abada

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十五、四维弯曲时空

 

上面讲了很多数学，现在开始多讲物理。

 

广义相对论认为任何观察者在任何物体上都可建立参考系，并以同样的张量方程等效地描述某些基本物理定律。还认为物体质能可导致四维时空的弯曲。

 

我们的视觉往往只能看到三维空间中的二维曲面的弯曲的图像，看见低维空间的弯曲， 并不能证明高维空间是否弯曲。要直觉地看见三维空间的弯曲，就要建立“空间弯曲”的操作定义。

 

我们在把欧几里德几何空间对应现实世界的时候，是把真空中的光线作为直线的操作性对应物，或者简单地说光子在真空中是按直线运动的。这时欧几里德几何学体系就成为可以证伪的物理学。例如三条光线所构成的三角形，其性质（比如内角和等于p），是否如同欧几里德体系的定理的断言？如果不是，那么光线就不能当作欧氏几何中的直线而运用欧氏定理断言现实世界的空间关系。

 

但是，我们暂时并不能找到比光线更好的空间基准。我们日常生活中，检查其他物体的线条是否“直”，也是以光线作为“直”的基准而判断的。如果光线都不直了，那么现实世界空间就已经没有了“直”的基准。我们对现实空间也就不能再套用欧氏几何了。我们必须用新的几何学，而光线在新几何学中有新的数学对应概念。如此我们才能运用新几何学结合光线的现实操作，来预言现实世界的某些时空性质。

 

显然，在加速参考系，即非惯性系，光子并不按直线运动。设想你站在旋转的地球赤道上，向上、向太空发射一个光脉冲。你作为观察者站在地面参考系不动，你会看到光脉冲在向远处快速行进的同时，还会绕地球转动。它的轨迹显然不是直线，而更接近是螺旋线。

 

爱因斯坦电梯是一个很好的想象实验。如果我们在太空中的密闭电梯中，远离其他物质，我们会失重。但这时如果有火箭不断地为电梯提供一个稳定的加速度，我们电梯就成为一个加速参考系。如果太空中一个光脉冲从我们电梯真空中通过，我们也会观察到一个光脉冲的路径会发生偏折。这时我们看到了电梯参考系的空间是弯曲的。

 

等效原理断言：我们的那个电梯到底是处在重力场中，还是正在太空中被火箭加速着，我们作为电梯狭小空间中的观察者，是无法辨别的，做任何实验也无法区分这两种环境。因此，一个光脉冲的路径在重力场中，与在加速参考系中一样会偏折。这样的话，重力场也就等效于弯曲空间。

 

相反地，还可想象我们的电梯在重力场中自由下落。在一段时间内，我们可观察到我们的电梯空间是平直的，我们作为电梯中的观察者，看到光子的路径是直线。电梯中的失重状态等效于孤立系统的惯性系。

 

上面说的只是我们感到的空间弯曲，但不要忘了四维时空是一个整体。四维时空的弯曲，我们还是难以直觉地看到。在借助抽象的数学的同时，我们可以想象把低维空间的弯曲的性质做推广。

 

 

我们还可以把高维空间做切片，成为低维空间。如下图：

 

 

 

http://static4.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft72fee6932d33&690

 

 

图中有个时间参数轴t，和一个空间参数虚数轴xi。这是一个弯曲的四维伪黎曼空间—弯曲的四维时空的二维切片膜图示。弯曲的四维时空，降低为二维的时空曲面，让我们看到了。这个曲面上的一个点，就可表示一个事件发生的空间位置和时间刻度。一个质点，包括光子，其运动路径就可以表示为这个曲面上的一条曲线：它在什么时刻，到达什么空间位置，由一条时空曲线决定了。曲线的切线方向则是一个速度分量的方向，其“斜率”则可能表示一个速度分量值，“斜率”的变化可能意味着加速度的存在。这个“斜率”一词之所以加了引号，是因为我们还是为了直觉方便套用了欧氏几何空间中的概念，而在弯曲时空的几何学中，可能有更准确的概念来使用。

 

注意这个曲面上并不存在直线。因此，在弯曲时空中，我们完全可能建立非惯性系和引力场中的光子等支点运动的四维曲线方程。

 

（我们还假设，这个四维弯曲时空中这些曲线是处处可微的和可导的，是平滑的，构成一个黎曼流形。一个光滑的皮球是流形，而针尖不是流形。这些概念的确切定义在微分几何数学中可以给出。）

 

 

 

 

 

十六、回顾牛顿惯性定律和狭义相对论光速不变原理

 

自由质点，也叫自由粒子或孤立物体。太空中距离其他物体足够远的的物体, 在一定时间内都可作为近似的孤立物体。断言所有的孤立物体(自由质点)都两两相互做匀速直线运动(包括静止), 就是牛顿第一定律或惯性定律。

