直观多面体欧拉定理及其成立的条件
直观多面体欧拉定理及其成立的条件
abada
看官，请您看看你所在的房间，很可能就是一个多面体，而您就置身其中。
房间通常是长方体(属于一种六面体)：周围4个面，上下2面。
你数一数，可知这个6面体，有8个顶点数（上下各4个），12条棱（上下各4条，周围还有4条）。看来在面数、顶点数和棱数三个数据中，棱数最多。
算算看，把两个较小的数（面数和顶点数）加起来， 再和较大数（棱数）比较多少， 会得到什么：
（面数+顶点数）-棱数 = ？
不难算出：（面数+顶点数）-棱数 = 6+8-12 =2
其实，（面数+顶点数）-棱数 = 2 是某种简单多面体的普遍规律，叫做多面体的欧拉定理。这个定理最早是笛卡儿发现的。证明这个定理，书上常用某种拓扑法–把立体图形转化为平面图形，再进行证明。
我们现在不用把立体图形转化为平面图形的通常证法，直接用立体图形进行证明：
1)
2)
在我上述的立体图形证明的过程中, 可以清楚地看到多面体欧拉定理成立的条件(充分但未必是必要的条件):
就是这个简单多面体是个凸多面体. 即能在最简单的四面体的基础上, 在形体的外部, 通过逐步增加1个顶点的方法形成新的多面体, 并通过有限重复这样的步骤可以得到. (显然, 增加的那个新顶点, 可以在或不在原先的多面体的某个面的延伸平面内, 但不能在原先的多面体的某个面的本身之内, 否则就无法如此形成新的多面体).
许多书上说欧拉多面体公式成立的条件是”简单多面体”, 即表面经过连续变形可以变为球面的多面体. 但可以发现这是有问题的. 例如，下列图形也是一个简单多面体，它的顶点数为16，棱数为24，面数为11，而(16+11)-24=3 ，看来多面体欧拉定理在此并不成立, 原因就是它不是能通过四面体，逐步在多面体之外增加1个点而形成新的多面体的方法得到的：
