abada

从极限不是用趋向或等号来定义的再说芝诺悖论和《几何原本》

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 我在<芝诺悖论和辨证法>中http://xys3.dxiong.com/xys/ebooks/others/science/misc/bianzhengfa27.txt

自觉已说得很清楚了.  但田野网友不理解, 究其原因, 是他脑子里还在质疑早已废弃的”极限”定义方法.

 田野讨论”芝诺悖论”说

“极限和是通过数学定义从外部强加给无穷序列人
为达到的。这里有两个含义：其一，定义1/2^n →0（n→∞），是指这个过程趋
向0，但永远不等于0。”

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显然上面这个田野给出的定义表达的观念还停留在牛顿时代.  难怪田野仍然觉得芝诺悖论还是个难以理解的”悖论”.

数学极限概念可通过小于号”<”而不是等号”=”定义. 即标准的柯西定义.  田野的定义方法是古老的有问题的方法(难怪与芝诺悖论并行),  现代人早已抛弃.  回到我最初的例子:

0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+…=0.11111111…

按田野的说法, 他可以说这个数”不确定”.  但注意, 它至少小于0.2是可以确定的.

回到兔子追乌龟, 按芝诺的分割法,  兔子可以做到与乌龟的距离, 小于(<)任何给定的正数, 而且做到这一点所需要的总时间,  可以小于(<)一个确定的有限的时间数.

在一个确定的有限时间内, 兔子可以做到与乌龟的距离小于任何一个给定的正数. 

上句前一句话表示并非”永远”, 后一句话表示”追上了”.

补充一句, 在欧几里德《几何原本》中, 对极限的处理, 都是用>和<的方式. 比中国古代的极限方法逻辑上要严谨的多.

例如, 欧几里德《几何原本》中,  先证明圆锥的体积”不大于”同底同高的圆柱的体积的1/3, 再证明圆锥的体积”不小于”同底同高的圆柱的体积的1/3.

看来, 用“<”或“>”号来处理有关极限问题, 在欧几里德《几何原本》那里就初见端倪了.

再回到芝诺问题:

无穷段时间的和可以是有限的: 无论其值为多少, 无论是否能用确切数字写出. —-但其和可不大于一个确定的有限的数. 这个结论是逻辑上严格的.

所以, 何来”永远”?

此文于2009年4月26日星期日8:13 pm发表于“未分类”分类下。您可以通过RSS 2.0 feed来跟踪此文的所有评论。您可以留言，或者从您自己的网站trackback。