孤立物体组确定了惯性系。牛顿第二定律和第三定律都是在惯性系下成立。

 

狭义相对论也是讨论惯性系中才成立的物理定律。在任何一个确定的惯性系中，光子仍按直线运动，空间是平直的，此惯性系内各网点的钟表也可以调成保持一致，时空也是平直的。

 

在狭义相对论中，惯性定律仍然成立。惯性系中，光子和其他孤立物体仍遵守惯性定律，按匀速直线运动，或者说惯性系仍然是四维平直时空，光脉冲和孤立物体在四维时空中的轨迹曲线仍然是四维直线。

 

根据狭义相对论，ds² =g_ijdxⁱdx^j作为两事件的四维时空间距，是惯性系间坐标变换的不变量。一个孤立物体某时从某地出发是一个事件，这个物体某时到达某地是另一个事件，这两个事件的四维时空间距也总是坐标变换的不变量。

而对于一个光子，“出发”和“达到”两事件的四维时空间距总是为0.

 

也就是说，按狭义相对论，任一惯性系即四维平直时空中，光子走的是四维直线，但时空维度不都是实数（或者说度规分量不都是正数）—因此叫伪欧氏空间，这个时空中一个光脉冲所走的四维直线上的任意两点的四维时空间距，必定是0，而且这一点不以惯性参考坐标系的变换而改变。

  

 

 

 

 

十七、弯曲时空中的短程线

 

在加速参考系或引力场中，一个光脉冲已经不走直线，欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物，四维时空不再是平直的伪欧氏空间，而是弯曲的伪黎曼空间。

 

因此，惯性定律必须修正。没有了直线，光脉冲和孤立物体，将按什么曲线运动呢？可以推广，它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置，因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。

 

历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释，但在弯曲时空中已经没有直线路径，作为推广，我们可以合理地假设，在充分小的邻域内，光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条，叫“短程线”。

 

我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物，不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点，已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如，我们从赤道上一个城市去北极，在地球表面按照那个城市所在的经线行走，也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。

 

可以设想一个弯曲空间的度规确定了，其几何性质就确定了，其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。

 

如图：

 

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft732668b71110&690

 

 

在上图中我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q，由于是弯曲空间，它们之间没有直线路径可走，我们要求两点之间的短程线，采用什么方法呢？

 

我们可以观察短程线有什么独特的性质，根据这些性质，我们可以建立短程线的方程。

 

我们可观察到，两端固定为P、Q所有曲线中，越短的曲线，在各点受到一个微小的拉伸变形（扰动）之后，这个曲线的总长度变化就越不大；相反，越长的曲线，受到一个微小的拉伸变形之后，曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数，被一个小数来乘，变化越小；越大的数，被一个小数乘，变化就越大。

 

把这个观察到得性质推广到四维时空，再利用数学上一种叫变分法的技巧，就可以建立短程线的方程。

用数学语言说就是：沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动，则∫ds 的改变量有最小极值。

设此四维曲线上坐标为x^m的各点作微小变动，以使其坐标变为：x^m + dx^m，曲线线元为：

ds²=g_mndx^mdxⁿ       (m, n=0~3)

四维速度矢量可以表示为v^m = dx^m/ds.

把线元表达式的两端微分得：

2dsd(ds)= (dg_mn)dx^mdxⁿ + g_mn(ddx^m)dxⁿ + g_mndx^m(ddxⁿ)

          = (g_{mn, l}dx^l)dx^mdxⁿ + 2g_mndx^m(ddx^l)

等式两边除以ds，又根据v^m= dx^m/ds，以及变分法，ddx^l =ddx^l ，

可得：

d(ds)= [(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿdx^l + g_mnv^m( ddx^l/ds)]ds.

 

把上式两边进行定积分，根据d∫ds= ∫d(ds)，以及对方程右边第二项运用分布积分法，再利用两端点P,Q上dx^l=0这一约束条件，可得到：

d∫ds=∫[(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - d(g_mnv^m)/ds] dx^lds.         

 

若想保证对任意的dx^l上式都等于0，只有方括号中的式子恒等于0，即方括号中减号所连接的两项必须相等：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ  = d(g_mnv^m)/ds，

 

上面就是短程线的方程。

 

因d(g_mnv^m)/ds = g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/ds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mndx^l)/(dx^lds)

= g_mndv^m/ds + v^m (dg_mn/dx^l)/(dx^l/ds)

= g_mndv^m/ds + v^mg_{ml, n}vⁿ

                 = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

 

所以短程线的方程化为：

(1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ = g_mndv^m/ds + g_{ml, n}v^mvⁿ，

 

即：

g_mndv^m/ds = (1/2) g_{mn, l}v^mvⁿ - g_{ml, n}v^mvⁿ

          

或        

g_mndv^m/ds+ (1/2) (2g_{ml, n}- g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

 

再假设：空间有如此的对称性，以至于有：

2g_{ml, n}= g_{lm, n}+ g_{ln, m}

 

成立，那么有：

 

g_mndv^m/ds+ (1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})v^mvⁿ = 0.

