abada

如下，第一步抓住了叠加原理、统计诠释；第二步抓住了一般李群的生成元框架；第三步抓住对称性。

第一步：

Hilbert空间中，态矢量投影到某个方向或某类方向，得到在那个（或那类）方向的概率幅，其模平方（复平面到原点的距离平方）等于在那个（那类）方向找到粒子的概率。如果那类方向中的各方向是完备的，且是正交归一的，那么在那类方向找到粒子的总概率为1，在具体某个方向找到粒子的概率，取决于在所有那类方向投影展开式中的具体那个方向的投影(比例)。

所说Hilbert空间中某类方向，可能代表相空间中某些动量值，这类方向中的某个方向则代表一个指定的动量值；
所说Hilbert空间中某类方向，也可能代表相空间中某些坐标值，这类方向中的某个方向则代表一个指定的坐标;

等等等等。

第二步：

幺正变换U (即满足UU^(-1) =1 )，使态矢量如下变换：

U|a> = |a’>

同时使算符如下变换：

UAU^(-1) = A’

就可使矢量方程和算符代数关系保持不变。

—-相当于相对论中，洛伦兹变换使物理定律的数学形式保持不变。

无穷小幺正变换 U=1+iεF 或 U=1-iεF 的条件是算符F 为厄米算符（本征值为实数，故其本征值可以代表一个物理观测量值）。

依上可算出：算符A在无穷小幺正变换下的改变量为 iε[F,A]，如果此改变量为0，那么A也为此无穷小幺正变换下的守恒量。

这是关键的一步。

第三步：

根据各种对称性，找到各种幺正算符U.

例如，

1）设U为无穷小时间平移（发展）算符时， 即U=T=1+Hdt/ih, 由 UHU^(-1) = H’ 可得薛定谔方程。再对之做时间发展的幺正变换U=T^(-1)，可得海森堡绘景。

2）设U为无穷小空间平移算符时，即U=1-(i/h)d.p , 由 UrU^(-1) = r-d 可得动量算符对易式： [x,p]=ih

3)设U为无穷小转动变换算符时，即U=1-(i/h)θ.L , 由 UrU^(-1) = r-θxr 可得角动量算符对易式。

4)其他幺正变换，如空间反射变换带来的宇称算符,

等等…… ]]> http://xysblogs.org/abada/archives/6873/feed/ http://xysblogs.org/abada/archives/6806 http://xysblogs.org/abada/archives/6806#comments Tue, 19 Jan 2010 11:52:25 +0000 abada 杂谈 http://xysblogs.org/abada/archives/6806 人类历史上几乎不可能存在过奴隶社会

abada

中国的小学教材就问题很大，使儿童先入为主地接受了一些偏见。

例如小学《法制》教材，一开篇谈到法律是什么时，就说“法律是阶级统治的工具，是要满足统治阶级的利益”，“奴隶社会有奴隶社会的法律，目的是满足奴隶主阶级的的利益”，等等。这种主张只是马克思主义的偏见而已，怎么能以毋庸置疑的语气给孩子灌输？ 西方主流的自然法理念只字不提。改革开放30年了，法制教材还在延续“阶级斗争”为纲的基本理念。什么是自然法？想象一下，如果一个国家（按定义意味着有统一的基本法律）不禁止抢劫、偷盗，不保护私有财产，会如何？有些历史经验或学过一些经济学的人都会知道，这样的国家会很快衰落，在竞争中被迫改革，要么就会消亡。如果一家养猪，任何人可以随便杀吃，这样的人民公社形式，必然降低养猪积极性，导致没有人愿意养猪，使食物短缺，造成饥荒。

其实，问题是，马克思总结的人类社会从原始社会–奴隶社会–到封建社会–资本主义社会–到社会主义社会的规律不但不成立，而且这样的划分就可能是没有根据的。奴隶制社会本身就可能是一个虚构。

我很早就怀疑历史上曾有“奴隶社会”这回事。我认为这是马克思等等的文人虚构。按他们的定义，奴隶制，即奴隶主拥有奴隶的制度。奴隶为奴隶主干活，无报酬，且无人身自由，即被强制劳动。一个人类社会中，如果大部分物质生产领域劳动者是奴隶，这样的社会，叫奴隶社会。我说的是全社会的奴隶制，按他们的定义就是整个社会就是以奴隶为生产力的主力的社会，而且能作为一个社会发展阶段长时间存在，这才是奴隶社会。

我不是无端得出结论的。我们可以从基本的经济规律推测。

试想一下，怎么才能做到大量地逼人干活、强迫劳动？社会如何可能成为一个大规模的强迫劳动的监狱？

除非资方雇佣和养活大量的军人来暴力监工，以防止反抗。既然花如此大的血本来雇佣暴力监工，为何不直接雇他们干活，或用雇监工的钱来给奴隶，让他们自愿地积极地干活？

后来我看到探索频道一个节目，说到考古发现：埃及金字塔的确是工人而不是奴隶建造的。当初到底是谁编造了埃及金字塔是奴隶建造的这个谎言？

华盛顿解散自己家的“黑奴”的时候，“黑奴”还赖着不愿走呢。林肯解放南方“黑奴”的时候，南方“黑奴”根本就不领情，打林肯的南方军人多是“黑奴”。

所谓黑奴，大多是像现代中国到美国的偷渡客一样吧，知识法律地位在美国得不到保障，但强制劳动不可能成为大规模的现象，绝不可能成为大概率事件。

我当然相信任何社会或多或少地存在强制劳动的现象，但是我不相信其规模能达到一个普遍的程度，以致成为一个“奴隶社会”或“奴隶制国家”。按定义，奴隶制，即奴隶主拥有奴隶的制度。奴隶须为奴隶主干活，无报酬，且无人身自由。一个人类社会中，如果大部分物质生产领域劳动者是奴隶，这样的社会，叫奴隶社会。

中国历史考古从来没有发现真正有这样的奴隶社会存在过。西方据说有，但那是否是基督徒的虚构呢？

我把人类历史上不可能真正存在所谓的“奴隶制社会”的想法告诉彭定鼎—米塞斯著作的主要翻译家。他说不一定，因为1个军人可以强迫10个劳力。我的反驳是：在冷兵器时代，1个打10个几乎是不可能的，除非是一个武术大师，而雇佣武术大师必然花费很贵，不如直接给劳力。

显然我这个命题是有风险的，不然就没有科研意义了。

有人可能受电影（可以虚构）影响，认为奴隶可以用脚镣什么栓起来的。

但现实中，成堆成库的镣铐考古挖掘出多少？没见。

就算某些大型工程，比如金字塔、万里长城，如果是奴隶建成，那么考古就会挖掘出大量的镣铐，成堆成库的镣铐，才能佐证。

美国当时黑人的比例，并不等于是“黑奴”的比例，而所谓的黑奴，其中真正被强制劳动的又只是其中一部分。美国的黑奴多是象现在的中国人偷渡或被拐卖的，在美国当时也是少数人，所以按定义，美国从来也没有出现过奴隶制社会, 大规模的奴隶制不可能存在。

埃及金字塔的考古，发现了不少高级的外科手术证据，包括脑外科。许多证据显示建造金字塔的是民工，而不是奴隶。罗马帝国的早期，在征战中有战俘，战俘就像现在的犯人，被强制劳动，但这些战俘不可能是人口多数，所以罗马也不可能是奴隶制社会。

中国的长城也是民工建造的。能想象逼人投资和逼人干活而能出效率的事情吗？

使用军队逼奴干活，还不如让军队直接干活。

自古以来，抗险救灾等很多任务都是军队完成。

军队士兵也并非全被强迫劳动，如果是那样，士兵准会整体倒戈。

那些士兵多半是回家更没饭吃才当兵而已，那算什么强迫？

现在回到根源了。马克思看到有些工人干又脏又累的活，仅仅得到一碗饭的报酬，他想：换了他肯定不干，于是他就认为别人也和他一样不是自愿在干。再加上文学家的描述和渲染，他更相信他的想法了。但是那极可能是错误的想法。

马克思所虚构出的那种奴隶社会很可能根本就不曾在世界大规模存在过，但他意淫出的社会发展规律—共产主义实践，结果导致的北朝鲜，现实上则更接近他想象中的奴隶社会—金正日如同一个大奴隶主。但事实上，即便金正日的社会，人们也无法被大规模地强制劳动，在那里更多地只有消极怠工而已。 ]]> http://xysblogs.org/abada/archives/6806/feed/ http://xysblogs.org/abada/archives/5888 http://xysblogs.org/abada/archives/5888#comments Thu, 17 Sep 2009 05:43:50 +0000 abada 杂谈 http://xysblogs.org/abada/archives/5888 自然法和Meme进化论

abada

进化选择博弈的单位是基因和文化基因Meme，而不是个体或群体的人的“利益”。

进化选择的基本对象，不是个体，而是基因和MEME。 对于人类来说，meme成为完全不亚于基因选择的竞争对象。假定进化选择的基本对象，是个体经济利益或群体利益是错误的。正确的是：基因和MEME。

一人群部落在沙漠中行走，遇到了水资源危机。大家都没有水了，而这时只有一个人发现了一些水，据为私有。

假定有两群这种情况的沙漠中的人，一群人A，头脑中的Meme（不管是学习模仿copy还是变异传播而来的）是，信奉自然法：不得抢夺私有财产；而另一群人B不信奉，因此更可能抢劫。

A人群的水的占有者，更不会遇到抢劫的威胁，因此，解决其他人的喝水问题仍然有更好的解决办法。一个就是：慈善。自愿的慈善行为符合自然法。另一个是借贷。 其他人可以借贷，比如承诺借点水喝了之后，去寻找更多更好的水源。很可能借贷成功，而且水源被大家找到，渡过了大家的危机。 另一个情况就是交换，有人愿意用其他财富想交换水，这时有水者可能动心，由于想要水的人多，这时会出现最高出价者，这个高价正反映了水的稀缺程度，促使人们节约水，又促使人们去寻找新的水源。
最差的情况，大家宁愿渴死也不抢劫，自私的meme利益战胜了自私的基因的利益， 结果是因为没人抢夺，而至少让水的私有者存活了下来，他（即终于有人）到了安全地带繁衍，而他的群体的这种Meme将得到更广泛的传播。

B群人更可能抢劫。抢劫时，物主必然反抗。因此厮杀过程会浪费大量的水。很多人将不是被 渴死的，而是被杀死的。 最后剩下一个人，也极可能被渴死了。

所以，A人群的meme更能遗传，这种Meme被当做自然法的定义。而B族人中的那种MEME自我毁灭性相对更强。

有一个例子，灾难时让女人先逃的道德Meme问题。假设有两个部落，变异出不同的Meme等位，A部落信奉灾难时让女人先逃，B部落流传让男人先逃的MEME。而大灾难到来后，A部落的女人留下的 多，而人口的迅速恢复取决于女人的 数量。相对地， B部落将会不断衰败。所以可以观察到现今几乎所有的文明都主要流传“灾难时让女人先逃”的 MEME. 这是另一种比自然法较弱的自然道德的表现。

沙漠中水的例子，实际上正是美国最伟大的总统之一里根，在就职演说中说的故事。 用来强调信仰的作用。

abada  

为了能教、教好自己的孩子，我不得不复习一点儿中学数学。 我时常感觉到：有不少初等数学题也是很有意思、很有乐趣、很好玩的！

 一般给孩子讲到数学天才高斯的故事的时候，都要讲到高斯上小学的时候，就以很快的速度算出了他数学老师布置的问题：

 1+2+3+4+5+…+100=?

 小高斯的方法是把上式子变为：（1+100）+（2+99）+（3+98）+…，其中每项都等于101，而一共有100/2项。所以上式等于101×100/2=101×50=5050. 

 这么快得出结果，使他的老师很惊讶，因为其他同学还在1+2+3+4+..一项一项地算着呢！据说这个故事被晚年的高斯津津乐道。 

上面的数学问题和答案，可以总结为：1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

 我突然想到这个问题：  

1²+2²+3²+4²+…+n² =? 

