怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方?

怎样计算“1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方”?  

abada  

为了能教、教好自己的孩子,我不得不复习一点儿中学数学。 我时常感觉到:有不少初等数学题也是很有意思、很有乐趣、很好玩的!

 一般给孩子讲到数学天才高斯的故事的时候,都要讲到高斯上小学的时候,就以很快的速度算出了他数学老师布置的问题:

 1+2+3+4+5+…+100=?

 小高斯的方法是把上式子变为:(1+100)+(2+99)+(3+98)+…,其中每项都等于101,而一共有100/2项。所以上式等于101×100/2=101×50=5050. 

 这么快得出结果,使他的老师很惊讶,因为其他同学还在1+2+3+4+..一项一项地算着呢!据说这个故事被晚年的高斯津津乐道。 

上面的数学问题和答案,可以总结为:1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

 我突然想到这个问题:  

12+22+32+42+…+n2 =? 

似乎我中学的时候做过,但已经全忘了用中学方法是怎样做的,只能从头再来。做了半天,试了各种办法,最后终于做出结果了,但中间遇到的挫折,很能说明思维的误区。而最后的解法,又是怎么被偶然地在误区中突然发现的,写个笔记回忆起来也许可以说是意味深长。解题过程似乎说明了,解决问题的时候不要怕失败,在种种的错误、挫折的黑暗的道路上,可能会偶然地、歪打正着发现正确方法的曙光。 

误区1:一个自然的办法就是想能否用小高斯的那个方法去计算。试了,不行。相应的头、尾项相加,结果没有那么显明的规律。这是习惯定势思维的误区,把无法推广的方法,硬要推广。(但看官下面会发现,如果方法是可推广的,那么,思维定势,“推广”方法,却恰恰又是很有用的。所以,问题不在于思维定势,而在于某方法在某方面是否通用、有普适性,在某方面、某种程度上是否具备可推广性。)  

误区2:我想起了求等比数列前n项和的方法。a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1 = ?

设   S=a+aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn-1

则  qS=aq+aq2+aq3+aq4+…+aqn

上两式相减,得:(1-q)S=a-aqn

于是:S=a(1-qn)/(1-q)   

想到这里,我就设了:S2=12+22+32+42+…+n2 

并想到随时准备利用这个结果:S1=1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2 

还容易想到的方法就是:(S1)2与S2对照: 

 (S1)2 = (1+2+3+4+…+n)

= 12+22+32+42+…+n2 +[1(1+2+3+4+…+n)-12]+[2(1+2+3+4+…+n)-22]+[3(1+2+3+4+…+n)-32]+[4(1+2+3+4+…+n)-42]+…+[n(1+2+3+4+…+n)-n2]

 结果得到: (S1) = S2 + S1xS1 - S2  最后只能是:0=0,什么也得不到。 

 我反复又试了几种类似的方法,结果还是同样得不到任何结果。我继续试: 

 S2=12+22+32+42+…+n2

= (2-1)2 + (3-1)2 + (4-1)2 + (5-1)2+…+[(n+1)-1]2

= [S2 -12 + (n+1)2] + n*12 - 2*[2+3+4+5+…+(n+1)]  

=[S2-1+(n+1)2]+ n - 2*(S1+n)

=S2+n2+n-2S1 

 上面的方程,最终结果还是把想得到结果的S2给消去了。 真是郁闷啊!但是,却意外地得到了一个结果:

S1= (n2+n)/2 = n(n+1)/2 

 这个结果并不是想要的,因为早已经用小高斯的方法,可以很简单地得到这个结果。但我却记住了,这是另外一种得到S1的公式的方法。这也许是一种意外的收获?

 事实证明,远远不止如此。 当我在继续试了其他方法还是得到0=0之后,我突然来了灵感: 

上面利用S2得到S1的方法,也许是比小高斯的方法更通用的方法,用这个方法,可以试试利用S3而得到S2=?  也许S3是个类似的脚手架,搭上后又被拆掉了,但谁能说脚手架没有用呢?

