广义相对论导引(之九~十四)

广义相对论导引(之九~十四)

abada

九、斜交基轴

 

 

 

如上图,设两斜交坐标基轴(单位长度的、分别与各坐标轴同方向的矢量)为e1e2,长度为单位长度1,基轴夹角为q12简称q它们的标量积e1e2定义为基轴e1在基轴e2上的投影的长度。

 

由于e1e2=cosq所以标量积e1e2可以反映两基轴之间的夹角。

 

标量积e1e2可简写为e12

显然e12=e21

e11=e22=1

如果是四维,有四个基轴,各轴的关系(标量积)有16个,写成方阵,为:

 

e0e0    e0e1     e0e2     e0e3     

e1e0    e1e1     e1e2     e1e3     

e2e0    e2e1     e2e2     e2e3     

e3e0    e3e1     e3e2     e3e3    

 

此方阵可简写为 eij,(i,j=0,1,2,3).

注意eij = eji

且当i=j时,eij =1,当ij时,eij =cosqij

 

对于直角坐标轴:

i=j时,eij =1,当ij时,eij =cos(p/2)=0.

 

所以,直角坐标轴的基本方阵为:

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

这个方阵被称为单位矩阵E, 其元素为di j  ,

i=j时,di j =1,当ij时,di j =0

di j  是克罗内克尔符号。

 

十、斜交轴度量系数

再回到斜轴的情况。看图:

 

 

 

 

如上图,有一矢量dS可在各斜轴上有分量dxi,分量按平行四边形法则推广,这构成了仿射坐标。

dS的长度平方,按三角形余弦定理:

(dS)2=(dx1)2+(dx2)2-2dx1dx2cos(p-q)

化简为

(dS)2=(dx1)2+(dx2)2+2dx1dx2cosq

cosq=e1e2可得:

(dS)2=(dx1)2+(dx2)2+2dx1dx2 e1e2

e1e1= e2e2=1可得:

(dS)2= e1e1dx1dx1  + e1e2dx1dx2

+e2e1dx2dx1 + e2e2dx2 dx2

上式可简写为:

ds2 = eijdxidxj , (i, j=1,2)

这是根据爱因斯坦求和约定。

 

先看此式在某一特殊情况下的意义:

在狭义相对论四维时空正交坐标中,这时在四维时空正交坐标中,要么时间坐标x0取虚轴、空间坐标取实轴,要么反过来,时间坐标x0取实轴、空间坐标取虚轴。按后一种习惯,则四维正交坐标基本方阵为:

 

1    0    0    0

0    -1   0    0

0    0   -1    0

0    0    0    -1

i=j=0时,元素gij=g00=1

i=j0时,元素gij=-1

ij时,元素gij=0.

 

这时,根据狭义相对论,

ds2 =gijdxidxj

=(dx0)2 -(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2

作为两事件的时空间距,是狭义相对论坐标变换的不变量。

作为推广,ds2 =gijdxidxj  可作为较普遍的一种距离定义,不限于正交轴甚至不限于直线轴。这时,这里的gij 也不一定是常数。这样建立的空间就是黎曼空间,gij就是度规张量。为什么说它是张量,后面将会证明。

 

 

十一、球面度规

 

距离微分的平方:

ds2 =gijdxidxj

其中xi,xj已可以自身不是通常的直线距离坐标或时间坐标,而是它们的参数(函数)即可,只要能表示成:

ds2 =gmndxmdxn

且是坐标变换下的不变量,即是黎曼几何的度规表达式。

在四维时空中,m, n=0~3

黎曼距离元求和的各项可以排成方阵:

 

g00dx0dx0   g01dx0dx1   g02dx0dx2   g03dx0dx3

g10dx1dx0   g11dx1dx1   g12dx1dx2   g13dx1dx3

g20dx2dx0   g21dx2dx1   g22dx2dx2   g23dx2dx3

g30dx3dx0   g31dx3dx1   g32dx3dx2   g33dx3dx3

 

四维度规方阵为:

g00   g01   g02   g03

g10   g11   g12   g13

g20   g21   g22   g23

g30   g31   g32   g33

由于gmn=gnm所以16项中真正独立的量只有10个,(方阵里黑体部分),而其余6个是重复的量。

 

 

例,看二维球面度规的表示:

 

 

 

 

 

由图可知,球半径R一定时

ds2 =R2da2+(R2sin2a)db2

即:ds2=R2dada+(R2sin2a)dbdb        (10.01)

其中a, b是经度和纬度。对照二维空间度规:

ds2=gmndxmdxn       (m, n=1~1)

g11dx1dx1   g12dx1dx2

g21dx2dx1   g22dx2dx2

 