似乎我中学的时候做过，但已经全忘了用中学方法是怎样做的，只能从头再来。做了半天，试了各种办法，最后终于做出结果了，但中间遇到的挫折，很能说明思维的误区。而最后的解法，又是怎么被偶然地在误区中突然发现的，写个笔记回忆起来也许可以说是意味深长。解题过程似乎说明了，解决问题的时候不要怕失败，在种种的错误、挫折的黑暗的道路上，可能会偶然地、歪打正着发现正确方法的曙光。 

误区1：一个自然的办法就是想能否用小高斯的那个方法去计算。试了，不行。相应的头、尾项相加，结果没有那么显明的规律。这是习惯定势思维的误区，把无法推广的方法，硬要推广。（但看官下面会发现，如果方法是可推广的，那么，思维定势，“推广”方法，却恰恰又是很有用的。所以，问题不在于思维定势，而在于某方法在某方面是否通用、有普适性，在某方面、某种程度上是否具备可推广性。）  

误区2：我想起了求等比数列前n项和的方法。a+aq+aq²+aq³+aq⁴+…+aq^n-1 = ?

设   S=a+aq+aq²+aq³+aq⁴+…+aq^n-1

则  qS=aq+aq²+aq³+aq⁴+…+aqⁿ

上两式相减，得：（1-q)S=a-aqⁿ

于是：S=a(1-qⁿ)/(1-q)   

想到这里，我就设了：S2=1²+2²+3²+4²+…+n² 

并想到随时准备利用这个结果：S1=1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

还容易想到的方法就是：(S1)²与S2对照： 

 (S1)² = (1+2+3+4+…+n)² 

= 1²+2²+3²+4²+…+n² +[1（1+2+3+4+…+n）-1²]+[2（1+2+3+4+…+n）-2²]+[3（1+2+3+4+…+n）-3²]+[4（1+2+3+4+…+n）-4²]+…+[n（1+2+3+4+…+n）-n²]

 结果得到： (S1)²  = S2 + S1xS1 - S2  最后只能是：0=0，什么也得不到。 

 我反复又试了几种类似的方法，结果还是同样得不到任何结果。我继续试： 

 S2=1²+2²+3²+4²+…+n²

= (2-1)² + (3-1)² + (4-1)² + (5-1)²+…+[(n+1)-1]²

= [S2 -1² + (n+1)²] + n*1² - 2*[2+3+4+5+…+(n+1)]  

=[S2-1+(n+1)²]+ n - 2*(S1+n)

=S2+n²+n-2S1 

 上面的方程，最终结果还是把想得到结果的S2给消去了。 真是郁闷啊！但是，却意外地得到了一个结果：

S1= (n²+n)/2 = n(n+1)/2 

 这个结果并不是想要的，因为早已经用小高斯的方法，可以很简单地得到这个结果。但我却记住了，这是另外一种得到S1的公式的方法。这也许是一种意外的收获？

 事实证明，远远不止如此。 当我在继续试了其他方法还是得到0=0之后，我突然来了灵感： 

上面利用S2得到S1的方法，也许是比小高斯的方法更通用的方法，用这个方法，可以试试利用S3而得到S2=?  也许S3是个类似的脚手架，搭上后又被拆掉了，但谁能说脚手架没有用呢？

 结果证明的确如此，天才少年高斯的方法固然简单巧妙，但他的方法不能通用、推广到求S2. 而我在无意中试出来的那种方法，却可以被推广而得到S2的结果，具有解决这类问题时的某种方法意义上的通用性。  

整理这个得到S1的新方法，它无非是利用了公式 （n-1)² = n² -2n + 1

我们现在推广一下， 利用公式 （n-1)³ = n³-3n²+3n-1

设 S3 = 1³+2³+3³+4³+…+n³

及 S2 = 1²+2²+3²+4²+…+n²

及 S1 = 1 +2 +3 +4+…+n 

知：

S3-3S2+3S1-n = (1-1)³+ (2-1)³⁺(3-1)³+ (4-1)³ + … + (n-1)³  = S3 -n³

果然，S3被消去了，但我们可以得到： 

3S2 = 3S1+n³-n 

把 S1= n(n+1)/2 带入上式， 可得： 

S2 = n(n+1)(2n+1)/6 

即： 

1²+2²+3²+4²+…+n²  = n(n+1)(2n+1)/6  

可以设想，用同样的方法，可以利用S4而得到S3即1³+2³+3³+4³+…+n³的公式，依次类推。

abada

国内曾经和不断继续涌现的反相对论者, 往往是因不断地卡在相对论的”前三关”没有过上。

相对论的”前三关”, 其实需要的是伽利略的相对论就够了。伽利略的相对论延伸下去, 才是狭义相对论. 狭义相对论延伸下去,才是广义相对论. 可惜很多人连伽利略相对论那”三关”都没有过。

第一关: “垂直”的相对性。

“垂直”与否是相对的, 这个基本的道理要入门。

你在奔驰的车上, 垂直向窗外扔出一块石头, (忽略空气阻力), 你看石头的轨迹是垂直于车道飞出了窗外, 那么, 地面上的人看石头的运动的轨迹, 却是不垂直于车道的。

飞行员对目标仍炸弹, 都要提前扔。 飞行员看炸弹是”垂直”于飞机和地面下落的；而地面上的人看炸弹, 是斜着飞的，是不垂直于飞机和地面的。因为炸弹下落的同时还有个跟随飞机方向的惯性运动分量。

垂直性的相对论, 在牛顿, 伽利略那里, 也是基本的知识。如果中学课堂上老师没有讲明白这个, 那么是基础教育的悲哀。

可惜的是, 大量的反相论者, 就是这个坎都过不去而造成的。他们常常自以为导出了一个在原来参照系垂直而在新参照系不垂直的”矛盾”, 就推翻了”相对论”.

“垂直”的相对性, 是推导洛伦兹变换的基础之一。 缺乏这个相对性, 不但狭义相对论, 就连伽利略都难理解。

第二关: 直线与曲线的相对性

在奔驰的列车上拍皮球, 皮球的轨迹,在列车上看是直线, 而在地面上看, 是一个接一个的抛物线。

争论皮球的轨迹到底是”直线”还是”抛物线”, 是没有意义的。 这是个相对性的问题。 不指定参照系, 就不会有答案。

第三关: 同一地点的相对性。

在飞驰的地铁上拍皮球，在列车坐标看来，皮球每一次都落在列车地板坐标的同一地点上；而在站台上看，皮球每一次都落在地面坐标或铁轨坐标的不同地点上。

皮球每次落到最低点的位置, 到底是在同一个地点,还是不在同一个地点呢?

这同样是个相对性的问题。 在一个参照系看是同一地点发生的事情，在另一个参照系看却不是在同一个地点发生的。

这三个问题都还没有涉及狭义相对论,都是伽利略范围的相对性问题. 但是, 垂直的相对性是推导狭义相对论洛伦兹变换的基础之一,同一地点的相对性又是爱因斯坦的同时性的相对性的基础之一。到了狭义和广义相对论那里,越来越多的东西成为了与参照系有关的相对的东西, 但这是舍车保帅—保住了一个近似绝对的东西:那就是物理定律的张量方程形式. 物理定律才是绝对的:不以参照系为转移—它无论以哪个参照系预言物理事件, 都是可以成立的.

掌握这三关, 应当是中学物理的基本内容之一。 可惜的是, 我们的中学教育似乎在这方面不很成功, 导致大量的“反相者”由于没有掌握这些最基本的常识（其中还包括石油钻探领域的教授,博导）, 而盲目质疑爱因斯坦的相对论。其实他们的问题停留在伽利略相对论里也过不了关。

作者：abada张宏兵

什么是对位？按辟斯顿的<对位法>一书, 对位Counterpoint，广义说来，是指把不同的东西同时并置。 counter-是“对比、对立、相反”的意思，point是放到一点、同时出现的意思。

不同的东西相继出现，构成“对比”；不同的东西同时出现，构成“对位”。它们的原则都是：相反相成。

对位法与和声学，本身也是相反相成的，所有的对位都要考虑和声问题，而最基本的古典和声学也要考虑对位问题。

下面谈谈巴赫的古典对位法。

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古典和声复调最重要的基础练习，是二声部*一音对一音*

一音对一音，看起来简单，实则较难（因为对之明白者甚少）。

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一音对一音，即使每一对音都同时做短的16分音符的运动，最重要的要点就是：必须把每一个强拍或强位上的每一对音。—–这样，每一对瞬间的纵向二音组合，都要明确地表示一个和弦，及其功能。

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首先要搞明白怎样只用二声部纵向两个音即一个和声音程就表示出一个功能和弦（这些和声音程可转位而不影响功能）：

大调：和声音程13或35表示大调主和弦、24或46代表下属，61可代表下属，也可代表阻碍终止的主和弦。21代表下属类的七和弦。57或72或52代表属和弦，74或24或54代表属七和弦。

（大调中这些6可用b6代替， 有少数时候b7代替7；阻碍终止时可用b61b3和弦代替613和弦）

小调：和声音程61或13表示小调主和弦、72或24代表下属，46可代表下属，也可代表阻碍终止的主和弦。76代表下属类的七和弦。3#5或#57或37代表属和弦，#52或72或32代表属七和弦。

（小调中这些4可用#4代替， 有少数时候5代替#5；阻碍终止时可用#46#1和弦代替461和弦）。

另，小调若用4#5两音一起响可表示导七，4解决到3的同时#5必须跳进到1。此种跳进可见于巴赫《平均律上册》第4首赋格主题。

主类和下属类和弦里，空五度不可用，不能表示任何主或下属功能，但是空五度的52（小调是：37）可以表示属和弦。

除了上述和声音程，其他一切组合暂且禁用！尤其是在强拍或强位要注意：在给旋律进行的中途配一音对一音的对位的时候，尽量找上述和声音程中的不协和音程来配，例如：先看能否配三全音，或2度或7度，最后再试3度或6度，纯5度或纯8度音响太空，除属和弦外不用。

然后，和声就按“主类和弦—-＞下属类（可省略）—-＞属类（可省略）—-＞主类的顺序走。单纯的二声部对位，两声部纵向距离不可太远（通常小于15度），否则中间太空（通常要保证在中音区要有声部，除非短时间除外）；二度音程也不要在高音区太近。二声部不要交越，旋律大跳后一般平稳反行；二声部反向进行更好，最好不要同时大跳；等等。

补充：二声部一音对一音八度可用的唯一例外，是在反行的二声部中表示弱拍的双重经过音（经过和弦），如：

高音：12|3
低音：32|1

还有结束的主和弦可用主音空八度—没有三度的主和弦只有用在在二声部的乐句段落收束中。

补充：虽然21两音可代表大调下属类的七和弦，但其中1必须是主和弦延留下来的不动音，所以已经不是标准的〈一音对一音〉了。典型的一音对一音练习，两个声部都要时时运动。

以上就是1音对1音的关键要点。

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一音对一音写好了，一音对二音就比较容易了：无非是在二音上弱位添一个正常的和弦音或和弦外音，或在强拍使用一个延留音之类的和弦外音。

一音对四音更容易，对的音越多，越容易做到明确表示是什么和弦。

二声部写好了，三声部、四声部就容易了，无非是在中声部添加一个和弦音。（这时两端声部仍然遵循二声部对位规则，但间距可以放宽）。

五声部以上，无非是在中间声部多添充持续不动的主音、属音或下属音。

————————–

二声部一音对一音的训练很重要，二声部一音对一音的频繁转调更需训练。要明白的是：改变三全音是转调中最重要的。因为大调只有一个三全音组合，就是74。小调74代表下属功能，而另外一个三全音#52就明确代表属七。

—–所以一个崭新的三全音就容易明白地、顺畅地显示出一个新调的来临。

————————————————

举一个门德尔松的《无词歌》做例子：

门德尔松的《无词歌》第一首4/4拍E大调

两小节分解和弦伴奏后主旋律开始的第一小节：

第一拍：

E大调：
高音部：3
低音部：1

———————–两端声部的一音对一音立即显示出主和弦。

从第一拍到第三拍：

高音部：321
低音部：123

第二拍是2对2，空八度用于弱拍（第二拍），表示经过和音。

第四拍：弱拍引入新调（属调B大调）的属七和弦，B大调：

B大调
高音部：4
低音部：7

—————-新的升号引入崭新的三全音47相对，立即显示新调的来临。

从第一小节第四拍弱起，进入第二小节：

B大调
高音部：4|3
低音部：7|1

———-三全音47解决到13立即表明转到B大调。13是大三度，明确表示出是大调。

——————————–
第二小节的前三拍与第一小节构造同构，只不过是从E大调移高到B大调：

第二小节B大调
321
123

从第二小节第四拍弱起，引入新的三全音，进入第三小节：

02|1
#5|6

新的三全音显示新调的来临，三全音按上式解决到小三度，所以不是大调
的13，而是小调的61—-所以前面的三全音就是2#5，表示小调的属七。

—-等等。

————————–

古典音乐里纯对位与交响乐中的对位

在巴赫的纯复调乐曲里，我们可以听到2声部纯对位，而在如马勒等的交响乐中，我们可以听到两不同旋律在管弦乐和声背景里的对位。

一般来说，2声部纯对位的复调写作难度要高于交响和声中的对位。比如在管弦乐的和声背景下，只要两旋律都与和声背景不冲突，就算可以成立，不必要求这两个旋律本身去定出和声背景节奏。但在无其他和声背景的纯对位中，仅仅两声部也必须承担起明确和声背景和和声节奏的任务，这样，实际就提高了写作技术的要求。