 结果证明的确如此,天才少年高斯的方法固然简单巧妙,但他的方法不能通用、推广到求S2. 而我在无意中试出来的那种方法,却可以被推广而得到S2的结果,具有解决这类问题时的某种方法意义上的通用性。  

整理这个得到S1的新方法,它无非是利用了公式 (n-1)2 = n2 -2n + 1

我们现在推广一下, 利用公式 (n-1)3 = n3-3n2+3n-1

设 S3 = 13+23+33+43+…+n3

及 S2 = 12+22+32+42+…+n2

及 S1 = 1 +2 +3 +4+…+n 

知:

S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + … + (n-1) = S3 -n3

果然,S3被消去了,但我们可以得到: 

3S2 = 3S1+n3-n 

把 S1= n(n+1)/2 带入上式, 可得: 

S2 = n(n+1)(2n+1)/6 

即: 

12+22+32+42+…+n2  = n(n+1)(2n+1)/6  

可以设想,用同样的方法,可以利用S4而得到S3即13+23+33+43+…+n3的公式,依次类推。

“怎样计算1平方+2平方+3平方+4平方+…+n平方?”有7篇评论

  1. Nelson 评论道:

    一个凑系数的思路:根据观察,Sm为最高次数为m+1的n非负整数次数多项式;那么对于特定的n,随便试算m+1个Sm,求解一次方程组就可以得到多项式各项的系数。
    基于对简单数学问题有简洁结果的信仰,我们可以相信Sm为最高次数为m+1的n正整数次数多项式,而不会出现其他的次数;相信对于特定的n,只需试算m+1个Sm,而不需要结果对所有的n成立,不需要计算所有的n。如果要严格证明这两点,我感觉也不难。

  2. abada 评论道:

    还没有S2以上公式的时候, 还无法观察它们呢……

  3. TC 评论道:

    可以想象Sm一定是m+1次多项式(求和相当于对m次函数做积分),然后待定系数求解,递推法证明

  4. abada 评论道:

    如果用猜测法, 那么就要伴随证明.

    本文叙述的是用初等方法直接求解.

  5. TC 评论道:

    求出系数后,可以用递推法直接证明.
    记得以前中学数学竞赛的时候就常干这样的事

    文中叙述的方法也是很简练的

  6. TC 评论道:

    用数学归纳法证明S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6如下:
    n=1时,等式成立
    如n=m时,S2(m)=m(m+1)(2m+1)/6成立,
    则n=m+1时,
    S2(m+1)=S2(m)+(m+1)^2
    =m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
    =(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6

    所以对n=m+1等式也成立

    所以对所有n∈N,S2(n)=n(n+1)(2n+1)/6 成立

  7. Fred 评论道:

    看到这篇BLOG,激起兴趣,也来凑热闹

    如果就原本的问题而言, 我的思路一开始没有往通用的方向走,
    要求S(n)=1^2+2^2+3^2+…+n^2,观察一下:
    1^2+2^2+ ? = 2^3
    1^2+2^2+3^2+ ? = 3^3
    1^2+2^2+3^2+4^2+? = 4^3

    之所以这样去想, 是把数字想象成一个个立方体组成, 很容易有:

    1个方块+4个方块 如果再补上 3个方块就是 边长为2的大方块(即2^3=8)
    1个方块+4个方块+9个方块, 如果再补上 13个方块就是 边长为3的大方块(3^3=27)
    同理,接下来要补21个方块…

    用T(n)表示使S(n)凑够n^3要补上的方块数目, 我们就得到:
    S(n) + T(n) = n^3
    进一步,我们不难发现T(n)的规律:
    T(n) = T(n-1) + (n-1)(2n-1)

    T(n) = 对(n-1)(2n-1)求和
    = 对(2n^2-3n+1)求和

    马上就得到:

    S(n) = n(n+1)(2n+1)/6

    不过,这种方法无法推广,LZ的思路更胜一筹,可惜表达有些累赘,不够简洁

    其实只需要注意到一个事实:
    对n^3对和 与 对(n+1)^3求和 只相差 (n+1)^3 -1

    当然, LZ使用(n-1)^3也可以, 都一样!(这就是关键)

    接下来就很简单了:

    对(n+1)^3求和 = 对(n^3+3n^2+3n+1)求和
    = 对n^3求和 + 3*S(n) + 3*(对n求和) + n

    一整理就得到结果.

    谢谢LZ的分享,又复习了一遍求和的技巧

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https://xysblogs.org/abada/archives/5573

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