人在地球表面山区行走,走出一个测地线的操作性步骤

人在地球表面山区行走,走出一个测地线的操作性步骤

abada

1)你必有一个起始点M0。注意你站的地点,有一个唯一的切面S0与你脚下的地表曲面相切。–假设曲面变化是平滑的。

你的站点有一个唯一的垂线垂直于这个切面,叫做法线N0。 每个站点的法线是唯一的。

如果你的起始点在平原上,那么N0指向地球中心。

2)你必须设定一个初始的迈步方向。设定用一个指向你前方的长矛代表你要走的方向A0。

迈步前,长矛必须是你所站在的曲面的一个切线,这个切线必定是在你所站的地点处的地表曲面的切面上。

3)你要迈第一步。第一步迈向何方,你的脚落在何处呢?

长矛A0与法线N0决定了一个法平面P0,这个平面与地表曲面有个交线,你的第一步迈出去,脚要落在这个交线的与你起始点M0邻近的一点M1上。

或者干脆直接地:你的长矛的矛头,按与法线N0平行的方向,向地表作个射线(法投影), 射线与地表交于M1点。

你迈出的第一步,脚要落在M1上。

4)你在M1上站稳,先不要急着迈第二步。 你必须先确定迈第二步的方向。

a)你先保持长矛的方向,在三维空间中与你在前一点M0(起始点)时长矛的方向A0平行,方向不变,还是A0的矢量。

但你不能按照A0迈第二步。 你必须调整长矛的方向,即调整你前进的方向。

问题是:如何调整呢?

你要知道,你的新站点M1处,也有一个唯一的新切面S1与地表相切,同时也有一个唯一的新法线N1。

新法线N1,可能并不在旧法面P0上,而是可能会发生扭转,偏离旧法面P0。

比如,M0是在平原,而M1却在一个山坡上,你的长矛方向暂时还未调整时,山坡朝你的右上方倾斜,山顶在M1处的右上方。那么M1处的切面S1就是往右上倾斜的山坡表面的切面。

b)你把还未调整A0方向的长矛矛头,顺着新的法线方向,向新的切面S1投影一个射线,与切面S1有一个交点A’1.

现在请你调整矛头,把矛指向M1A’1方向。

于是, 你的长矛重新成为新站点M1处的地表曲面的新切线了。即:方向被调整后的长矛,就是M1处的切线A1矢量。

5)一切就又回到了在M0点时的操作步骤。你只要把上面表示几何概念的字母的角标0换成1,1换成2,重复上面的步骤,你就可以迈向一个新站点M2.

如此重复,你就走出了一个测地线。

 
 
 
 
 
附:

测地线的方程:

设长矛Ai从旧站点到新站点,按上述步骤调整矛头, 矛头被调整的改变量为矢量: dAi

在一级小量上,dAi与你长矛的长度Ai成正比,还与你迈步的大小dxi成正比,记为:

dAi = -PiAidxi.

上式按习惯引入了一个符号。其中Pi是比例系数,可以设想它与地表弯曲程度有关,因为矛头的调整量dAi确实与地表的弯曲情况有关。
如果地表不弯曲,是平直的,那么按步骤矛头也就根本不会被调整。可以计算出,P最终是由曲面(弯曲空间)的度规所决定的。

上面就是测地线的方程。如果长矛Ai代表初速度矢量,那么测地线方程就给出了加速度。

广义相对论假设引力场中的光线或自由粒子(不受其他力的作用),在任何参照系,或这说在弯曲的四维时空中,按测地线行走。这替代了牛顿的平直时空中的惯性定律。

 
 
 
 
短程线
 

测地线并不是先给出起始点和要到达的目的地为前提而得到,而是只给出一个起始点和一个初始的切矢量,然后使切矢量在自身方向结合弯曲空间做某种移动,而形成的曲线。

如果提前指定起始点和目的地,那么什么才是曲面或弯曲空间上这两点之间的最短路径呢?

在加速参考系或引力场中,一个光脉冲已经不走直线,欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物,四维时空不再是平直的伪欧氏空间,而是弯曲的伪黎曼空间。

因此,惯性定律必须修正。没有了直线,光脉冲和孤立物体,将按什么曲线运动呢?可以推广,它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置,因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。

历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释,但在弯曲时空中已经没有直线路径,作为推广,我们可以合理地假设,在充分小的邻域内,光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条,叫“短程线”。

我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物,不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点,已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如,我们从赤道上一个城市去北极,在地球表面按照那个城市所在的经线行走,也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。

可以设想一个弯曲空间的度规确定了,其几何性质就确定了,其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。

如图:

 
 
上图我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q,由于是弯曲空间,它们之间没有直线路径可走,我们要求两点之间的短程线,采用什么方法呢?

我们可以观察短程线有什么独特的性质,根据这些性质,我们可以建立短程线的方程。

我们可观察到,两端固定为P、Q所有曲线中,越短的曲线,在各点受到一个微小的拉伸变形(扰动)之后,这个曲线的总长度变化就越不大;相反,越长的曲线,受到一个微小的拉伸变形之后,曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数,被一个小数来乘,变化越小;越大的数,被一个小数乘,变化就越大。

把这个观察到得性质推广到四维时空,再利用数学上一种叫变分法的技巧,就可以建立短程线的方程。

用数学语言说就是:沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动,则∫ds 的改变量有最小极值。

这样也可以得到一个两相邻点的短程线的方程,而且会发现它与测地线方程是一致的。

“人在地球表面山区行走,走出一个测地线的操作性步骤”有4篇评论

  1. n4dk4 评论道:

    請問本篇是接續GR未完的篇章?
    測地線方程、短程線?

  2. n4dk4 评论道:

    本篇文章的兩個附圖都無法顯示,無法得知圖像訊息。

  3. n4dk4 评论道:

    打擾了。
    關於新版GR15-18內部所附圖皆無法顯示網頁,
    請問有良好的解決方式,使重要圖像顯示出?

  4. abada 评论道:

    http://photo.blog.sina.com.cn/abada01

    其中“切矢量的自平行移动2”和“短程线”两图

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https://xysblogs.org/abada/archives/5862

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