但是，在管弦乐和声背景下，两对位旋律虽然写作技巧难度降低，但自由度增加，也就是可以允许的各种风格、各种节奏的对位旋律的自由度、可能性增加了。

———————————————

研究巴赫和声学、对位法可归纳繁文缛节成百条，其目的主要有三个，现概括如下：

1、在众多的声部中保持各声部的独立清晰；
2、在频繁的转调中保持各调式的明确清晰；
3、在丰富的和声变换中保持节奏节拍的明确清晰。

只为着这三条明确的目的，就产生了几百条规则，每一条规则都是为这三条明确的目的服务。触犯了任何一条规则，则必使上述目的得到不良影响。

传统古典赋格的写作较难的原因之一就在这里。你不是触犯了这一条规则，就是触犯了那一条。当你触犯某一条的时候，感到不对劲，于是修改。可是当你第二天一听，又有问题，一查原因，是因又触犯了另一条；一改，好一点了，但一回忆，只是又回到了原来的错误上去了。

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关于*听觉焦点*

对于巴赫风格的复调对位，两个声部离的越近，复调效果越好。同样，对位声部音色相差不大，反而更好。

为什么在现代钢琴上，亨德密特的《调性游戏-赋格》也都只用三个声部，且从低声部到高声部的音区范围也有限，类似于巴赫的古钢琴，这是有道理的。

人的耳朵一时只能很集中于一个不大的音区频响范围。要让人同时集中注意两个对位旋律，就不能使这两个对位旋律相隔太远，在音区、空间上都是如此，在音色上也同样相近才好。

而且，同样的音程，相隔一个八度以上时，紧张度会降低，比如九度的紧张度就不如二度，这也是一个原因。音色上、空间上也同样如此：同样的音程，用不同乐器演奏或空间距离较远地演奏，紧张度会降低。

不知医学上有没有*听觉焦点*的说法。”视觉焦点”是人人皆知的。这说明，只有把某些因素更统一、更接近，人们才更注意不同的即对位的因素。

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论和弦外音（谱例略）：

某个别旋律声部可以引入和弦外音（即一些不是这整个和弦的音）丰富这个和弦的曲调与音响。和弦外音与和弦连接一样，是复调基本功的关键。

和弦外音可以理解为是在动音群中加入静音或在静音群中加入动音，以作为色彩变化的佐料，或作为细部的悬念动力因素，使感情色彩紧张度加大。和弦外音也在和声节奏基础上进行拍子细分。

和弦外音包括处于强拍上的或弱拍上的。和弦外音必须在一个声部的旋律上与一个和弦音有二度走向的邻近关系（除非是少数先现音，与其后面的强拍上的和弦本音是同度关系）。和弦外音左边或右边的那个与它有二度关系的和弦音，叫做这个和弦外音的和弦本音。

和弦外音的位置：

（1）试把一个和弦本音放在强拍上，则和弦本音的前面或后面都可以放置其外音，这是此和弦本音的前面或后面的其外音就必处于弱拍。这时和弦的紧张度与没有外音时差别不大，和弦外音只起一个装饰过渡的作用。为了明确它的装饰意义而非和声意义，任何这种和弦外音的时值都不得过长（不但不能比它在强拍上的和弦本音的时值长，而且往往更短），而且最好与后面的和弦音也形成二度级进。

（2）试把一个和弦本音放在弱拍上，*则只能在此和弦本音的前面放置其外音*，这时此和弦本音的前面的外音就必处于强拍。这时和弦的紧张度明显加大，这种强拍上的和弦外音可以统称强倚音。强倚音的时值甚至可以长于它的弱拍上的和弦本音，且常常强奏，以突出它的重拍意义和紧张度。

强倚音也可以隔一个或两个音（这一两个音可能是其他和弦音也可能是其他随后也将正确解决的和弦外音）之后再解决到它应当解决到的和弦本音。

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注意：

（1）弱拍上的和弦外音，在下一个和弦（必是相对强拍）解决时，不能与下一个和弦的和弦音做平行五度或八度、隐伏五度或八度的进行。

（2）任何声部强拍上的和弦外音（强倚音），不得与任何其他声部的解决音作二度的同时发响；非低音声部的强倚音，不得与非低音声部的解决音作二度或七度的同时发响。

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1、延留音

强倚音也可以是上一个和弦的和弦音或上一个和弦的弱外音同度延续下来的结果：这就形成了延留音。延留音是强倚音的一种。它可以用连线与前一个和弦音做同音相连。延留部分之长度不能大于前和弦同音的弱拍部分之长度，而且前面弱拍部分之长度不得小于半拍（可以等于半拍）。

延留音有时可以不在本和弦解决，而一直延续到下一个和弦解决。但必须是比欲解决到的和弦音高二度的延留音才可如此。另有一种情况，就是延留音延留一个小节或整个和弦之后，却成为后面和弦的和弦音，这时就用不着解决，或者说是自己解决了自己。

当是四声部的复调对位时，就有必要交替在各声部不时地加入延留音，或用和声的连接法，目的是避免过多的四声部（或更多声部）同时在和弦强拍起音，而形成整体和弦织体的印象。但是，如果声部超过四个声部（五个声部以上时），使用延留音就常发生困难，因为延留音拍位上不能出现和弦的本音（低音部尚可），所以，超多声部很难使某个和弦音不同时出现，而过多重复排列某两个和弦音，以使空缺的和弦音留给延留音以待解决。能更多地使用延留音的地方，是三声部对位。

当某个声部的延留音解决在和弦的弱拍位上解决到和弦音时，那个声部的节奏拍子就得到了细分。当两个和弦的某声部是二度级进（且下行较好）的旋律连接法时，往往就可以用延留音，使后一个和弦的拍子在弱位上得到细分。

（延留音除了正规解决到本和弦与它有二度关系的和弦本音之外，有时也可能有向上纯四度的跳进解决。）

2、先现音

弱外音也包括高音部的先现音：后和弦的一个音或*外音*，在前一小节或拍子行将结束时，作一个短暂的先现。先现音比其后面的和弦，总是相对处于弱拍或弱位，或者说后面的和弦总是相对于其前面的先现音处于强拍或强位。先现音不但处于弱拍，而且其长度一般不大于半拍，总是比后面的音短。先现音的节奏是为后一个和弦做准备，仿佛后一个和弦的预备装饰音。

先现音不局限于是后面和弦的和弦本音，比如，给强倚音设置的先现音，总是很有效果。

3、经过音

两个和弦音相隔三度、四度或五度的跳进连接，可以在这两个和弦音之间插入一个或几个音以形成以这两个和弦音为首尾的连续的调式音级进或连续半音级进。这些插入的级进和弦外音就叫经过音。

上行的经过音可以用前调的调式音级进，也可以用连续半音级进，但下行的经过音只能用前调的调式音级进。

如果某个经过音处于强拍上，则叫强经过音。强经过音一般放在高音部，放在其他声部则要谨慎。强经过音也是一种强倚音。

当某个声部和弦音之间加进了经过音时，那个声部的节奏拍子就得到了细分。当两个和弦的某声部是三度或四度的旋律连接法时，往往就可以用经过音，使后和弦的拍子得到细分。

4、辅助音

辅助音一般是在弱拍上的，紧接它之前的强拍上的和弦本音，随后它（辅助音）又回到那个和弦本音（虽然有可能那个和弦已经用和声的连接法被换了，但那个和弦本音未动）。辅助音同样是比它两边的和弦本音高二度或低二度（到底使用较高的还是较低的辅助音，要看随后的旋律走向，必须要采用与随后的走向相反的音高位置），当比它的本音高二度时，它一般必须是当前调式音阶中的音；当比它的和弦本音低二度时，它也可以是当前调式音阶中的音，但通常总是比它的和弦本音低小二度（特别是速度较快时）—但导音的辅助音不得是低小二度的除外。同度或八度的和弦音声部，不得在中声部使用辅助音。

辅助音也可以在强拍上，这时它二度紧接它之前的强拍或弱拍上的和弦本音（如果是二度紧接弱拍上的音，那个弱拍上被紧接的音，也可以是一个和弦外音：但只能是后面和弦音的先现音），随后它（辅助音）又在弱拍上回到那个和弦本音。强拍上的辅助音也是一种强倚音。

当某个声部和弦音之间加进了辅助音时，那个声部的节奏拍子就得到了细分。当两个和弦的某声部是同度的和声连接法时，往往就可以用辅助音，使和弦的拍子得到细分。

5、多重和弦外音

上述和弦外音的某一特定种类可以在多个声部的同时运用，形成双重或多重延留音、双重或多重经过音、辅助音或先现音，多重和弦外音一般用密集的排列法。多重和弦外音可能形成假和弦，特别是在弱拍上形成经过和弦或辅助和弦，这些假和弦的功能意义并不重要，其排列法也可以用与低音部有纯四度和弦音的形式，如假四六和弦或三四和弦的形式。其中在两个属功能和弦（第一个在强拍出现）中间的弱拍上形成的下属类和弦，效果也很好。

有时也可以在不同声部同时混合使用延留音、经过音或辅助音。

6、闪避音

试把一个和弦本音放在强拍上，和弦本音的后面都可以放置其上二度或下二度的外音，如果这个外音和它后面继续接下来的音不是级进或同度关系，即这个和弦外音既不是延留音，也不是经过音、辅助音或先现音，则这个外音叫闪避音。

7、拼枝音

如果一个和弦外音级进解决到它的和弦本音，但这个外音的引入却不是级进或同度引入的，则这个外音叫拼枝音。

在强拍上的和弦外音叫强拼枝音，它在随后的弱拍解决到它的和弦本音。它也是强倚音的一种类别。

在弱拍上的和弦外音叫弱拼枝音，它在随后的强拍解决到它的和弦本音。

8、持续音

主要包括主音持续音和属音持续音。持续音往往用在外声部，尤其是低音部，当有持续音存在时，次外声部就要当作真正的外声部处理，遵从外声部的规则。

在有主音（或属音持续音）的时候，其他声部的和声进行，当作不存在这个持续音的时候的规则进行，只是最终要到主和弦（或属和弦）。其他声部的音，也不要与持续音有小二度的过分冲突。

9、在一个乐段或乐句中，也常常周期性地使用某一种特定种类的和弦外音，以取得特定的、强调的表情效果。

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二度和七度的问题：

除属七和弦与导减七和弦外，其他的七和弦都是假的七和弦，必须看成是三和弦上加的一个和弦外音（延留音或强经过音、辅助音），这个外音与某和弦音形成七度或二度的不协和关系。

如果在和弦音与外音之间，或真的或假的七和弦的声部之间，形成了二度与七度的关系，那么，必须遵守以下原则：

1）小二度与大七度问题

任何上方声部在重拍或拍中强位上最好不要有小二度或大七度的同时发响，小二度或大七度的和弦外音可以在弱拍或弱位出现，不在强拍或强位同时立即出现（但可以分解奏出）。且在小二度的下方音（低音部）必须是有预备的结果，且这个延留音即使延留整个和弦或小节，最后也都要做下行级进的解决。

2）大二度问题

任何声部在重拍或拍中强位上少作大二度的同时发响—除非是属七和弦；也可以是二级七和弦的七音与根音，但这时七音必须是延留的结果，且这个延留音即使延留整个和弦或小节，最后也都要做下行级进的解决。

