erdos数却很小, 是2. 因为Selberg唯一的一篇与人合写的论文, 合作者是Chowla. 而Chowla与Erdos合作过.
