康托的超限数理论简介
康托的超限数理论简介
abada
原始人在数不清部落里现有的苹果和人具体数目的时候, 也有办法说清苹果和人哪个更多. 办法就是一人拿且只拿一个苹果, 如果苹果有剩余, 则苹果多, 如果苹果拿完了, 还有人没有拿到苹果, 则说明人比苹果多.
这种比较多少的办法就是”一一对应”, 如果两个集合, 可以存在一种关系使各自的元素产生一一对应, 那么就说明这两个集合的元素一样多.
1)可以证明所有的正偶数, 与所有的正整数一样多.
正偶数: 2,4,6,8,10, … , 2n, …
正整数: 1,2,3,4, 5… , n, ……
每一个人(自然数)n, 都可以且只能拿一个苹果(正偶数)2n, 所以它们是一样多的.
但偶数不是自然数的一部分吗? 部分怎么可能与全体一样多呢? 当然可以!这正是无穷集合的特点, 可以当作无穷集合的定义.
当某集合的一部分(真子集)的元素, 可以与此集合的全体元素一一对应, 则这个集合是无穷集合, 有无穷多的元素; 否则是有限集合, 有有限个元素.
容易证明所有的奇数, 与自然数也一样多.
2)可以证明所有的有理数与自然数是一样多的.
以下的办法, 可以把所有的有理数(可以表示为分数的数) 逐步写出:
1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1, 2/3, 3/2; 1/4, 4/1, 3/4, 4/3; 1/5, 5/1, 2/5, 5/2, 3/5, 5/3, 4/5, 5/4;…….;…….;…..
分母从1,2,3…到n,逐步增大, 写出这个分母的真分数, 再写出其倒数, 如果得到的分数与前面曾出现过的某分数相等,则删除之. 这种办法继续下去可以写出任何你指定的某个分数(有理数).
既然有理数可以这样按某种顺序排列下来, 自然可以按第1项, 第2项, 第3项….等, 与自然数产生一一对应的关系.
因此, 所有的有理数与自然数是一样多的, 而且, 只要有某种办法列表可以列出某数集, 使数集中任何指定的数, 原则上都可以出现在列表中, 那么这个数集必然就与自然数集可以有一一对应的关系.
所以, 自然数的无穷多也叫可列无穷多, 或可数无穷多.
3)可证明所有的小数, 比所有的自然数更多, 多无穷多个.
反证法: 假如小数与自然数一样多, 即可以存在某种一一对应的关系如下:
1＜—-＞0.a1a2a3a4a5…
2＜—-＞0.b1b2b3b4b5…
3＜—-＞0.c1c2c3c4c5c6c7c8…
4＜—-＞0.d1d2d3d4d5d6…..
5＜—-＞0.e1e2e3e4e5e6….
6＜—-＞0.f1f2f3f4f5f6f7…..
…..
则可证明某指定的小数必不存在于这个对应表中, 与一一对应矛盾.
比如指定小数:
0.(非a1)(非b2)(非c3)(非d4)(非e5)(非f6)……..
这叫”对角线删除法”得到的小数, 这个小数必然不能与上表中的自然数1对应, 因为根据上表, 自然数1所对应的小数, 小数点后第一位数是a1, 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非a1;
这个小数必然不能与上表中的自然数2对应, 因为根据上表, 自然数2所对应的小数, 小数点后第一位数是b2 而我指定的小数, 小数点后第一位数是非b2;
依次类推, 指定的小数就无法出现在列表中. 即还存在无穷多的小数, 没有自然数能与之对应.
所以, 所有的小数比所有的自然数, 多无穷多个.
所有的小数与所有的实数是一样多的, 叫不可列无穷多, 或不可数无穷多, 它比自然数的无穷多, 属于更多的无穷多类.
4) 可证明平面上的点与数轴上的点一样多.
平面上的点, 可以表示为有序实数对. 假设平面上某点横坐标为: ….a6a5a4a3a2a1.b1b2b3b4b5b6…,
纵坐标为: ….c6c5c4c3c2c1.d1d2d3d4d5d6…,
则这个点如下这样, 能且只能与唯一实数:
…..c6a6c5a5c4a4c3a3c2a2c1a1.d1b1d2b2d3b3d4b4d5b5d6b6….
产生一一对应的关系. 而实数与数轴上的点又有一一对应的关系. 命题得证.
也因此可知所有的复数与所有的实数是一样多的.
康托把自然数的无穷多叫阿列夫0, 而把实数无穷多叫C, 在这两者之间有没有一种无穷多, 比自然数的无穷多要多, 但比实数的无穷多要少呢? 康托认为没有这样的无穷多–这个命题叫连续统假设. 希尔伯特将之列为23个著名难题. 很多数学家试图证明之, 但结果证明: 在现有集合公理下, 这个命题是不可证明的, 即它和它的否命题都与现有的集合公理系统相容. 也说明了现有的集合公理是不完备的.(这与按康托不完备性定理也不矛盾)
希尔伯特称康托的超限数理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表现之一。”