3）七度与八度的问题

除非一个声部保持不动，则任何两声部不可从七度进入到八度，或八度进入到七度。这对大小七度都一样。

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巴赫音乐的节奏与时间不对称（时间箭头）的问题

节奏中表现出时间不可逆，不对称。典型的就是动机弱起–抑扬格。

新疆民族民间节奏，典型的如（*为音符，-为延长，0为休止）：

**-*|*-*-||**-*|*-*-||**-*|*-*-||**-*|*

这个节奏是对称的：时间上倒放保持不变。

而对于抑扬格的旋律动机节奏，如（括号表示一拍细分为几个音）：

（0***）|*—（0***）|*—（0***）|*—

这个节奏是不可逆的。

而巴赫音乐的最大节奏特征，就是这种抑扬格的不可逆节奏，时间上reverse而不对称的节奏。

（用midi软件的reverse编辑功能，时间上倒置一个巴赫的乐谱，你立即会发现，与原先的巴赫风格格格不入，明显是反演了。

巴赫音乐就象正常的电影，而一旦倒带反演，我们就会立即察觉。

巴赫音乐时间反演后明显地与正演的风格不同，这是巴赫音乐的一个独特的特点，而这个特点，似乎描摹着宇宙中的熵定律（时间与箭头、不可逆），符合真实世界的宇宙法则。这个特点，也许是巴赫音乐有方向感、有悬念的一个奥秘所在。）

所谓抑扬格，就是乐句或动机从弱拍、或拍中弱位开始，但无论如何，一般是在强拍、次强拍的长音或较长的音上终止动机或乐句。

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巴赫怎样形成抑扬格、弱起的动机节奏呢？

1、用延留音形成后面节奏的弱起动机，如：

（0***）|*—（-***）|*—（-***）|*—

这是巴赫的典型节奏，见《赋格的艺术》第一首）。

2、在强拍强位设休止符、而在弱拍或弱位起始动机或乐句，如：

（0***）|*—（0***）|*—（0***）|*—

或

（0*）|*–（0*）|*–

与使用延留音节奏一样。

3、细分弱位（如一拍中弱位的后两个十六分音符），如：

（00**）（*-**）|*-

见《平均律第一册》第二首赋格。

4、强位加附点使其后的弱位音变短而形成弱位的弱起动机或乐句

（000*）|（*—*）（*—*）（*—*）

见《赋格的艺术》第二首。

5、自强位到弱位上大的跳进，跳进到弱位之后开始级进（如果继续反折跳进，则形成隐伏声部，其中必有一个隐伏声部是切分节奏）

如：

（1654）（3765）

实际上，第一个1是前面动机的结束音，新的动机就是6543。

这种在巴赫音乐中也比比皆是。

6、用先现音（特别是先现的倚音）

就象阿勒曼德或库朗特舞曲的开始，都是先现音开始，如：:

(0003)|3—-

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通观巴赫《赋格的艺术》，用一个主题，用上述不同的节奏，作出种种的赋格曲，可说是各种抑扬格节奏的典范呈示。

另外，巴赫《C小调帕萨卡里亚与赋格》，也是用上述种种的弱起的抑扬格节奏，由疏到密地作出各种变奏的。

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动机不得不从弱拍或弱位开始 是巴赫更多地运用延留音的更主要目的。

一看巴赫的赋格谱面，就可知巴赫比其他音乐家更多地运用延留音。

某声部运用延留音的结果，是在强拍或强位上，形成了延留音与和弦的冲突，延留音于是急待解决，形成了悬念，这是传统的解释，其实这只是一方面。

还有一方面值得注意：延留音由于占据了强拍或强位，于是此声部延留音后面的动机或乐句，就不得不从弱拍或弱位开始，因而就会在延留音之后形成弱起的动机或乐句。我把这看成是巴赫更多地运用延留音的更主要目的。

考察《平均律第一册》的24首赋格，对于主题，从第一拍后半拍弱起的，有9首，第一拍休止，从第二拍弱起的，有5首，从第二拍后半拍弱起的有2首，三拍子的乐曲从第三拍弱起的，有1首，从第一拍强起，但随后就是休止附，然后从第二拍弱起，有1首。

总计，主题从第一拍强起的，仅有6首。而这6首，大部分是为随后的对题的运用延留音和延留音之后的弱起，做了准备。

所以可看出动机或旋律的*弱起*是巴赫赋格喜用的节奏特征。

(我曾总结巴赫的6种弱起方案，其中注意旋律节奏（0***）|*

所有音符按比例整个伸长为0***|*—道理是相同的。)

帕萨卡里亚的变奏写作，也提供了种种弱起节奏的示范

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弱起的动机与延留音

延留音的使用有助于使其后产生“弱起的动机”节奏。弱起的动机节奏可使音乐更灵活生动，更富有变化和前进的动力。当然，除了用延留音形成后面节奏的弱起动机外，还可以用：细分弱位（如后十六），自强位到弱位上大的跳进，以及在强拍强位音后设休止符（终止动机或乐句）、而在弱拍或弱位起始乐句等方法。

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正确区分“倚音”与“先现音”的区别：

高音部：3|43|32|21|
低音部：0|1-|4-|3-|

上述对位片段，高音部4等每小节重拍上的是“倚音”，是强拍上的和弦外音。即：

43
1-

一小节中，和声是主和弦135，所以4是外音，解决到3。后面小节反复的3，则是延留音，强倚音的一种。

高音旋律若断句应这样演奏：

（3|43）’ （|32）’ （ |21| etc.

而同样的高音旋律，和声低音不同：

高音部：3|43|32|21|1-
低音部：1|50|10|70|1-

则性质全变了。高音43|3中，反复的3，第一个是先现音，是后和弦的和弦音3的先现。断句应这样演奏，成为弱起的抑扬格同音反复动机：

（3|4’） （3|3’ ） （2|2’） （1|1-）

而巴赫的一些赋格中，有的属于先现音的，演奏时要注意。

细心的读者会发现，

从倚音开始到解决音结束的动机是强起弱收的，

（3|43）’ （|32）’ （ |21| etc.

巴赫为了避免强起弱收，而用抑扬格，会怎么和倚音的使用不矛盾呢？

方法一：

用三拍子，而不是二拍子：

高音部：3|433|322|21-|
低音部：0|1–|4–|3–|

旋律奏成：
（3|43）’ （3|32）’ （2|21| etc.

即倚音有预备，因而形成弱起。

上例旋律如下写法更老道，也更有巴赫风格：

（5|43）’ （5|32）’ （5|21| etc.

方法二：

若用二拍子，可这样写作：

高音部：03|4303|3202|21–|
低音部：10|1-1-|4-4-|3—|

也可以形成即有抑扬格，又有倚音的动机。也是巴赫常用手法。

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《平均律》赋格中的基本节奏，绝大多数是作十六分音符细分（除非二分音符为一拍的曲子中，是作八分音符的细分）。比如在2/2拍或4/4拍等，多是把一拍分为四份，在各声部轮流装饰。

更短的音符、更密集的节奏细分也可能出现，但往往用在乐曲中间偏后的高潮部分。有时也稍用较长的节奏做松弛变化。

而赋格曲开始的部分，往往并不立即进入十六分音符的密集细分，而是用较长的节奏逐渐进入。

进一步说，甚至赋格的主题在更多的情况下往往是从较长的音符开始，在接近对题时逐渐过渡到十六分音符，而接着对题往往就是继用十六分音符，去对较长音符时值的主题（答题）。

一般赋格音符的基本节奏是四分之一拍为小单位，而和声变换的基本节奏是半拍。即半拍（在4/4或2/4等是八分音符时值长度，在2/2等是四分音符时值长度）一般就变换和弦。这只是说和弦的基本节奏是半拍，作为变化，有时是一拍甚至更长（用于松弛处），但很少超过一个小节。

如在4/4拍或2/2拍，一拍常被分成四个十六分音符，一拍里又常有两个和弦，所以拍子的细分就常要靠和弦外音。

在强拍或次强拍上的和弦，实际活动的高音部和低音部和弦音之间很少用纯五度；纯八度位置一般只用于大的段落的强拍终结处— 比如用于曲子结束的主和弦，还有一两次的中间段落的在其他调上的全收束转调。

转调的节奏常是一小节或两小节就转调，半小节一转调也常见。有时在松弛处三、四小节一转调也可能。往往是和声功能链从一个调的属七进入那个调的主和弦（I或VI）后就确立了那个调（主和弦中必出现三音，以明确是大三还是小三），确立之后一般即要转调了—-也可以再进行一次或两次这个调的和声功能链，但这个调主和弦的排列位置一般要变（一般是主和弦的旋律位置应逐渐降低），至少是这个调主和弦前面的属七和弦的排列位置、旋律位置要变。赋格就是用不变的主题求变的艺术。

弱拍上高音部和低音部和弦音之间用八度位置，表示经过的弱拍和弦，常见。

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加装饰音，就一定会与和声学发生关系

装饰音可不能即兴乱加，除非你是精通和声与对位的，否则加错了还不如不加。

举例（简谱，括号内为一拍细分）：

(7——-)|1—
(2—5-4-)|3—
(5-4-3-2-)|1—

高音旋律是导音7解决到主音1。平均律乐器导音7不够高（音欠准），不是很舒服，长音7常要用1来装饰，17混合频响，以提高导音的感觉，更舒服。

针对上述特殊低音情况，这样加就是完全错误的：

(17171767)|1—
(2—5-4-)|3—
(5-4-3-2-)|1—

其中357走向246的时候，形成了平行五度，别看是32分音符，内行人仔细听是会觉得难受的。上帝当然是内行。

下面的加法没有错误：

(17171717)|1—
(2—5-4-)|3—
(5-4-3-2-)|1—

许多装饰音的答案几乎可以由和声对位关系来确定。

演奏家常争论巴赫音乐的装饰音从下方音开始还是从上方音开始，其实通常应从和弦外音开始。如（无伴奏大提琴组曲No.5-C小调-前奏曲之前奏）：

下面是首调简谱标记：

例一：

小调主和弦（第三小节第三拍）
高音（小调主音）：#56#56—
低音（小调主音）：6——-

强拍上减少空八度，符合巴赫一贯风格。这须从下方开始。

例二：

另小调主和弦：

高音（小调三音）：212121—
低音（小调主音）：6——-

从四度62（前面有预备），解决到三度61，并且反复几次，高音就是212121–，从倚音到和弦本音。这却是从上方音开始的。

例三：

小调属和弦：

高音：6#56#5—
低音：3——-

和弦外音与本音的关系相当于例二。只不过是例二是主和弦，而例三是属和弦。主或属和弦的三音和五音，常用其上方音起头装饰（这是强拍上四六和弦的由来）。

又如（第八小节第一拍）：属七和弦

高音：2——–
低音：6#56#56#5—

总之，装饰音一般在强位上从和弦外音开始，解决到和弦本音，并来回波动，最终解决到和弦本音。从上方音开始，还是从下方音开始，要对照上面例举的情况。

[强位、弱位的定义：

例如细一拍分为四份1、2、3、4：

1强位，2弱位，3次强位，4弱位。

(强位弱位指和声与音符的变换关系，不一定指演奏力度的强弱，这和一小节内的强拍弱拍道理相同。)]

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关于巴赫赋格密接和应的巧妙问题

密接和应看起来巧妙，可是要同时于主题设计就没有问题。

主题的后半部分应来自密接和应的对位，这样密接和应就没问题。

分析巴赫平均律第一首C大调赋格：

先从主和弦135出发。用一个主音1。

发展为两个音的动机胚胎细胞：12。全曲由此而来。

其中2可看成1的后置和弦外音，也可以把12看成主到下属II级的和弦进行。

然后，把12移到属调高度，12成为56。

给56配和声对位。显然，5配3，6配4，成为主到下属的进行。

于是，34不但成为答题56的伴奏对题，同时又成为原声部主题12的继续。

原声部主题连在一起成为1234。

1234在属调高度上继为5671。

56已配34，接着给71配对位，显然最好是（54）3，形成明确的属七和弦到主和弦的进行。

于是主题就长成为1234（54）3。

答题跟着长为5671（21）7。

接着给（21）7配对位，配62，成为下属到属的进行。

主题长大为1234（54）362。

答题跟着长大为5671（21）736。

给答题剩下的36配对位，显然应是主和弦与VI级，36配56。

主题长大为1234（54）36256。

用一些延留音做节奏变化，主题成为：

1234-（54）3625-（6）。

平均律第一首赋格的主题就这样被设计出来了，一切都是科学合理的过程。

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附：简明传统古典和声要记

abada张宏兵(ZHANG,Hongbing)

巴赫音乐基本用自然大调和和声小调，个别时候用和声大调、自然小调。

自然大调音阶：

自然大调的主音可以是琴键上12个音中的任何音，即至少能形成12个大调。设任何自然大调的主音都唱为Do，记为1；音阶为：

上行：…..1 2 34 5 6 71 2 34 5 6 71 2….

下行：…..17 6 5 43 2 17 6 5 43 2 17 6…..