 

现引进记号：

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，    (17-01)

并令G^s_mn= g^lsG_lmn，

 

分别称为第一类和第二类克里斯托弗记号。

 

 

则短程线方程化为：

g_mndv^m/ds+G_lmnv^mvⁿ= 0，

两边同乘以g^ls，则得：

dv^s/ds+G^s_mnv^mvⁿ= 0，

或写为：

d²x^m/ds² +G^m_ns (dxⁿ/ds) (dx^s/ds) = 0，          (17-02)

 

这就是短程线的标准方程。

 

方程第一项为一四维加速度项，说明在弯曲空间，自由质点具有加速度。除非G^m_ns= 0，加速度也为0，这时对应于平直时空的惯性定律。这也说明，G^m_ns与空间弯曲有关，根据它的定义来源，空间弯曲最终由度规所决定。度规若不是常数，就将逐点变化，度规的变化方式决定了空间各点的弯曲状态。

 

我们现在重新定义自由质点：一旦给孤立物体即自由质点仅仅加入引力场，那么仍然可以把它看做是自由质点。引力场和非惯性系一样，只是改变了时空的度规，使四维时空成为弯曲的。

 

而在弯曲的四维时空中，自由质点将按照短程线运动。这个断言取代了牛顿第一定律即惯性定律。四维短程线方程(17-02)决定自由质点的加速度，是四维弯曲时空（任何参照系）中自由质点（可处在引力场中）的运动方程。

 

 

 

 

 

十八、弯曲时空中的测地线

 

我们已用变分学的办法给出了弯曲时空中的短程线方程。我们也可以用另一种微分几何的方法得到一个叫测地线的方程，并将看到，测地线与短程线是重合的、一致的。

 

我们先看平直三维空间中的弯曲的二维曲面图形：

 

 

 http://static13.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft73265ba2c59c&690

 

 

 

此曲面是光滑的二维流形，其上任意一点，都有一个唯一的切面，与切面垂直并过切点的所谓“法线”也是唯一的。

 

但此点的切线不是唯一的，此点切面上过此点的所有直线都是此点的切线。我们需要指定一个初始的切线，给出一个确定的切矢量。

 

从这个切矢量出发，可平行于法线方向，做切矢量向曲面的投影。或者说，切线与法线所决定的平面，与曲面会有一个相交的曲线。我们看下图：

 

 

 

 

http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft734a28621260&690

 

 

此图就是初始切线和法线确定的平面。

 

在与初始切点M₀足够邻近的邻域内，我们把切点在曲线上作一个微小移动，移动至 M₁点。虽然我们从参考图形上看到的是二维情景，但我们写公式和方程时要写成四维的，以作为推广。

 

设曲面上每一点x都由参数t所确定。

切点位移矢量是dx^s，切点初始矢量是dxⁿ/dt. 这类似于与运动路径曲线相切的速度矢量。由于所作的是无穷小的位移，dx^s与dxⁿ/dt在一级近似下，是平行的。

 

在新的切点M₁点有一个新的切矢量（可以不在图平面中而是伸向图平面内或外），设它与M₀点原初的切矢量，改变量为d(dx^m/dt). 从图中可以观察到，在一级近似上，这个改变量矢量的各分量，与原矢量的各分量的大小成线性正比，与切点位移矢量dx^s的各分量大小也成线性正比关系，即：

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.           (18-01)

这就是由初始切矢量所决定的测地线方程的形式。

式中P^m_ns是比例系数，称为仿射联络系数，可以设想它与曲线在此点的弯曲程度有关，因为曲线弯曲程度的大小也会影响切矢量的改变量。P^m_ns最终是由曲面（弯曲空间）的度规所决定的。可以证明：P^m_ns= G^m_ns，就是克里斯托弗符号。

 

我们把证明放在后面一个 章节，现在先直接使用这个结果。结果是：

d(dx^m/dt)= - G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s，或：

d(dx^m/dt) + G^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s = 0.