其中参数x1=a, x2=b所以度规方阵成为:

 

g11dada   g12dadb

g21dbda   g22dbdb

 

对照(10.01)可得:

g11=R2    g22= (R2sin2a)  

而其他的gmn=0,  (mn)

因此,此球面二维黎曼度规方阵为:

R2       0

0     R2sin2a

可以看到,其中的 a不是常量,而是变量。

当维数一定时若不能通过坐标参数线性变换而将弯曲空间的度规都变为常量,则说明此维数下空间的弯曲是内禀性质的。二维球面就是本质的二维弯曲空间。

 

补充:

 

R不变的二维球面, 不可能通过线性参数变换而把度规都化为常量但在R变化的三维球体空间, 却可以通过线性参数变换把度规都化为常量, 化成为平直笛卡儿三维空间.

 

所以, 二维球面的弯曲是内禀性质的, 而三维空间中球体的弯曲可以不是内禀性质的.

 

RdR变化量的时候,可以类似建立三维空间的球心极坐标度规:

ds2=R2dada+(R2sin2a)dbdb+dR2

度规方阵:

R2         0          0 

0       R2sin2a         0

0       0          1     

虽然含有变量aR,但实际上空间并不是内禀的三维弯曲空间,因为可以通过线性参数坐标变换变成笛卡儿坐标系:

ds2=dX2+dY2+dZ2

其中X,Y,ZabR可由线性参数方程变换联系。

化成正交直线坐标后,度规可变为:

1        0        0

0        1        0

0         0        1

是三维单位矩阵,元素为克罗内克尔符号。能建立笛卡儿坐标系,就标志着这是最典型的三维平直欧几里德空间。

 

 

十二、证明克罗内克尔符号是张量

 

由偏微分规则可知:

xl,mxm,n = xl,n = dln

l=ndln  =1

ln时,dln  =0.

dln  是克罗内克尔符号。

按定义,对新坐标中的dab同样有:

a’=b时,dab =1

ab时,dab =0

所以,无论a’=bab时,都有:

xl,a xb,n da b = xl,m xm,n  

 

于是:

xl,a xb,n da b = dln

这就证明了dln是一张量。

 

十三、证明gmngmn是张量

 

根据狭义相对论,有:

ds2 =gmndxmdxn

其中gmn为度规。

一般的逆变矢量有四个分量Am,其在坐标变换下与dxm的变换方式相同。

gmnAmAn=|A|2

 

是在坐标变换下的不变量,它是矢量A的长度的平方。

 

Bm是另一个逆变矢量;则当l为任意数值时,Am+lBm仍是逆变矢量。其长度平方为:

|Am+lBm|2 = gmn(Am+lBm)(An+lBn)

=gmnAmAn+l(gmnAmBn+gmnAnBm)+l2gmnBmBn

对一切值来说,上式都必为一不变量。由此可知,与l无关的一项以及ll2的系数,必定分别为不变量。l的系数为不变量:

gmnAmBn+gmnAnBm

其中第二项也可交换mn写为gnmAmBn,再由gnm=gmn 可知l的不变量系数

gmnAmBn+gmnAnBm =2gmnAmBn

这就证明了gmnAmBn为一不变量。它是AmBn的标积不变量。所以,

gabAaBb = gmnAmBn

 

由逆变矢量的定义:

Am=xm,aAaBn= xn,bBb

所以

gab AaBb = gmnxm,axn,bAaBb

因为上式对Aa Bb的一切值成立,所以:

gab = gmnxm,axn,b

 

这就证明了gmn为一2阶协变张量。同理可证gmn是一2阶逆变张量。

gmngmn被称为基本张量。

 

十四、逆变张量和协变张量的关系

 

设有逆变矢量An,按下式的缩并积定义一个矢量

Am=gmnAn

现在证明Am是一协变矢量。

 

由逆变矢量的定义可知:

An=xn,aAa

于是

Am=gmn(xn,aAa)= gab xa,n xb,m xn,aAa

= xb,mgab  Aa

再用缩并积定义Ab= gab  Aa ,所以可得:

A m= xb,m Ab

 

这就证明了,Am是一协变矢量。

很容易可把上面的证明过程反过来可证明,若Am是一协变矢量,则必有:Am=gmn An,其中An是一逆变矢量。

 

Am=gmn An两边同乘以gmn ,得:

gmnAm=gmr gmrAn=dmrAn

r=m,则dmr=1于是dmrAn= An,由此得:

gmnAm= An ,或

An= gmnAm .

 

“广义相对论导引(之九~十四)”有134篇评论

  1. codee 评论道:

    谢谢

  2. abada » Blog Archive » 广义相对论导引(之十五~十九)新版 评论道:

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