大调音阶的特点：共7个基本音（1、2、3、4、5、6、7，唱为Do、Re、Mi、Fa、So、La、Ti）。往上或往下都可循环。

相邻的音中只有34之间和71之间是半音。半音是两个音之间的关系，不论上行还是下行。所以43之间和17之间也是半音关系。

而大调中其余的相邻两音之间（除了34和71之间以外），都是全音关系。导音7半音上行到主音1。

半音关系的两音，在钢琴上总是相邻的两键（黑键白键都算），在吉他上，是同一根弦上的相邻的品位之间的音关系。

全音关系在钢琴上则是相隔的两键之间的音关系，在吉他上，是同一根弦上的相隔一格的品位之间的音关系。

在钢琴或吉他上，只要从任意一个音开始，以这个音作为1音，然后按大调上行或下行的全音、半音关系，都可弹出一个大调音阶。

以不同的音作为1开始，可以弹出不同的调。

在自然大调里用b6代替6，成为和声大调；但b6与7之间为增2度，在旋律中常常要避免增2读的进行。

和声小调的主音可以是琴键上12个音中的任何音，即至少能形成12个和声小调。设任何和声小调的主音都唱为La，记为6；音阶为：

上行：…..6 71 2 3 #4 #5 6 71 2 3 #4 #5 6 7….

下行：…..6 5 43 2 17 6 5 43 2 17 6 5…..

导音#5半音上行到主音6。

小调音阶上行67123#4#56唱为La、Ti、Do、Re、Mi、Fi、Si、La；下行65432176唱为La、So、Fa、Mi、Re、Do、Ti、La

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两音之间的关系，常用音程表示。

大调中各两音之间的关系：从大调的任何一个音开始往上数几个音，首尾算上共包含了几个音，这首尾两个音之间的关系就是几度的关系。

如1、2之间是二度关系，1、3之间是三度关系，2、6之间是五度关系，1、6是六度等等。一般最大算到8度关系就够了。

如果二度、三度的两音之间在按顺序数时，包含有一个34半音或一个71半音，则叫小二度、小三度。

如3往上到4，或7往上到1就是小二度，大调音阶中也只有这两个小二度。如2到4就是小三度，因为按顺序2 34三个音之间有一个半音。

而如果二度、三度的两音之间，在按音阶顺序数时不包含小二度，也就是说避开了34和71两个半音，这样的二度或三度就是大二度和大三度。

如1到2就是大二度，1到3就是大三度….。

我们再看四度关系，我们会发现，只有4到7之间没有半音，即4 5 6 7之间共有三个全音，所以4到7叫做三全音。大调各种其余的四度关系，如1到4，2到5，3到6，5到1，6到2，7到3之间，都有一个半音音阶过程，它们都叫纯四度。

之所以叫纯四度，是因为他们和三全音不同，纯四度的两音在同时发音时，是和谐的；而三全音4和7在一起发音时，是不和谐的。

同样，大调音阶中除了只有从7到4的五度才不协和，其余的五度都是完全协和的，完全协和的五度叫做纯五度。纯五度包括15，26，37，41，52和63。

大调音阶中一度（就是同度），八度音程，都叫纯一度或纯八度。

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一个大调中的两音在同时发响时，大三度和小三度是不完全协和音程，是最典型的古典音乐音响效果。而纯八度、纯四度、纯五度都是完全协和音程。完全协和音程的两音，在一起发音时，完全协和，以至于感到有些空，有时古典音乐里常要非常小心地使用。

而二度、七度、三全音（47或74），都是不协和音程。不协和音程常和协和音程在古典音乐中都会使用。

在二声部或多声部的高音部与低音部之间，越不协和的音程越有重量感，越适合放在强拍或拍中强部；反之，越协和的音程显得越轻，越适合放在弱拍或拍中弱位。

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附录 几条和声基础：

四声部大三和弦的排列法：

在大调音阶中，按三度往上排列的1、3、5等三个音，既有不完全协和音程，也有完全协和音程，这些音一起同时发音，具有典型的古典和声音响。在135中，1叫根音，3叫三音，5叫五音。

和声排列，常用四个声部。自上而下分别是高音部、中音部、次中音部和低音部。如弦乐四重奏的第一小提琴，常担任高音部的演奏，第一小提琴，常担任中音部的演奏，中提琴和大提琴，则分别担任次中音部和低音部。

1、3、5三个音要组成四个声部，必须要有一个音在某声部做八度的重复。一般三度音如135的3，不要重复，也不要遗漏。不完全协和的三音，重复则脏，漏掉则过于空。

共有十六种完善的排列法。

原位的三和弦，低音部是根音。上方三声部中三和弦的三个音不重不漏地都出现，
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高音部： 1 1 3 3 5 5
中音部： 5 3 1 5 3 1
次中音： 3 5 5 1 1 3

低音部： 1 1 1 1 1 1

—-上面是原位三和弦的六种正常排列法。

头两排是1做高音旋律，高音和低音之间是八度，所以最和谐稳定，常用于乐曲的开头或结尾；
中间两排是3做旋律，由于既和谐又不空，最被古典大师常用（巴赫、贝多芬）；
右两排是5做旋律，低音和高音是五度，有一种和谐而甜蜜蜜的效果，常用于浪漫曲的开头。

其中奇数列是密集的排列法（上方三声部中相邻的两声部之间是三度或四度），常用于和声在中、低音区；
偶数列是开放的排列法（上方三声部中相邻的两声部之间是五度或六度），常用于和声在高、中音区。

注意：计算开放的或密集的排列法时，低音部并不参与计算。就是说，即使低音部与次中音部是同度，也可能是开放的排列法；即使低音部与次中音部是两个八度，也可能是密集的排列法；总之，开放的或密集的排列法的判断，只看上方三声部。

如果把上面排列的低音部1都换成5音，则得到以五音为低音的三和弦排列。这种三和弦的学习使用，受到严格限制，不是很常用。

而用135的三音3做低音部，则高音部（和其他声部）就不能再出现三音3了。因为不然就会违反三和弦最好不要重复三音的法则。

高音： 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5
中音： 1 5 5 5 1 5 1 1 1 5
次中： 5 5 1 5 5 1 1 5 1 1

低音： 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

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上是第一转位的三和弦（以三音做低音）的十种正常的排列法。前五种是以根音1做旋律，最常用；后五种以五音做旋律。

这些第一转位的和弦，常用在乐句中间，因为高音部虽是1或5，低音部的3则带来非结束感，让音乐有继续进行的悬念。

上面十种排列，分为以1为旋律的和以5为旋律的两个五种排列法；每五个排列法，最上方两声部都是从最密集的位置（重合的同度），到四度（前五个）或五度（后五个），直到最开放的八度为止。
前五个的中间两声部，分别是：四度、同度、五度、八度和四度。
前五个的中间两声部，分别是：五度、同度、四度、八度和五度。

不管任何四声部和弦，排列法总要遵守：上方三声部相邻声部之间，最小是同度，最大是八度。低音部与次中音部之间，最小是一度，最大可以是两个八度。

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把以上的大三和弦排列法中的135三个音，分别换成小三和弦的613三个音，则同样可得小三和弦的十六种完善的排列法。
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以上十六种完善的排列法，要在谱上、脑子里、钢琴或吉他的各调上练得滚瓜烂熟。因为所有的古典大师的音乐音响，都是建立在对这十六种三和弦排列法的不断偏离和返回的运动之中的。
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和弦的连接和进行

5 3
3 1
1 6
6(b6) \\ 4 \\
4 \\ 2 \\
2 \\-/——- 7 \\-/——-
7 / #5 /
5 3
3 1
1 6
6 4

——–以上是大小调（左边为大调，右边为小调）的按三度排列的一个虚构音柱模型。大调中的b6意味着是和声大调。

其中，任何相邻的三个音或四个音，可以组成一个和弦。不同的组合构成了不同的和弦。例如613，如461，如7246等等。当然，组成和弦时还需要这些音遵循正确的排列法。

规则：古典大师的音乐中，和弦进行的规则是，不同的和弦在连接时，要遵守从上而下的连接法。从上面的组合，可以进行到下面的组合，但不能反过来，不能从下面的组合进行到上面的组合。

如在大调中，461可以进行到572，甚至也可以跳过572而进行到更下面的135，但是，572就不可进行到461，因为461在572的上方。
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在不同的和声变换时，新和弦若出现在强拍上，则可以延续到后面的任意强拍或弱拍；但新和弦若出现在弱拍上，则最好不要延续到后面的强拍，最好到下面的强拍即变换和弦（至少变换和弦的位置、排列法）；我们为什么能感到强拍和小节？常不是因为力度的强弱，而是在新强拍和新小节中出现了新的和声。

和弦变换的目的，大调中是进行到主和弦135；小调中是进行到主和弦613。但是，要进行到完美排列的主和弦。有时，大调中以最下层的613代替135；小调中以最下层的461代替613，称为阻碍终止或伪诈终止。

大调中在向135的进发过程中，各声部旋律一般遵循6和4往下走，而7则往上走的原则；小调中在向613的进发过程中，各声部旋律一般遵循4和2往下走，而#5则往上走的原则。

比如（大调）：

4 \\ 3
2 \\ 1
6 \\ 5

7 / 1

如（小调）：

2 \\ 1
7 \\ 6
4 \\ 3

#5 / 6

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当然，不同和弦连接时，跳进均可以使用，但在此要注意：一般七和弦的七音要下行级进（或持续到下一个和弦）；声部数目在五声部以下的和声进行，最多只能有两个声部同时进行大跳（超过四度的跳进）。任何两声部不得有平行五度或八度（从纯五度“平行”进行到减五度则可）。—这些是主要的原则，其他的倒可以灵活。

不良的排列法，常会使进行到完善排列的主和弦遇到困难。我们可以分门别类地研究，其实，不管什么和弦，常用的完善的排列法是不多的。
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不良的排列法之一，是无规则地用以和弦的五音为低音的四六和弦或三四和弦（使用这些和弦的规则暂此不提）。

不良的排列法之二，是在强拍上的和弦的低音部与高音部之间经常出现五度和八度的空泛音响。

不良的排列法之三，是和弦进行时，某些和弦排列得按规则不得不进行到主和弦的上述不良的排列法。

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所以，只要不是大的段落结束处：

对于大调：（在大调中，7和6不可大二度同时发响）

高音旋律遇到3音，低音部就是1；

高音旋律遇到1音，低音部就是3或6或2；

高音部是4，低音部就是7或6，有时是2或5；

高音部是6音（或b6），低音部就是4或少数情况下为7

高音部是7，低音部就是4或2或5；

高音部是2，低音部就是7或4或1；

高音部是5，低音部就是4或7，有时是3；

。。。等等。

对于小调：

高音旋律遇到1音，低音部就是6；

高音旋律遇到6音，低音部就是1或4或7；

高音部是2，低音部就是#5或4，有时是7或3；

高音部是4音，低音部就是2或#5

高音部是#5，低音部就是2或7或3；

高音部是7，低音部就是#5或2或6；

高音部是3，低音部就是2或#5，有时是1；

。。。等等。

注意：大调中的属类和弦中的6（或b6），以及小调中的属类和弦中的4，不能放在低音部。

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在巴赫等大师的一个调中，和弦和排列法如此有限，所以，一个调一旦经两三个和弦确立确立，就常常立即转调。

调怎样确立？其实关键就是三全音。一个大调就有且只有一个三全音。新的三全音的引入，就立即预示转调了。
三全音就将确立了一个调，三全音的解决则显示了大调还是小调（看解决到大三度还是小三度）。

小调有两个三全音，除了4、7之外，还有2和#5之间。所以，小调本身具有双重调性。在2和#5占优势时，才明白无误地是小调。很容易避开#5，强调4和7的解决，就是解决到小调的平行大调。

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和声连接（续）：

和弦连接各声部尽可能平稳进行，个别声部可跳进，不能所有声部都跳进，不能所有声部都向同一个方向进行；不能有平行的或隐伏的五度或八度（即两声部保持纯五度或纯八度进行）。
如（大调）：
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高音： 5///i
中音： 2///5——–（与高音部呈平行纯四度许可）
次中： 7///1

低音： 4\\\\\\3

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在改变和弦时旋律声部大跳之后一般做反向缓进。

在按三度排列的和弦音中，三个音的组合排列叫三和弦。根音与根音上方视大三度或小三度视为大三或小三和弦。但根音与五音若不是纯五度关系，而是比纯五度小一个或大一个半音，则不叫大三或小三和弦，而叫减三或增三和弦。