各项除都以dt，得：

 

d²x^m/dt² +G^m_ns (dxⁿ/dt) (dx^s/dt) = 0，          (18-02)

 

这就是测地线的标准方程。

 

比较它与方程(17-02)，可见两方程完全是相同的形式，只是参数不同。

 

方程(17-02)以轨迹弧长s为参数，但因光线的ds总为0，使方程(17-02)不能运用于描述光线。而以沿路线的其他参数t的方程(18-02)则能描述光脉冲的运动，虽然这个方程再次表明光线已不是直线。

 

 

 

 

 

 

 

十九、求解测地线中的仿射联络系数

 

 

这节我们求解方程(18-01)中的仿射联络系数，并看到它就是短程线方程(17-02)中的克里斯托弗记号。

 

对方程(18-01)

d(dx^m/dt)= - P^m_ns (dxⁿ/dt)dx^s.    

 

把其中的dx^m/dt 设为逆变矢量A^m ，于是

 

dA^m = -P^m_ns Aⁿdx^s.               (19-01)

 

现假设在黎曼空间中，矢量做无穷小移动，保持矢量的长度不变。

则可证明这个假设保证了两矢量的标量积在无穷小移动下不变，证明如下：

因为， 逆变矢量A^m的长度平方为g_mnA^mAⁿ，必是无穷小移动下不变量，

设B^m是另一逆变矢量；则当k为任意数值时, A^m + kB^m仍为逆变矢量。其长度平方为：

g_mn(A^m + kB^m)(A^m + kB^m) = g_mnA^mAⁿ +k(g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m) + k² g_mnB^mBⁿ

由于对一切k值上式必为不变量。已知右边第一项是逆变矢量A^m的长度平方为不变量，除去k的第二和第三项也分别必为不变量。由此看第二项可知，

g_mnA^mBⁿ + g_mnAⁿB^m = 2 g_mnA^mBⁿ 为不变量。

所以g_mnA^mBⁿ为无穷小移动下的不变量。 即：

d(g_mnA^mBⁿ) = d(g^mnA_mB_n) = d(g_mⁿA^mB_n) = d(g^m_nA_mBⁿ) =0.

即 d(AⁿB_n) = d(A_nBⁿ) =0.                    (19-02)

由d(AⁿB_n) =0得

B_ndAⁿ+ AⁿdB_n=0，

AⁿdB_n= -B_n dAⁿ

由(19-01) 知： dAⁿ = -Pⁿ_ms A^mdx^s，所以：

AⁿdB_n=B_nPⁿ_ms A^mdx^s =B_mP^m_nsAⁿdx^s .

上式对所有的Aⁿ都成立，所以方程左边和右边消去Aⁿ可得：

dB_n= P^m_nsB_mdx^s .                       (19-03)

设P^m_ns= g^mlP_lns，可得：                   

dB_n= P_lnsB^ldx^s .

 

或记为： 

         

dA_n= P_mnsA^mdx^s .              (19-04)

 

由于(g^amg_mn),_s = g^a_n,_s=克罗内克尔符号d的偏导数=0，

而(g^amg_mn),_s = g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_{s ，}所以：

g^am,_s g_mn + g^am g_mn,_s  =0

上式乘以g^bn得：

g^ab,_s + g^amg^bn g_mn,_s  =0

利用上式可知：

A_aA_bg^ab,_s + A^mAⁿg_mn,_s =0

乘以dx^s 得：

AⁿA^mg_mn,_sdx^s + A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.               (19-05)

 

 

 

另一方面，由于无穷小移动下矢量长度不变，所以：

d(g^mnA_mA_n)=0

故： g^mnA_mdA_n+ g^mnA_ndA_m+ A_mA_ng^mn,_sdx^s =0,

即：AⁿdA_n+ A^mA_m+A_aA_bg^ab,_sdx^s =0.       (19-06)

比较(19-05)和(19-06)，可知：

AⁿdA_n+ A^mA_m= AⁿA^mg_mn,_sdx^s  

代入(19-04)   dA_n= P_mnsA^mdx^s，得：   

AⁿA^mP_mnsdx^s + A^mAⁿP_nmsdx^s = AⁿA^m g_mn,_sdx^s ，

所以：

P_mns + P_nms= g_mn,_s                       (19-07) 

同理，（交换上式的n和s即可），可得：

P_msn + P_smn = g_ms, _n                     (19-08)

同理，（交换上式的n和m 即可）：

P_nsm + P_snm = g_ns,_m                          (19-09)

假设n和s可以互换，

由 (19-07)+(19-08)-(19-09) 可得：

P_mns= (1/2) (g_mn,_s + g_ms,_n - g_ns,_m)      (19-10)

 

对比(17-01) 所引入的克里斯托弗记号：

 

G_lmn=(1/2) (g_{lm, n}+ g_{ln, m} - g_{mn, l})，  

 

 

可知：

P_mns= G_lmn 

 

此文于2009年5月19日星期二3:49 am发表于“未分类”分类下。您可以通过RSS 2.0 feed来跟踪此文的所有评论。您可以留言，或者从您自己的网站trackback。