广义相对论导引(之一~八)

广义相对论导引(之一~八)

abada

一、数阵

 

数阵,或叫数组,常用一个字母附加角标来表示。如:

Aij

角标可以有0个或几个,用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义,以决定使角标写在上方或写在下方。

不同字母的角标的个数N叫数阵的

每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数

 

如数阵:Rijklm

   ijklm = 0123           

共有5个角标ijklm,所以此数阵是5阶的数阵;由于每个角标都能取0~3共四个值,所以是4维数阵。

 

当各角标都分别取了相同或不同的确定的值,就产生了数阵的一个分量,或叫元素,数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应(映射)。

 

数阵的所有元素总数是:nN次方个。

例如,54维的数阵,共有45=1024个分量。

 

 

小结:

 

数阵是一种非连续的N元函数,各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n,数阵的阶为N.

 

当各自变量都分别取一个确定的值后,就确定了数阵的一个分量,此分量与某确定的实数值或函数产生映射。

 

特别地,0阶数阵就是一个标量, 对应于一个确定的实数或一个确定的函数(标量场)。

 

:

 

1、矢量

41阶的数阵Ai可列出各分量:

(A0,  A1,  A2,  A3) 

1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。

 

2、方阵

一般地,24维数阵Aij, (i,j=0,1,2,3),就相当于矩阵中的4维方阵(或叫4阶方阵,当这样叫时,要注意数阵的维数是方阵的阶数。)

 

如果方阵gij=gji,则gijgji都叫对称方阵。

 

相对论中黎曼度规gmn42阶数阵,有42=16个分量,这些分量可用方阵列出:

g00   g01   g02   g03

g10   g11   g12   g13

g20   g21   g22   g23

g30   g31   g32   g33

 

多阶数阵的分量不必一一列出,只要能知道每个分量的对应值即可。

 

一个44阶数阵Tijkl,图形上可以表示为这样的的“超方阵”(每个立体网点都有一个分量,没有全部标出):

 

 

二、数阵代数

 

1、数阵加法的定义

 

同类数阵(维数相同,阶相同)可加(减),即把两数阵中对应的分量都分别相加(减)。这样可得到一个新数阵。

Rij = Aij+Bij

 

2、数与数阵的乘法的定义

 

把一数阵的每个分量分别乘以同一个数(实数或复数),就可以得到一个新数阵,这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如:CRijk.

 

3、数阵与数阵的乘法的定义

 

把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数(阶可以不同)的数阵的所有分量,可以构成一个新数阵,这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积,其阶数是两个数阵的阶数之和。

 

Rijk×Rlm = Rijklm

 

 

三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并

 

我们强调不同的字母的角标,因为如果是相同的字母,常就表示按照爱因斯坦求和约定,对数阵的相应分量求和。

 

1、爱因斯坦求和约定:

 

一个数阵,如果每个角标在此数阵中只出现一次,就表示它取一切可能的分量值;

如果某个角标在此数阵中出现两次,那就必须在上、下角标中各出现一次,并表示它取一切可能的分量值,然后把这些分量值相加。例如,4维的数阵Rjij

Rkijk= R0ij0+R1ij1+R2ij2+R3ij3= Sij

可见相加的结果是得到了一个42阶的数阵Sij.

 

所以数阵Rjij并非是3阶的,而是2阶的。

所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的

 

2、数阵的缩并

 

对任一有上下角标的数阵,可另一个上标和一个下标取相同的字母,从而使此数阵有效角标减少2个,成为几个都降低了2阶的数阵的和,即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。

 

如对四维四阶数阵Rmnrs,可另s=r就缩并为2阶方阵Rmnrr,有16个分量;也可再另n=m,就缩并为标量Rmmrr,只有1个分量。

 

Rmnrr = Smn,或Rmmrr=C,可以看出,等式某一边的上下角标可以相互约去,而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。

 

 

四、方阵的缩并乘法

 

两个同维数的方阵(2阶数阵),如AiaBaj,把行数写为右上角标,列数写为右下角标,它们的缩并乘法定义为:

 

AiaBaj=Cij

 

缩并积Cij仍是一个方阵(2阶数阵),其第i行第j列的元素(分量),等于方阵Aia的第i行的各元素分别乘以方阵Baj的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵,缩并积Cij的元素(分量)之一C12的值为:

C12 =A11B21+ A12B22+ A13B23+ A14B24

方阵的缩并乘法一般不满足交换律,但若两个都是对称方阵,其缩并乘法满足交换律。

 

方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。

 

 

五、矢量与方阵的缩并积

 

矢量(1阶数阵)Ai与同维数的方阵Bij阵可有缩并积:

 

AiBij=Cj

 

四维时,AiBij=A0B0j+A1B1j+A2B2j+A3B3j

 

这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。

 

同样,AiBij=Cj.