四个音按三度叠置可构成七和弦，之所以叫七和弦，是因有一个与根音低音的不协和的七度音。如2461的1是七音；(#)5724的4是七音；7246的6也是七音。

除”属七和弦”5724″的4以外（小调3#572的2以外），其他七和弦的七音都必须尽可能平稳地引入。

所有和弦的七音，都要下行一个半音或全音解决到下面的和弦的和弦音。

IV->II的进行：IV在强拍先出现，II在弱拍后出现。I->VI的进行：I在强拍先出现，VI在弱拍后出现。

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论转调：

当前调的属七和弦解决到主和弦后,前调就算确立了。前调一经确立，就可转调。转调前，原调可以停留在某一原调的和声上。然后：

用前调的任何一个自然音或半音（所有12个半音），作为根音，建立一个三和弦（任何根音上都可建立大、小或减三和弦）或七和弦（任何根音上都可建立大三小七、小三小七或减七和弦）。然后，这个三和弦或七和弦可以平稳地进入任何另一个调新的属七和弦，进行转调。也可以连续几个任意的三和弦或七和弦平稳连接后，再平稳地进入任何另一个新的属七和弦，进行转调。

转调时，从“预备和弦”，到“新调的属七和弦”，再到新调的主和弦，完成转调，若只要预备和弦是大三或小三和弦（即协和和弦），则这三个和弦的连接，任何声部都不要连续作同方向的半音进行。即使三个连续同向半音交错在不同声部，只要是和弦内音，就不可。

在大调转入平行小调时，低音部或内声部做三半音连续上行到主音时，尚可容忍（5–#5–6）。

另外，在转入下属调时，可以不通过新调属七和弦，只通过新调下属和弦即可表示转调。

各声部尽可能平稳进行，个别声部可跳进，不能所有声部都跳进，不能所有声部都向同一个方向进行；不能有平行的或隐伏的五度或八度。

作品要统筹做调性布局。不同的曲式、不同的风格、不同时期的作曲家作品，具有不同的调性布局风格。

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实际上，调性布局风格是判定通俗流行乐、古典派、浪漫派等的标志。凡极少转调者，为通俗流行乐；凡在主要乐段局限于近关系转调者，为古典派；凡运用远关系转调（相差4个升降号以上）者，为浪漫派。晚期浪漫派使调性逐渐更为复杂随意，几近解体。

变化半音应与原音保持同一声部，若不在同一声部，叫交错半音进行，这时原音须级进，且级进的方向应与变化音变化的方向相反。

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减七和弦（实际音响只有三个，但可以属于12个大小调）

#5724=(724b6); #461b3=(#2#461); (35b7b2)=(#135b7)

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增六和弦（增六度扩展解决到八度）:

（增六和弦V7、VII7的五音#或b、七音b，高音-低音的关系：#1b3; #24; #4b6; #5b7; 7b2; #2b2. ）

#2
4
——-大（属或下属）或小调（下属）———{和弦461#2或461b3或4b6b1b(b)3}
———————–
7
b2
——-大调（属七）————（和弦b24b6b1）
———————–
#5
b7
——-小调（属）————–(和弦b724b6）
———————–
#4
b6
——-大调（下属）————-（和弦b61b3b5或#4b61b3或#2#4b61)
———————-
#1
b3
——-大调（下属）

———————–

#2
b2
————————————–

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那波里六和弦

b2
b6
4
——-大调
———————–
b7
4
(b)2
——-小调
———————–

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调的关系远近：

C大调：

1、C,F,G,a,e—-主大调，下属大调，属大调，主大调的关系小调，属大调的关系小调；

2、c,f,g;A,E,bE,bA—-主小调，下属小调，属小调；主大调的关系小调的同主音大调，
属大调的关系小调的同主音大调（=主大调的关系小调的属大调），主小调的关系大调，主小调的关系大调的下属 大调（主调小六度音级上的大调）；

3、be,ba. ——-

4、d,D,bB,bb

5、bD,bd,B,b,#F,#f.

———————–

a小调：

1，a,C,A,e,d

2, E,F，

3, c,f, D

4, #f,#F,#c,#C,G,g,bB

5,other

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十五、四维弯曲时空

上面讲了很多数学，现在开始多讲物理。

广义相对论认为任何观察者在任何物体上都可建立参考系，并以同样的张量方程等效地描述某些基本物理定律。还认为物体质能可导致四维时空的弯曲。

我们的视觉往往只能看到三维空间中的二维曲面的弯曲的图像，看见低维空间的弯曲， 并不能证明高维空间是否弯曲。要直觉地看见三维空间的弯曲，就要建立“空间弯曲”的操作定义。

我们在把欧几里德几何空间对应现实世界的时候，是把真空中的光线作为直线的操作性对应物，或者简单地说光子在真空中是按直线运动的。这时欧几里德几何学体系就成为可以证伪的物理学。例如三条光线所构成的三角形，其性质（比如内角和等于p），是否如同欧几里德体系的定理的断言？如果不是，那么光线就不能当作欧氏几何中的直线而运用欧氏定理断言现实世界的空间关系。

但是，我们暂时并不能找到比光线更好的空间基准。我们日常生活中，检查其他物体的线条是否“直”，也是以光线作为“直”的基准而判断的。如果光线都不直了，那么现实世界空间就已经没有了“直”的基准。我们对现实空间也就不能再套用欧氏几何了。我们必须用新的几何学，而光线在新几何学中有新的数学对应概念。如此我们才能运用新几何学结合光线的现实操作，来预言现实世界的某些时空性质。

显然，在加速参考系，即非惯性系，光子并不按直线运动。设想你站在旋转的地球赤道上，向上、向太空发射一个光脉冲。你作为观察者站在地面参考系不动，你会看到光脉冲在向远处快速行进的同时，还会绕地球转动。它的轨迹显然不是直线，而更接近是螺旋线。

爱因斯坦电梯是一个很好的想象实验。如果我们在太空中的密闭电梯中，远离其他物质，我们会失重。但这时如果有火箭不断地为电梯提供一个稳定的加速度，我们电梯就成为一个加速参考系。如果太空中一个光脉冲从我们电梯真空中通过，我们也会观察到一个光脉冲的路径会发生偏折。这时我们看到了电梯参考系的空间是弯曲的。

等效原理断言：我们的那个电梯到底是处在重力场中，还是正在太空中被火箭加速着，我们作为电梯狭小空间中的观察者，是无法辨别的，做任何实验也无法区分这两种环境。因此，一个光脉冲的路径在重力场中，与在加速参考系中一样会偏折。这样的话，重力场也就等效于弯曲空间。

相反地，还可想象我们的电梯在重力场中自由下落。在一段时间内，我们可观察到我们的电梯空间是平直的，我们作为电梯中的观察者，看到光子的路径是直线。电梯中的失重状态等效于孤立系统的惯性系。

上面说的只是我们感到的空间弯曲，但不要忘了四维时空是一个整体。四维时空的弯曲，我们还是难以直觉地看到。在借助抽象的数学的同时，我们可以想象把低维空间的弯曲的性质做推广。

我们还可以把高维空间做切片，成为低维空间。如下图：

http://static4.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft72fee6932d33&690

图中有个时间参数轴t，和一个空间参数虚数轴xi。这是一个弯曲的四维伪黎曼空间—弯曲的四维时空的二维切片膜图示。弯曲的四维时空，降低为二维的时空曲面，让我们看到了。这个曲面上的一个点，就可表示一个事件发生的空间位置和时间刻度。一个质点，包括光子，其运动路径就可以表示为这个曲面上的一条曲线：它在什么时刻，到达什么空间位置，由一条时空曲线决定了。曲线的切线方向则是一个速度分量的方向，其“斜率”则可能表示一个速度分量值，“斜率”的变化可能意味着加速度的存在。这个“斜率”一词之所以加了引号，是因为我们还是为了直觉方便套用了欧氏几何空间中的概念，而在弯曲时空的几何学中，可能有更准确的概念来使用。

注意这个曲面上并不存在直线。因此，在弯曲时空中，我们完全可能建立非惯性系和引力场中的光子等支点运动的四维曲线方程。

（我们还假设，这个四维弯曲时空中这些曲线是处处可微的和可导的，是平滑的，构成一个黎曼流形。一个光滑的皮球是流形，而针尖不是流形。这些概念的确切定义在微分几何数学中可以给出。）

十六、回顾牛顿惯性定律和狭义相对论光速不变原理

自由质点，也叫自由粒子或孤立物体。太空中距离其他物体足够远的的物体, 在一定时间内都可作为近似的孤立物体。断言所有的孤立物体(自由质点)都两两相互做匀速直线运动(包括静止), 就是牛顿第一定律或惯性定律。

孤立物体组确定了惯性系。牛顿第二定律和第三定律都是在惯性系下成立。

狭义相对论也是讨论惯性系中才成立的物理定律。在任何一个确定的惯性系中，光子仍按直线运动，空间是平直的，此惯性系内各网点的钟表也可以调成保持一致，时空也是平直的。

在狭义相对论中，惯性定律仍然成立。惯性系中，光子和其他孤立物体仍遵守惯性定律，按匀速直线运动，或者说惯性系仍然是四维平直时空，光脉冲和孤立物体在四维时空中的轨迹曲线仍然是四维直线。

根据狭义相对论，ds² =g_ijdxⁱdx^j作为两事件的四维时空间距，是惯性系间坐标变换的不变量。一个孤立物体某时从某地出发是一个事件，这个物体某时到达某地是另一个事件，这两个事件的四维时空间距也总是坐标变换的不变量。

而对于一个光子，“出发”和“达到”两事件的四维时空间距总是为0.

也就是说，按狭义相对论，任一惯性系即四维平直时空中，光子走的是四维直线，但时空维度不都是实数（或者说度规分量不都是正数）—因此叫伪欧氏空间，这个时空中一个光脉冲所走的四维直线上的任意两点的四维时空间距，必定是0，而且这一点不以惯性参考坐标系的变换而改变。

十七、弯曲时空中的短程线

在加速参考系或引力场中，一个光脉冲已经不走直线，欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物，四维时空不再是平直的伪欧氏空间，而是弯曲的伪黎曼空间。

因此，惯性定律必须修正。没有了直线，光脉冲和孤立物体，将按什么曲线运动呢？可以推广，它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置，因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。

历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释，但在弯曲时空中已经没有直线路径，作为推广，我们可以合理地假设，在充分小的邻域内，光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条，叫“短程线”。

我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物，不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点，已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如，我们从赤道上一个城市去北极，在地球表面按照那个城市所在的经线行走，也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。

可以设想一个弯曲空间的度规确定了，其几何性质就确定了，其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。

如图：

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft732668b71110&690

在上图中我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q，由于是弯曲空间，它们之间没有直线路径可走，我们要求两点之间的短程线，采用什么方法呢？

我们可以观察短程线有什么独特的性质，根据这些性质，我们可以建立短程线的方程。

我们可观察到，两端固定为P、Q所有曲线中，越短的曲线，在各点受到一个微小的拉伸变形（扰动）之后，这个曲线的总长度变化就越不大；相反，越长的曲线，受到一个微小的拉伸变形之后，曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数，被一个小数来乘，变化越小；越大的数，被一个小数乘，变化就越大。

把这个观察到得性质推广到四维时空，再利用数学上一种叫变分法的技巧，就可以建立短程线的方程。

用数学语言说就是：沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动，则∫ds 的改变量有最小极值。

设此四维曲线上坐标为x^m的各点作微小变动，以使其坐标变为：x^m + dx^m，曲线线元为：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=0~3)

四维速度矢量可以表示为v^m = dx^m/ds.

把线元表达式的两端微分得：

2dsd(ds)= (dg_mn)dx^mdxⁿ + g_mn(ddx^m)dxⁿ + g_mndx^m(ddxⁿ)

          = (g_{mn, l}dx^l)dx^mdxⁿ + 2g_mndx^m(ddx^l)

等式两边除以ds，又根据v^m= dx^m/ds，以及变分法，ddx^l =ddx^l ，

可得：

d(ds)= [(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿdx^l + g_mnv^m( ddx^l/ds)]ds.

把上式两边进行定积分，根据d∫ds= ∫d(ds)，以及对方程右边第二项运用分布积分法，再利用两端点P,Q上dx^l=0这一约束条件，可得到：

d∫ds=∫[(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - d(g_mnv^m)/ds] dx^lds.         

若想保证对任意的dx^l上式都等于0，只有方括号中的式子恒等于0，即方括号中减号所连接的两项必须相等：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ  = d(g_mnv^m)/ds，

上面就是短程线的方程。

因d(g_mnv^m)/ds = g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/ds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mndx^l)/(dx^lds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/dx^l)/(dx^l/ds)

= g_mndv^m/ds + v^mg_{ml, n}vⁿ

                 = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

所以短程线的方程化为：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

即：

g_mndv^m/ds = (1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - g_{ml, n}v^mvⁿ

或        

g_mndv^m/ds+ (1/2) (2g_{ml, n}- g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

再假设：空间有如此的对称性，以至于有：

2g_{ml, n}= g_{lm, n}+ g_{ln, m}

成立，那么有：

g_mndv^m/ds+ (1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

现引进记号：

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，    (17-01)

并令G^s_mn= g^lsG_lmn，

分别称为第一类和第二类克里斯托弗记号。

则短程线方程化为：

g_mndv^m/ds+G_lmnv^mvⁿ= 0，

两边同乘以g^ls，则得：

dv^s/ds+G^s_mnv^mvⁿ= 0，

或写为：

d²x^m/ds² +G^m_ns (dxⁿ/ds) (dx^s/ds) = 0，          (17-02)

这就是短程线的标准方程。

方程第一项为一四维加速度项，说明在弯曲空间，自由质点具有加速度。除非G^m_ns= 0，加速度也为0，这时对应于平直时空的惯性定律。这也说明，G^m_ns与空间弯曲有关，根据它的定义来源，空间弯曲最终由度规所决定。度规若不是常数，就将逐点变化，度规的变化方式决定了空间各点的弯曲状态。

我们现在重新定义自由质点：一旦给孤立物体即自由质点仅仅加入引力场，那么仍然可以把它看做是自由质点。引力场和非惯性系一样，只是改变了时空的度规，使四维时空成为弯曲的。

而在弯曲的四维时空中，自由质点将按照短程线运动。这个断言取代了牛顿第一定律即惯性定律。四维短程线方程(17-02)决定自由质点的加速度，是四维弯曲时空（任何参照系）中自由质点（可处在引力场中）的运动方程。

十八、弯曲时空中的测地线

我们已用变分学的办法给出了弯曲时空中的短程线方程。我们也可以用另一种微分几何的方法得到一个叫测地线的方程，并将看到，测地线与短程线是重合的、一致的。

我们先看平直三维空间中的弯曲的二维曲面图形：

 http://static13.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft73265ba2c59c&690

此曲面是光滑的二维流形，其上任意一点，都有一个唯一的切面，与切面垂直并过切点的所谓“法线”也是唯一的。

但此点的切线不是唯一的，此点切面上过此点的所有直线都是此点的切线。我们需要指定一个初始的切线，给出一个确定的切矢量。

从这个切矢量出发，可平行于法线方向，做切矢量向曲面的投影。或者说，切线与法线所决定的平面，与曲面会有一个相交的曲线。我们看下图：

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft734a28621260&690

此图就是初始切线和法线确定的平面。

在与初始切点M₀足够邻近的邻域内，我们把切点在曲线上作一个微小移动，移动至 M₁点。虽然我们从参考图形上看到的是二维情景，但我们写公式和方程时要写成四维的，以作为推广。

设曲面上每一点x都由参数t所确定。

切点位移矢量是dx^s，切点初始矢量是dxⁿ/dt. 这类似于与运动路径曲线相切的速度矢量。由于所作的是无穷小的位移，dx^s与dxⁿ/dt在一级近似下，是平行的。

在新的切点M₁点有一个新的切矢量（可以不在图平面中而是伸向图平面内或外），设它与M₀点原初的切矢量，改变量为d(dx^m/dt). 从图中可以观察到，在一级近似上，这个改变量矢量的各分量，与原矢量的各分量的大小成线性正比，与切点位移矢量dx^s的各分量大小也成线性正比关系，即：

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.           (18-01)

这就是由初始切矢量所决定的测地线方程的形式。

式中P^m_ns是比例系数，称为仿射联络系数，可以设想它与曲线在此点的弯曲程度有关，因为曲线弯曲程度的大小也会影响切矢量的改变量。P^m_ns最终是由曲面（弯曲空间）的度规所决定的。可以证明：P^m_ns= G^m_ns，就是克里斯托弗符号。

我们把证明放在后面一个 章节，现在先直接使用这个结果。结果是：

d(dx^m/dt)= - G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s，或：

d(dx^m/dt) + G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s = 0.

各项除都以dt，得：

d²x^m/dt² +G^m_ns (dxⁿ/dt) (dx^s/dt) = 0，          (18-02)

这就是测地线的标准方程。

比较它与方程(17-02)，可见两方程完全是相同的形式，只是参数不同。

方程(17-02)以轨迹弧长s为参数，但因光线的ds总为0，使方程(17-02)不能运用于描述光线。而以沿路线的其他参数t的方程(18-02)则能描述光脉冲的运动，虽然这个方程再次表明光线已不是直线。

十九、求解测地线中的仿射联络系数

这节我们求解方程(18-01)中的仿射联络系数，并看到它就是短程线方程(17-02)中的克里斯托弗记号。

对方程(18-01)

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.    

把其中的dx^m/dt 设为逆变矢量A^m ，于是

dA^m = -P^m_ns Aⁿdx^s.               (19-01)

现假设在黎曼空间中，矢量做无穷小移动，保持矢量的长度不变。

则可证明这个假设保证了两矢量的标量积在无穷小移动下不变，证明如下：

因为， 逆变矢量A^m的长度平方为g_mnA^mAⁿ，必是无穷小移动下不变量，

设B^m是另一逆变矢量；则当k为任意数值时, A^m + kB^m仍为逆变矢量。其长度平方为：

g_mn(A^m + kB^m)(A^m + kB^m) = g_mnA^mAⁿ +k(g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m) + k² g_mnB^mBⁿ

由于对一切k值上式必为不变量。已知右边第一项是逆变矢量A^m的长度平方为不变量，除去k的第二和第三项也分别必为不变量。由此看第二项可知，

g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m = 2 g_mnA^mBⁿ 为不变量。

所以g_mnA^mBⁿ为无穷小移动下的不变量。 即：

d(g_mnA^mBⁿ) = d(g^mnA_mB_n) = d(g_mⁿA^mB_n) = d(g^m_nA_mBⁿ) =0.

即 d(AⁿB_n) = d(A_nBⁿ) =0.                    (19-02)

由d(AⁿB_n) =0得

B_ndAⁿ+ AⁿdB_n=0，

AⁿdB_n= -B_n dAⁿ

由(19-01) 知： dAⁿ = -Pⁿ_ms A^mdx^s，所以：

AⁿdB_n=B_nPⁿ_ms A^mdx^s =B_mP^m_nsAⁿdx^s .

上式对所有的Aⁿ都成立，所以方程左边和右边消去Aⁿ可得：

dB_n= P^m_nsB_mdx^s .                       (19-03)

设P^m_ns= g^mlP_lns，可得：                   

dB_n= P_lnsB^ldx^s .

或记为： 

dA_n= P_mnsA^mdx^s .              (19-04)

由于(g^amg_mn),_s = g^a_n,_s=克罗内克尔符号d的偏导数=0，

而(g^amg_mn),_s = g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_{s ，}所以：

g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_s  =0

上式乘以g^bn得：

g^ab,_s + g^amg^bn g_mn,_s  =0

利用上式可知：

A_aA_bg^ab,_s + A^mAⁿg_mn,_s =0

乘以dx^s 得：

AⁿA^mg_mn,_sdx^s + A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.               (19-05)

另一方面，由于无穷小移动下矢量长度不变，所以：

d(g^mnA_mA_n)=0

故： g^mnA_mdA_n+ g^mnA_ndA_m+ A_mA_ng^mn,_sdx^s =0,

即：AⁿdA_n+ A^mA_m+A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.       (19-06)

比较(19-05)和(19-06)，可知：

AⁿdA_n+ A^mA_m= AⁿA^mg_mn,_sdx^s  

代入(19-04)   dA_n= P_mnsA^mdx^s，得：   

AⁿA^mP_mnsdx^s + A^mAⁿP_nmsdx^s = AⁿA^m g_mn,_sdx^s ，

所以：

P_mns + P_nms= g_mn,_s                       (19-07) 

同理，（交换上式的n和s即可），可得：

P_msn + P_smn = g_ms, _n                     (19-08)

同理，（交换上式的n和m 即可）：

P_nsm + P_snm = g_ns,_m                          (19-09)

假设n和s可以互换，

由 (19-07)+(19-08)-(19-09) 可得：

P_mns= (1/2) (g_mn,_s + g_ms,_n - g_ns,_m)      (19-10)

对比(17-01) 所引入的克里斯托弗记号：

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，  

可知：

P_mns= G_lmn 

abada

九、斜交基轴

如上图，设两斜交坐标基轴（单位长度的、分别与各坐标轴同方向的矢量）为e₁和e₂，长度为单位长度1，基轴夹角为q₁₂简称q，它们的标量积e₁e₂定义为基轴e₁在基轴e₂上的投影的长度。

由于e₁e₂=cosq，所以标量积e₁e₂可以反映两基轴之间的夹角。

标量积e₁e₂可简写为e₁₂，

显然e₁₂=e₂₁

又 e₁₁=e₂₂=1

如果是四维，有四个基轴，各轴的关系（标量积）有16个，写成方阵，为：

e₀e₀    e₀e₁     e₀e₂     e₀e₃     

e₁e₀    e₁e₁     e₁e₂     e₁e₃     

e₂e₀    e₂e₁     e₂e₂     e₂e₃     

e₃e₀    e₃e₁     e₃e₂     e₃e₃    

此方阵可简写为 e_ij,(i,j=0,1,2,3).

注意e_ij = e_ji

且当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cosq_ij

对于直角坐标轴:

当i=j时，e_ij =1，当i≠j时，e_ij =cos(p/2)=0.

所以，直角坐标轴的基本方阵为：

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

这个方阵被称为单位矩阵E, 其元素为d_i^{ j}  ,

当i=j时，d_i ^j =1，当i≠j时，d_i ^j =0

d_i^{ j}  是克罗内克尔符号。

十、斜交轴度量系数

再回到斜轴的情况。看图：

如上图，有一矢量dS可在各斜轴上有分量dxⁱ，分量按平行四边形法则推广，这构成了仿射坐标。

看dS的长度平方，按三角形余弦定理：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²-2dx¹dx²cos(p-q)

化简为

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx²cosq

由cosq=e₁e₂可得：

(dS)²=(dx¹)²+(dx²)²+2dx¹dx² e₁e₂

由e₁e₁= e₂e₂=1，可得：

(dS)²= e₁e₁dx¹dx¹  + e₁e₂dx¹dx²

+e₂e₁dx²dx¹ + e₂e₂dx² dx²

上式可简写为：

ds² = e_ijdxⁱdx^j , (i, j=1,2)

这是根据爱因斯坦求和约定。

先看此式在某一特殊情况下的意义：

在狭义相对论四维时空正交坐标中，这时在四维时空正交坐标中，要么时间坐标x⁰取虚轴、空间坐标取实轴，要么反过来，时间坐标x⁰取实轴、空间坐标取虚轴。按后一种习惯，则四维正交坐标基本方阵为：

1    0    0    0

0    -1   0    0

0    0   -1    0

0    0    0    -1

当i=j=0时，元素g_ij=g₀₀=1；

当i=j≠0时，元素g_ij=-1；

当i≠j时，元素g_ij=0.