 

 

六、四维对称方阵,单位方阵和逆方阵

 

上面说过,若方阵Aij=AjiAijAji就都叫对称方阵。

 

特殊对称方阵:

 

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

0   0   0   1

 

被称为四维单位方阵E, 其元素为di j

i=j时,di j =1

ij时,di j =0.

di j被称为克罗内克尔符号。

 

任何一个4维方阵Aij单位方阵E的缩并积,仍为原方阵Aij,即:

 

AijE = EAij = Aij

 

方阵A的逆方阵A-1按下式定义:

AA-1=E

 

即若两个方阵的缩并积为单位方阵,则这两个方阵互为逆方阵。

把对称方阵gij的逆方阵写为gij,我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。

于是:

gijgij=dij

i=j时,dij =1

ij时,dij =0.

 

且对称方阵的逆方阵gij也必为对称方阵,即:gij=gji

 

 

七、张量

 

在算术中,如果我们已知乘法的定义,我们用方程:

a=(a/b)×b

表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉,如此就定义了除法(a/b).

 

我们可以用同样的办法定义张量。

 

在四维弯曲坐标系xmm=0,1,2,3中,任意函数Q的偏微分记为:

EQ/Exm=Q,m

在坐标变换中产生了新坐标系x’,可把撇号加在角标上xa,新坐标对旧坐标的偏微分

Exa/Exl同样可记为Exa,l,而旧坐标对新坐标的偏微分Exn/Exg可记为xn,g’.

 

设有一数阵Tlmn,在新坐标下变为数阵Tabg 如果有:

 

Tabg=  xa,l xb,m  xn,g Tlmn

 

成立,则数阵Tlmn就被定义为张量。

 

由于在等式右边,包含2个新坐标对旧坐标的偏微分和1个旧坐标对新坐标的偏微分,所以张量Tlmn2阶逆变、1阶协变的张量。

 

注意张量的定义式,与除法的定义类似,方程右边的上下相同的角标,可以相互约去,而剩下的角标,就是等式左边的全部角标。

 

也就是说,张量在坐标变换下,也满足某种脚标均衡原则。

 

定义:

1逆变的1张量,叫做逆变矢量,规定逆变矢量的脚标要写在右上方,如Am

 

1协变的1阶张量叫做协变矢量,规定协变矢量的脚标要写在右下方,如Am.

 

0张量就是标量。

 

张量是满足一定的坐标变换条件的特殊的数阵。数阵代数对张量都适用。

 

 

八、商定理

 

设数阵Plmn满足以下条件:对于任一逆变矢量Al,都有AlPlmn为一张量;则Plmn必为一张量。

 

证明:

 

AlPlmn = Qmn , 已知它为一张量,故按张量的定义有:

Qbg = xm,b xn,g Qmn

于是

AaPabg = xm,b xn,g  Allmn ,

因为Al可为任一逆变矢量,则按逆变矢量的定义有:

Al = x l,a Aa

所以

AaPabg = xm,b x n, g  xl,a Aa Plmn ,

 

此方程必须对逆变矢量Aa的一切只值都成立,所以:

Pabg = xm,bx n,g xl,a Plmn ,

这就证明了Pabg为一张量。

 

此定理对任意阶的数阵都成立,也无论数阵的脚标在上方或在下方,或上下方都有脚标。在商定理中, 把逆变矢量改为协变矢量, 则商定理也成立。

 

 

“广义相对论导引(之一~八)”有4篇评论

  1. VV 评论道:

    先生这帖子绝对是费力不讨好的,不如写本书出版。

  2. xyslet 评论道:

    贴公式用这个方便点
    http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=244428

  3. n4dk4 评论道:

    難得有此篇清晰的文章。

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https://xysblogs.org/abada/archives/4830

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