这时，根据狭义相对论，

ds² =g_ijdxⁱdx^j

=(dx⁰)² -(dx¹)²-(dx²)²-(dx³)²

作为两事件的时空间距，是狭义相对论坐标变换的不变量。

作为推广，ds² =g_ijdxⁱdx^j  可作为较普遍的一种距离定义，不限于正交轴甚至不限于直线轴。这时，这里的g_ij 也不一定是常数。这样建立的空间就是黎曼空间，g_ij就是度规张量。为什么说它是张量，后面将会证明。

十一、球面度规

距离微分的平方：

ds² =g_ijdxⁱdx^j

其中xⁱ,x^j已可以自身不是通常的直线距离坐标或时间坐标，而是它们的参数（函数）即可，只要能表示成：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

且是坐标变换下的不变量，即是黎曼几何的度规表达式。

在四维时空中，m, n=0~3

黎曼距离元求和的各项可以排成方阵：

g₀₀dx⁰dx⁰   g₀₁dx⁰dx¹   g₀₂dx⁰dx²   g₀₃dx⁰dx³

g₁₀dx¹dx⁰   g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²   g₁₃dx¹dx³

g₂₀dx²dx⁰   g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²   g₂₃dx²dx³

g₃₀dx³dx⁰   g₃₁dx³dx¹   g₃₂dx³dx²   g₃₃dx³dx³

四维度规方阵为：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

由于g_mn=g_nm，所以16项中真正独立的量只有10个，（方阵里黑体部分），而其余6个是重复的量。

例，看二维球面度规的表示：

由图可知，球半径R一定时：

ds² =R²da²+(R²sin²a)db²

即：ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb        (10.01)

其中a, b是经度和纬度。对照二维空间度规：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=1~1)

g₁₁dx¹dx¹   g₁₂dx¹dx²

g₂₁dx²dx¹   g₂₂dx²dx²

其中参数x¹=a, x²=b，所以度规方阵成为：

g₁₁dada   g₁₂dadb

g₂₁dbda   g₂₂dbdb

对照(10.01)式可得：

g₁₁=R²    g₂₂= (R²sin²a)  

而其他的g_mn=0,  (m≠n)

因此，此球面二维黎曼度规方阵为：

R²       0

0     R²sin²a

可以看到，其中的 a不是常量，而是变量。

当维数一定时,  若不能通过坐标参数线性变换而将弯曲空间的度规都变为常量，则说明此维数下空间的弯曲是内禀性质的。二维球面就是本质的二维弯曲空间。

补充：

在R不变的二维球面, 不可能通过线性参数变换而把度规都化为常量.  但在R变化的三维球体空间, 却可以通过线性参数变换把度规都化为常量, 化成为平直笛卡儿三维空间.

所以, 二维球面的弯曲是内禀性质的, 而三维空间中球体的弯曲可以不是内禀性质的.

在R有dR变化量的时候，可以类似建立三维空间的球心极坐标度规：

ds²=R²dada+(R²sin²a)dbdb+dR²

度规方阵：

R²         0          0 

0       R²sin²a         0

0       0          1     

虽然含有变量a，R，但实际上空间并不是内禀的三维弯曲空间，因为可以通过线性参数坐标变换变成笛卡儿坐标系：

ds²=dX²+dY²+dZ²

其中X,Y,Z与a，b，R可由线性参数方程变换联系。

化成正交直线坐标后，度规可变为：

1        0        0

0        1        0

0         0        1

是三维单位矩阵，元素为克罗内克尔符号。能建立笛卡儿坐标系，就标志着这是最典型的三维平直欧几里德空间。

十二、证明克罗内克尔符号是张量

由偏微分规则可知：

x^l,_m’ x^m’,_n = x^l,_n = d^l_n ，

当l=n时，d^l_n  =1，

当l≠n时，d^l_n  =0.

d^l_n  是克罗内克尔符号。

按定义，对新坐标中的d^a’_b’同样有：

当a’=b’时，d^a’_b’ =1，

当a’ ≠b’时，d^a’_b’ =0

所以，无论a’=b’或a’ ≠b’时，都有：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = x^l_,m’ x^m’_,n  ，

于是：

x^l_,a’ x^b’_,n d^a’ _b’ = d^l_n ，

这就证明了d^l_n是一张量。

十三、证明g_mn和g^mn是张量

根据狭义相对论，有：

ds² =g_mndx^mdxⁿ

其中g_mn为度规。

一般的逆变矢量有四个分量A^m，其在坐标变换下与dx^m的变换方式相同。

g_mnA^mAⁿ=|A|²

是在坐标变换下的不变量，它是矢量A的长度的平方。

设B^m是另一个逆变矢量；则当l为任意数值时，A^m+lB^m仍是逆变矢量。其长度平方为：

|A^m+lB^m|² = g_mn(A^m+lB^m)(Aⁿ+lBⁿ)

=g_mnA^mAⁿ+l(g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m)+l²g_mnB^mBⁿ

对一切值来说，上式都必为一不变量。由此可知，与l无关的一项以及l与l²的系数，必定分别为不变量。l的系数为不变量：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m

其中第二项也可交换m和n而写为g_nmA^mBⁿ，再由g_nm=g_mn 可知l的不变量系数：

g_mnA^mBⁿ+g_mnAⁿB^m =2g_mnA^mBⁿ

这就证明了g_mnA^mBⁿ为一不变量。它是A^m和Bⁿ的标积不变量。所以，

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnA^mBⁿ

由逆变矢量的定义：

A^m=x^m_,a’ A^a’，Bⁿ= xⁿ_,b’ B^b’ ，

所以

g_a’b’ A^a’B^b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’ A^a’B^b’，

因为上式对A^a’ ，B^b’的一切值成立，所以：

g_a’b’ = g_mnx^m_,a’ xⁿ_,b’

这就证明了g_mn为一2阶协变张量。同理可证g^mn是一2阶逆变张量。

g_mn和g^mn被称为基本张量。

十四、逆变张量和协变张量的关系

设有逆变矢量Aⁿ，按下式的缩并积定义一个矢量：

A_m=g_mnAⁿ

现在证明A_m是一协变矢量。

由逆变矢量的定义可知：

Aⁿ=xⁿ_,a’ A^a’，

于是

A_m=g_mn(xⁿ_,a’ A^a’)= g_a’b’ x^a’_,n x^b’_,m xⁿ_,a’ A^a’ ，

= x^b’_,mg_a’b’  A^a’ ，

再用缩并积定义A_b’= g_a’b’  A^a’ ，所以可得：

A _m= x^b’_,m A_b’

这就证明了，A_m是一协变矢量。

很容易可把上面的证明过程反过来可证明，若A_m是一协变矢量，则必有：A_m=g_mn Aⁿ，其中Aⁿ是一逆变矢量。

将A_m=g_mn Aⁿ两边同乘以g^mn ，得：

g^mnA_m=g_mr g^mrAⁿ=d_m^rAⁿ，

另r=m，则d_m^r=1，于是d_m^rAⁿ= Aⁿ，由此得：

g^mnA_m= Aⁿ ，或

Aⁿ= g^mnA_m .

abada

一、数阵

数阵，或叫数组，常用一个字母附加角标来表示。如:

A^ij

角标可以有0个或几个，用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义，以决定使角标写在上方或写在下方。

不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数。

如数阵：R_ijklm

   （i，j，k，l，m = 0，1，2，3）           

共有5个角标i，j，k，l，m，所以此数阵是5阶的数阵；由于每个角标都能取0~3共四个值，所以是4维数阵。

当各角标都分别取了相同或不同的确定的值，就产生了数阵的一个分量，或叫元素，数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应（映射）。

数阵的所有元素总数是：n的N次方个。

例如，5阶4维的数阵，共有4⁵=1024个分量。

小结：

数阵是一种非连续的N元函数，各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n，数阵的阶为N.

当各自变量都分别取一个确定的值后，就确定了数阵的一个分量，此分量与某确定的实数值或函数产生映射。

特别地，0阶数阵就是一个标量， 对应于一个确定的实数或一个确定的函数（标量场）。

例:

1、矢量

对4维1阶的数阵A_i可列出各分量：

(A_0,  A_1,  A_2,  A₃) 

此1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。

2、方阵

一般地，2阶4维数阵A_ij, (i,j=0,1,2,3)，就相当于矩阵中的4维方阵（或叫4阶方阵，当这样叫时，要注意数阵的维数是方阵的阶数。）

如果方阵g_ij=g_ji，则g_ij和g_ji都叫对称方阵。

相对论中黎曼度规g_mn是4维2阶数阵，有4²=16个分量，这些分量可用方阵列出：

g₀₀   g₀₁   g₀₂   g₀₃

g₁₀   g₁₁   g₁₂   g₁₃

g₂₀   g₂₁   g₂₂   g₂₃

g₃₀   g₃₁   g₃₂   g₃₃

多阶数阵的分量不必一一列出，只要能知道每个分量的对应值即可。

一个4维4阶数阵T^ij_kl，图形上可以表示为这样的的“超方阵”（每个立体网点都有一个分量，没有全部标出）：

二、数阵代数

1、数阵加法的定义

同类数阵（维数相同，阶相同）可加（减），即把两数阵中对应的分量都分别相加（减）。这样可得到一个新数阵。

R_ij = A_ij+B_ij

2、数与数阵的乘法的定义

把一数阵的每个分量分别乘以同一个数（实数或复数），就可以得到一个新数阵，这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如：CR_ijk.

3、数阵与数阵的乘法的定义

把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数（阶可以不同）的数阵的所有分量，可以构成一个新数阵，这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积，其阶数是两个数阵的阶数之和。

R_ijk×R_lm = R_ijklm

三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并

我们强调不同的字母的角标，因为如果是相同的字母，常就表示按照爱因斯坦求和约定，对数阵的相应分量求和。

1、爱因斯坦求和约定：

一个数阵，如果每个角标在此数阵中只出现一次，就表示它取一切可能的分量值；

如果某个角标在此数阵中出现两次，那就必须在上、下角标中各出现一次，并表示它取一切可能的分量值，然后把这些分量值相加。例如，4维的数阵R^j_ij：

R^k_ijk= R⁰_ij0+R¹_ij1+R²_ij2+R³_ij3= S_ij

可见相加的结果是得到了一个4维2阶的数阵S_ij.

所以数阵R^j_ij并非是3阶的，而是2阶的。

所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。

2、数阵的缩并

对任一有上下角标的数阵，可另一个上标和一个下标取相同的字母，从而使此数阵有效角标减少2个，成为几个都降低了2阶的数阵的和，即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。

如对四维四阶数阵R^m_nr^s，可另s=r，就缩并为2阶方阵R^m_nr^r，有16个分量；也可再另n=m，就缩并为标量R^m_mr^r，只有1个分量。

由R^m_nr^r = S^m_n，或R^m_mr^r=C，可以看出，等式某一边的上下角标可以相互约去，而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。

四、方阵的缩并乘法

两个同维数的方阵（2阶数阵），如Aⁱ_a和B^a_j，把行数写为右上角标，列数写为右下角标，它们的缩并乘法定义为：

Aⁱ_aB^a_j=Cⁱ_j

缩并积Cⁱ_j仍是一个方阵（2阶数阵），其第i行第j列的元素（分量），等于方阵Aⁱ_a的第i行的各元素分别乘以方阵B^a_j的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵，缩并积Cⁱ_j的元素（分量）之一C¹₂的值为：

C¹₂ =A¹₁B₂¹+ A¹₂B₂²+ A¹₃B₂³+ A¹₄B₂⁴

方阵的缩并乘法一般不满足交换律，但若两个都是对称方阵，其缩并乘法满足交换律。

方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。

五、矢量与方阵的缩并积

矢量（1阶数阵）Aⁱ与同维数的方阵B_ij阵可有缩并积：

AⁱB_ij=C_j

四维时，AⁱB_ij=A⁰B_0j+A¹B_1j+A²B_2j+A³B_3j

这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。

同样，A_iB^ij=C^j.

六、四维对称方阵，单位方阵和逆方阵

上面说过，若方阵A_ij=A_ji，则A_ij和A_ji就都叫对称方阵。

特殊对称方阵：

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

被称为四维单位方阵E, 其元素为d_i ^j，

当i=j时，d_i ^j =1，

当i≠j时，d_i ^j =0.

d_i ^j被称为克罗内克尔符号。

任何一个4维方阵Aⁱ_j，与单位方阵E的缩并积，仍为原方阵Aⁱ_j，即：

Aⁱ_jE = EAⁱ_j = Aⁱ_j

方阵A的逆方阵A^-1按下式定义：

AA^-1=E

即若两个方阵的缩并积为单位方阵，则这两个方阵互为逆方阵。

把对称方阵g_ij的逆方阵写为g^ij，我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。

于是：

g_ijg^ij=d_i^j，

当i=j时，d_i^j =1，

当i≠j时，d_i^j =0.

且对称方阵的逆方阵g^ij也必为对称方阵，即：g^ij=g^ji

七、张量

在算术中，如果我们已知乘法的定义，我们用方程：

a=(a/b)×b

表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉，如此就定义了除法(a/b).

我们可以用同样的办法定义张量。

在四维弯曲坐标系x^m（m=0,1,2,3）中，任意函数Q的偏微分记为：

EQ/Ex^m=Q,_m

在坐标变换中产生了新坐标系x’，可把撇号加在角标上x^a’，新坐标对旧坐标的偏微分

Ex^a’/Ex^l同样可记为Ex^a’,_l，而旧坐标对新坐标的偏微分Exⁿ/Ex^g’可记为xⁿ,_g’.

设有一数阵T^lm_n，在新坐标下变为数阵T^a’b’_g’ ，如果有：